我们使用广义微分变换方法(讨论)获得时空部分电报方程在封闭形式的解决方案。空间和时间部分衍生品被认为是在卡普托意义上,解的米塔格-莱弗勒功能。
1。介绍
的分数阶微分方程已被成功地用于建模在近二十年来所谓的反常现象。因此,有一个密集的分数阶微分方程理论的发展(1 - - - - - -4 ]。最近,各种分析和数值方法用来求解线性和非线性分数微分方程。一些更不用说Adomian分解方法(5 - - - - - -7 ),同伦摄动法(8 ,9 ),同伦分析方法(10 ),变分迭代法(11 ,12 ),矩阵法(13 ),和微分变换法(14 - - - - - -16 ]。微分变换方法提出的周(17 )来解决线性和非线性电路的初始值问题分析。该方法构造一个多项式形式的解析解。它有别于传统的高阶泰勒级数方法,这需要符号计算必要的衍生品数据功能和需要长时间的计算,而微分变换是一个迭代的过程获取分析泰勒级数解。方法由Momani进一步发展,Odibat, Erturk在他们的论文14 - - - - - -16 )求解二维分数阶的线性和非线性偏微分方程。最近,Biazar和伊斯拉米(18 )应用微分变换方法解决沃尔泰拉积分方程组的第一种,El-Said et al。19 )开发扩展维尔斯特拉斯变换的非线性演化方程的方法,和Keskin Oturanc [20. )开发降低微分变换方法来解决部分偏微分方程。
在本文中,我们应用广义微分变换的方法去解决时空部分电报方程。经典的电报方程是一个偏微分方程,常系数由(21 ]
−
2
+
+
=
0
,
(
1
。
1
)
在哪里
,
和
是常数。这个方程用于建模反应扩散和传播的信号分析电信号的电缆输电线路(21 ,22 ]。当前我 和电压V 满足一个方程的形式(1.1 )。这个方程也产生的压力波传播的研究动脉搏动性血流和一维随机运动沿着对冲的bug。热方程相比,发现上级电报方程模型来描述某些流体流动问题涉及停业(23 ]。这个方程建模反应扩散和信号分析中使用电子信号的传输和传播。
经典的电报方程和空间或时间分数电报方程已被许多研究人员研究即Biazar et al。24 ),Cascaval et al。25 ),卡亚(26 ],Momani [5 ],Odibat和Momani [27 ],Sevimlican [12 ],Yıldırim [9 ]。Orsingher和赵28 )表明,迭代法的布朗运动和电报过程与布朗时间由time-fractional电报方程。Orsingher和Beghin29日 ]提出的转换函数对称过程不连续轨迹满足space-fractional电报方程。一些技术,如转换方法,Adomian分解方法,并列的变换,广义微分变换方法,变分迭代法、同伦摄动方法被用来解决空间或时间分数电报方程。
在本文中,我们试图解决齐次和非齐次分数时空电报方程的广义微分变换方法。
2。预赛
定义2.1。
被定义为(30. ]:
1
(
)
=
Γ
(
−
)
(
)
(
)
(
−
)
−
+
1
,
(
−
1
<
≤
)
,
∈
ℕ
。
(
2
。
1
)
定义2.2。 31日 ]:
(
)
=
∞
=
0
(
Γ
(
+
1
)
∈
,
(
)
>
0
)
。
(
2
。
2
)
进一步推广(2.2 )在表单32 ]
,
(
)
=
∞
=
0
Γ
(
+
)
;
(
,
∈
,
(
)
>
0
,
(
)
>
0
)
。
(
2
。
3
)
为
=
1
,
(
)
减少到
。
定义2.3。 14 - - - - - -16 是下面:考虑两个变量的函数
(
,
)
假设它可以表示为两个变量的乘积函数,也就是说,
(
,
)
=
(
)
(
)
。如果函数
(
,
)
分析和分化不断对吗
和
在感兴趣的领域,然后的广义二维微分变换函数
(
,
)
是由
,
1
(
,
ℎ
)
=
Γ
(
+
1
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
0
0
ℎ
(
,
)
(
0
,
0
)
,
(
2
。
4
)
在哪里
0
<
,
≤
1
(
0
)
=
0
⋯
0
⋯
0
(
次),
0
被定义为(2.1 ),
,
(
,
ℎ
)
是转换函数。
广义逆的微分变换
,
(
,
ℎ
)
是由
(
,
)
=
∞
∞
=
0
ℎ
=
0
,
(
,
ℎ
)
−
0
−
0
ℎ
。
(
2
。
5
)
广义二维微分变换的一些基本性质下面。
让
,
(
,
ℎ
)
,
,
(
,
ℎ
)
和
,
(
,
ℎ
)
广义二维微分变换的功能
(
,
)
,
(
,
)
,
(
,
)
然后分别(一) 如果
(
,
)
=
(
,
)
±
(
,
)
,然后
,
(
,
ℎ
)
=
,
(
,
ℎ
)
±
,
(
,
ℎ
)
, (b) 如果
(
,
)
=
(
,
)
,
是常数,然后
,
(
,
ℎ
)
=
,
(
,
ℎ
)
, (c) 如果
(
,
)
=
0
(
,
)
在哪里
−
1
<
≤
,
∈
ℕ
然后
,
(
,
ℎ
)
=
(
Γ
(
+
+
1
)
/
Γ
(
+
1
)
)
,
(
+
/
,
ℎ
)
, (d) 如果
(
,
)
=
0
(
,
)
在哪里
−
1
<
≤
,
∈
ℕ
,然后
,
(
,
ℎ
)
=
(
Γ
(
ℎ
+
+
1
)
/
Γ
(
ℎ
+
1
)
)
,
(
,
ℎ
+
/
)
。
在本节中,我们考虑时空部分电报方程在以下形式:
2
2
(
,
)
=
(
,
)
+
(
,
)
+
(
,
)
+
(
,
)
,
0
<
<
1
,
>
0
,
(
3
。
1
)
在哪里
=
1
/
,
,
,
∈
ℕ
,
1
<
2
≤
2
,
1
<
≤
2
,
0
<
≤
1
,
2
≡
,
≡
⋯
(
次),
≡
⋯
(
次),
,
卡普托部分衍生品定义为(2.1 ),
,
,
是常数,
(
,
)
给出了函数。
特别是对于
=
1
,
=
1
,
=
2
,
=
1
,
=
0
时空部分电报(3.1 )降低经典电报(1.1 )。
给一个明确的方法,我们选择了三个说明性的例子,第一个是一个齐次时空部分电报方程条件涉及普通的对空间的导数,第二个是一个齐次时空部分电报方程条件涉及部分对空间的导数,第三个是一个时空非齐次分数电报方程条件涉及分数导数空间。
例3.1。
3
/
2
(
,
)
=
(
,
)
+
(
,
)
+
(
,
)
,
0
<
<
1
,
>
0
,
(
3
。
2
)
在哪里
=
1
/
,
,
,
∈
ℕ
,
1
<
≤
2
,
0
<
≤
1
,
3
/
2
≡
(
1
/
2
)
3
,
≡
⋯
(
次),
≡
⋯
(
次),
,
卡普托部分衍生品定义为(2.1 ),
+
奇怪的是,
(
0
,
)
=
−
,
(
0
,
)
=
−
。
(
3
。
3
)
应用广义二维微分变换(2.4 ),
0
=
0
=
0
,
=
1
/
2
,两边(3.2 )和(3.3 使用属性)和(c)和(d),我们得到
1
/
2
,
(
+
3
,
ℎ
)
=
Γ
(
(
/
2
)
+
1
)
Γ
(
(
(
+
3
)
/
2
)
+
1
)
Γ
(
(
ℎ
+
)
+
1
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
1
/
2
,
+
(
,
ℎ
+
)
Γ
(
(
ℎ
+
)
+
1
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
1
/
2
,
(
,
ℎ
+
)
+
1
/
2
,
,
(
,
ℎ
)
(
3
。
4
)
1
/
2
,
(
0
,
ℎ
)
=
(
−
1
)
ℎ
Γ
(
ℎ
+
1
)
,
1
/
2
,
(
1
,
ℎ
)
=
0
,
1
/
2
,
(
2
,
ℎ
)
=
(
−
1
)
ℎ
Γ
(
ℎ
+
1
)
,
ℎ
=
0
,
1
,
2
,
…
。
(
3
。
5
)
利用递归关系(3.4 ),转换后的条件(3.5 )和条件
+
很奇怪,我们可以很容易的获得,对吗
,
ℎ
=
0
,
1
,
2
,
…
1
/
2
,
(
3
,
ℎ
)
=
(
−
1
)
ℎ
,
Γ
(
(
3
/
2
)
+
1
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
(
3
。
6
)
1
/
2
,
(
3
+
1
,
ℎ
)
=
0
,
(
3
。
7
)
1
/
2
,
(
3
+
2
,
ℎ
)
=
(
−
1
)
ℎ
。
Γ
(
(
3
/
2
)
+
2
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
(
3
。
8
)
现在,从(2.5 ),我们有
(
,
)
=
∞
∞
=
0
ℎ
=
0
1
/
2
,
(
,
ℎ
)
/
2
ℎ
。
(
3
。
9
)
使用的值
1
/
2
,
(
,
ℎ
)
从(3.5 )- (3.8 )(3.9 ),时空的精确解部分电报(3.2 )获得
(
,
)
=
3
/
2
3
/
2
+
3
/
2
,
2
3
/
2
−
,
(
3
。
1
0
)
获得一样的加戈,沙玛33 使用Adomian分解方法。
设置
=
2
,
=
=
1
时空部分电讯报》(3.2 )降低空间部分电报方程和Momani获得的解决方案是一样的5 ],Odibat和Momani [27 ],Yıldırim [9 )使用Adomian分解法、广义微分变换法,分别和同伦摄动方法。
此外,设置
=
1
,它减少了古典电报方程和岩石获得的解决方案是一样的26 使用Adomian分解方法。
例3.2。
2
(
,
)
=
(
,
)
+
(
,
)
+
(
,
)
,
0
<
<
1
,
>
0
,
(
3
。
1
1
)
在哪里
=
1
/
,
,
,
∈
ℕ
,
1
<
2
≤
2
,
1
<
≤
2
,
0
<
≤
1
,
2
≡
,
≡
⋯
(
次),
≡
⋯
(
次),
,
卡普托部分衍生品定义为(2.1 ),
+
奇怪的是,
(
0
,
)
=
−
,
(
,
)
∣
=
0
=
−
。
(
3
。
1
2
)
应用广义二维微分变换(2.4 ),
0
=
0
=
0
(两边3.11 ),(3.12 使用属性)和(c)和(d),我们得到
,
(
+
2
,
ℎ
)
=
Γ
(
+
1
)
Γ
(
(
+
2
)
+
1
)
Γ
(
(
ℎ
+
)
+
1
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
,
+
(
,
ℎ
+
)
Γ
(
(
ℎ
+
)
+
1
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
,
(
,
ℎ
+
)
+
,
,
(
,
ℎ
)
(
3
。
1
3
)
,
(
0
,
ℎ
)
=
(
−
1
)
ℎ
Γ
(
ℎ
+
1
)
,
,
(
1
,
ℎ
)
=
(
−
1
)
ℎ
Γ
(
+
1
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
,
ℎ
=
0
,
1
,
2
,
…
。
(
3
。
1
4
)
利用递归关系(3.13 ),转换后的条件(3.14 )和条件
+
很奇怪,我们获得
,
(
,
ℎ
)
=
(
−
1
)
ℎ
Γ
(
+
1
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
,
f
o
r
,
ℎ
=
0
,
1
,
2
,
…
。
(
3
。
1
5
)
现在,从(2.5 ),我们有
(
,
)
=
∞
∞
=
0
ℎ
=
0
,
(
,
ℎ
)
ℎ
。
(
3
。
1
6
)
使用的值
,
(
,
ℎ
)
从(3.15 )(3.16 ),均匀时空部分电报的精确解(3.11 )获得
(
,
)
=
(
)
−
。
(
3
。
1
7
)
3.3的话。
=
1
,
=
2
,
=
1
,(3.11 )降低空间部分电报方程
2
(
,
)
=
2
(
,
)
+
(
,
)
+
(
,
)
,
0
<
<
1
,
>
0
,
(
3
。
1
8
)
与解决方案
(
,
)
=
(
)
−
。
(
3
。
1
9
)
=
1
,(3.11 )减少时间分数电报方程:
2
(
,
)
=
(
,
)
+
(
,
)
+
(
,
)
,
0
<
<
1
,
>
0
,
(
3
。
2
0
)
与解决方案
(
,
)
=
−
。
(
3
。
2
1
)
=
1
,
=
1
,
=
2
,
=
1
,(3.11 )降低经典电报方程:
2
(
,
)
=
2
(
,
)
+
(
,
)
+
(
,
)
,
0
<
<
1
,
>
0
,
(
3
。
2
2
)
与解决方案
(
,
)
=
−
,
(
3
。
2
3
)
这是通过岩石一样(26 使用Adomian分解方法。
例3.4。
2
(
,
)
=
(
,
)
+
(
,
)
+
(
,
)
−
2
(
)
−
,
0
<
<
1
,
>
0
,
(
3
。
2
4
)
在哪里
=
1
/
,
,
,
∈
ℕ
,
1
<
2
≤
2
,
1
<
≤
2
,
0
<
≤
1
,
2
≡
,
≡
⋯
(
次),
≡
⋯
(
次),
,
卡普托部分衍生品定义为(2.1 ),
和
甚至和
(
0
,
)
=
−
,
(
,
)
∣
=
0
=
−
。
(
3
。
2
5
)
应用广义二维微分变换(2.4 ),
0
=
0
=
0
(两边3.24 ),(3.25 ),并使用属性(c)和(d),我们得到
,
(
+
2
,
ℎ
)
=
Γ
(
+
1
)
Γ
(
(
+
2
)
+
1
)
Γ
(
(
ℎ
+
)
+
1
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
,
(
,
ℎ
+
)
+
Γ
(
(
ℎ
+
)
+
1
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
,
(
,
ℎ
+
)
+
,
(
,
ℎ
)
−
2
(
−
1
)
ℎ
,
Γ
(
+
1
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
(
3
。
2
6
)
,
(
0
,
ℎ
)
=
(
−
1
)
ℎ
Γ
(
ℎ
+
1
)
,
,
(
1
,
ℎ
)
=
(
−
1
)
ℎ
Γ
(
+
1
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
,
ℎ
=
0
,
1
,
2
,
…
。
(
3
。
2
7
)
利用递归关系(3.26 )和转换条件(3.27 ),我们得到
,
(
,
ℎ
)
=
(
−
1
)
ℎ
Γ
(
+
1
)
Γ
(
ℎ
+
1
)
,
,
ℎ
=
0
,
1
,
2
,
…
。
(
3
。
2
8
)
现在从(2.5 ),我们有
(
,
)
=
∞
∞
=
0
ℎ
=
0
,
(
,
ℎ
)
ℎ
。
(
3
。
2
9
)
使用的值
,
(
,
ℎ
)
从(3.28 )(3.29 ),时空的精确解非齐次分数电报(3.24 )获得
(
,
)
=
(
)
−
。
(
3
。
3
0
)
3.5的话。
=
2
,
=
4
,
=
2
,(3.24 )降低了非齐次空间部分电报方程:
2
(
,
)
=
2
(
,
)
+
(
,
)
+
(
,
)
−
2
(
)
−
,
0
<
<
1
,
>
0
,
(
3
。
3
1
)
与解决方案
(
,
)
=
(
)
−
。
(
3
。
3
2
)
=
1
,(3.24 )降低了非齐次分数电报方程:
2
(
,
)
=
(
,
)
+
(
,
)
+
(
,
)
−
2
−
,
0
<
<
1
,
>
0
,
(
3
。
3
3
)
与解决方案
(
,
)
=
−
。
(
3
。
3
4
)
=
1
,
=
2
,
=
4
,
=
2
,(3.24 )降低了非齐次电报方程:
2
(
,
)
=
2
(
,
)
+
(
,
)
+
(
,
)
−
2
1
/
2
−
1
/
2
,
0
<
<
1
,
>
0
,
(
3
。
3
5
)
与解决方案
(
,
)
=
1
/
2
−
1
/
2
。
(
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确认
提供的支持科学和工业研究理事会通过高级研究奖学金的一个作者,p .马诺。作者感谢裁判对他们有用的意见和建议。
