文摘

本文涉及一种时变钓鱼模型与延迟。利用重合度理论的延拓定理,我们证明它至少有一个积极的概周期解。

1。介绍

考虑下面的微分方程是广泛应用于渔业(1- - - - - -4]: 在哪里是总体生物量、是人均繁殖力率,是人均死亡率,是人均收获率。

在(1.1),让是一个山的类型函数([1,2]) 考虑到延迟和不同环境;Berezansky和艾德尔5基于()提出以下时间间隔模型1.1)[1- - - - - -6] 在哪里。

模型(1.3)最近吸引了许多数学家和生物学家的注意;看到微分方程广泛应用于渔业(1,2]。然而,人们很容易看到所有方程考虑在上述论文受到周期性假设,作者,特别是研究了其周期解的存在。另一方面,生态系统的影响和环境变化是非常重要的因素和数学模型不能忽视,例如,繁殖率、资源再生,栖息地的破坏和剥削,扩大粮食盈余和其他因素影响到人口的增长。因此合理考虑模型的各种参数变化几乎定期定期而不是常见的时期。因此,概周期行为的调查被认为是更符合现实。虽然已经广泛应用在现实生活中,泛化的概念几乎周期性并不发达的周期解;我们参考读者7- - - - - -18]。

最近,作者的19]证明了坚持和概周期解离散钓鱼与反馈控制模型。在[20.,21),收缩映射原理和重合度曾延续定理证明指数稳定正概周期解的存在性对于对数人口模型,分别。本文的主要目的,然而,是利用重合度的延拓定理这一目的。据作者的观察,不存在纸处理正概周期解的存在性的证明(1.3)利用重合度的延拓定理。因此,我们的结果是完全不同的,提出了一种新的方法。

2。预赛

我们首先观察下不变的变换,(1.3)减少 为,初始函数和初始值 (2.1)和(2.2),我们假设以下条件:(A1) 和;(A2) 是一个连续函数满足;(A3) 是一个连续有界函数,。

的解决方案(2.1)和(2.2),我们的意思是一个绝对连续函数上定义令人满意的(2.1)几乎无处不在和(2.2)。当我们解决方案感兴趣的生物意义,我们关注积极的限制。

根据(22),初始值问题(2.1)和(2.2)上定义的一个独特的解决方案。

让赋范矢量空间,是一个线性映射,是一个连续映射。映射将被称为弗雷德霍姆的映射索引0如果和是封闭的。如果弗雷德霍姆映射的索引0和存在连续投影仪吗和这样,此前,映射是可逆的。我们表示的逆映射。如果是一个开放的有限子集,然后映射将被称为紧凑的在,如果是有界的,紧凑。自是同构的,存在一个同构。

定理2.1(见[19])。让是一个开放的有界集,让是一个连续的操作符的紧凑的在。假设(1) 对于每一个和;(2) 对于每一个;(3)这程度。然后至少有一个解决方案吗。

3所示。概周期解的存在性

让表示所有实概周期函数的集合,因为我们表示 傅里叶指数和模块的集合,分别。让表示的集合几乎期限关于,表示包含区间的长度表示的意思是价值。

定义3.1。 据说是概周期如果对任何一组相对密度;也就是说,对于任何可以找到一个实数对于任何区间长度;存在一个数量在这个区间,这样对于任何。

在剩下的纸我们假设以下条件(2.1):(H) 。

在我们的例子中,我们设置 在哪里 在哪里 和是一个给定的常数;定义规范

3.2的话。如果是几乎周期函数是几乎周期性当且仅当。而不一定有一个几乎周期原始,。这就是为什么我们不能做,让。

我们从下面的前题。

引理3.3。 和巴拿赫空间赋予常态吗。

证明。如果和收敛到,那么很容易显示与。事实上,尽管我们有 因此 这意味着。人们很容易看到是巴拿赫空间赋予常态。同样的空间可以得出结论和。证明已经完成。

引理3.4。让和 在哪里。然后弗雷德霍姆的映射指数为零。

证明。很明显,是一个线性算子和。还有待证明。假设。然后,存在和这样 定义的和,我们可以推断出和概周期函数,因此吗,这意味着。这告诉我们, 另一方面,如果然后我们有。事实上,如果然后我们获得 由此可见, 因此 请注意,是原始的在;因此我们有。因此,我们推断出 这就完成了索赔的证据。因此, 此外,一个可以很容易地显示是封闭的和 因此,弗雷德霍姆的映射指数为零。

引理3.5。让,,这样 然后,是L-compact(是一个开放的和有限的子集)。

证明。预测和是连续的, 很明显, 因此 针对 我们可以得出这样的结论:广义逆()存在,是由 因此 在哪里被定义为
的积分形式两个方面和意味着他们是连续的。我们声称也是连续的。我们的假设,对于任何和任何紧集,让包容的间隔。假设和一致收敛于。因为,存在这样。让包容的间隔和 很容易看到包容的间隔和。因此,对所有,存在这样。因此,我们观察到概周期函数的定义 通过应用(3.26),我们得出这样的结论:是连续的,因此和也是连续的。
从(3.26),我们也有和一致有界的。此外,它不是很难验证是有界的,在同等连续的。因此Arzela-Ascoli定理,我们可以立即得出结论紧凑。因此是紧凑的在。

定理3.6。让条件(H)。然后(2.1)至少有一个积极的概周期解。

证明。很容易看到,如果(2.1)有一个概周期解,然后几乎是一个正周期解(1.3)。因此,完成证据足以证明(2.1)有一个概周期解。
为了利用重合度理论的延拓定理,我们设置了巴拿赫空间和引理的相同3.3和映射,,,前题中定义的相同3.4和3.5,分别。因此,我们可以获得弗雷德霍姆的映射索引0吗是一个连续算子是哪一个紧凑的在。仍然是寻找一个适当的开放和有界的子集。相应的算子方程 我们可以写 假设是一个解决方案(3.28)在一定。表示 鉴于(3.28),我们得到 因此, 这意味着从那 同样,我们可以得到 由不平等(3.32)和(3.33),我们可以发现存在这样 在哪里 然后从(3.26),我们有 或 选择的点,在那里满足。积分(3.28)来,我们得到 然而,从(3.28)和(3.38),我们得到 用在(3.37)和,我们有 在哪里 让。显然,它是独立的。取 很明显,满足定理的假设(1)2.1。如果,然后是一个常数,。由此可见, 这意味着定理的假设(2)2.1是满意的。同构的被定义为为。因此,。为了计算了这,我们考虑到同伦 对于任何,,我们有。拓扑度的等位的不变性,得到 因此,假设(3)定理2.1成立。因此,至少有一个解决方案吗。换句话说,(2.1)至少有一个积极的概周期解。因此,(1.3)至少有一个积极的概周期解。证明已经完成。

4所示。一个例子

让。然后(1.3)的形式 人们很容易实现和;因此,条件成立。因此,通过定理的结果3.6,(4所示。1)至少有一个积极的概周期解(图1)。

承认

这项工作是由美国国家自然科学基金会资助下的中华人民共和国10971183。