Antisynchronization现象研究不恒等的分数阶微分系统。antisynchronization的特征是,有关状态变量消失的和足够大的时间变量的价值。主动控制方法在文献中第一次实现分数阶之间antisynchronization Lorenz和金融体系,金融和陈系统,Lu和金融系统。稳定性分析是使用经典的结果。我们还提供数值结果来验证该理论的有效性。
1。介绍
在他们的开创性工作<一个href="#B1">1一个>,2一个>),佩科拉和卡罗尔已经表明,混沌系统可以同步通过引入适当的耦合。同步混沌的概念,进一步探索在安全通信的模拟和数字信号<一个href="#B3">3一个>)和开发安全可靠的加密系统(<一个href="#B4">4一个>]。对混沌系统的同步,提出了不同的方法,包括非线性反馈(<一个href="#B5">5一个>),自适应(<一个href="#B6">6一个>,7一个>),和主动控制(<一个href="#B8">8一个>,9一个>]。
Antisynchronization (AS)是一种现象,同步系统的状态向量具有相同的振幅,但符号相反的驱动系统。因此两个信号的总和作为出现时收敛于零。Antisynchronization在激光应用(<一个href="#B10">10一个>),在周期振荡器,和通信系统。使用激光,一个可以生成不仅辍学生的强度也高强度短脉冲,从而导致特殊形状的脉冲。
主动控制方法用于两个相同的整数阶系统的Ho et al。<一个href="#B11">11一个>由李冰冰和周[]和不恒等的系统<一个href="#B12">12一个>]。非线性控制方案被李et al。<一个href="#B13">13一个>)研究。Al-Sawalha [<一个href="#B14">14一个>蔡]报道之间的系统和核自旋生成器(NSG)系统。在洛伦兹系统之间,陆系统,Four-scroll系统调查Elabbasy和El-Dessoky<一个href="#B15">15一个>]。
分数微积分处理衍生品和集成任意顺序的<一个href="#B16">16一个>- - - - - -<一个href="#B18">18一个>)和深,自然连接和许多应用数学、工程和物理。分数微积分已经广泛应用在控制理论<一个href="#B19">19一个>),粘弹性(<一个href="#B20">20.一个>],扩散[<一个href="#B21">21一个>- - - - - -<一个href="#B27">27一个>),动荡、电磁信号处理(<一个href="#B28">28一个>,29日一个>),和生物工程<一个href="#B30">30.一个>]。分析分数阶动力系统涉及Riemann-Liouville以及衍生品已经被现在的作者处理(卡普托<一个href="#B31">31日一个>,32一个>]。
分数阶混沌系统的同步首次研究了邓小平和李<一个href="#B33">33一个>)进行同步的陆分级系统。他们进一步调查陈同步分级系统(<一个href="#B34">34一个>]。李和邓小平总结了理论和技术的同步(<一个href="#B35">35一个>]。在一个同步的理论问题
对称耦合分数微分系统已经研究了周和李<一个href="#B36">36一个>]。此后许多分级系统由不同的研究人员进行了调查。几个例子在这方面是李et al。<一个href="#B37">37一个>蔡](系统),王et al。<一个href="#B38">38一个>陈](系统)、王、张(<一个href="#B39">39一个>](统一的系统),小王和他(<一个href="#B40">40一个>(统一的系统),Yu和李<一个href="#B41">41一个>](Rossler超混沌系统),Tavazoei Haeri [<一个href="#B42">42一个>(陈陆系统和系统)。近来Matouk [<一个href="#B43">43一个>陈陆)同步分级系统分级系统和分数陈系统部分洛伦兹系统。胡锦涛et al。(<一个href="#B44">44一个>陈)同步部分Lorenz和部分系统。进一步Bhalekar Daftardar-Gejji [<一个href="#B45">45一个>)研究之间的相互关系(分数)秩序和在不同的混沌系统的同步。然而,似乎没有以前的结果是两个不恒等的分数阶混沌系统。
在本文中,我们研究了antisynchronization以下部分系统使用主动控制方法:(i)洛伦茨与金融、金融与陈(ii),(3)与金融。
2。预赛
2.1。分数微积分
基本分数导数的定义和属性/积分给出以下(<一个href="#B16">16一个>,17一个>,46一个>]。
定义2.1。我> 一个真正的函数
(
)
,
>
0
,据说是在空间
,
∈
ℜ
如果存在一个实数
(
>
),这样
(
)
=
1
(
)
在哪里
1
(
)
∈
(
0
,
∞
)
。
定义2.2。我> 一个真正的函数
(
)
,
>
0
,据说是在空间
,
∈
ℕ
∪
{
0
}
如果
(
)
∈
。
定义2.3。我> 让
∈
和
≥
−
1
,那么(左侧)Riemann-Liouville积分
,
>
0
是由
1
(
)
=
Γ
(
)
0
(
−
)
−
1
(
)
,
>
0
。
(
2
。
1
)
定义2.4。我> 她的分数导数(左侧)
,
∈
−
1
,
∈
ℕ
∪
{
0
}
,被定义为
(
)
=
(
)
,
=
=
−
(
)
,
−
1
<
<
,
∈
ℕ
。
(
2
。
2
)
请注意,对于
−
1
<
≤
,
∈
ℕ
,
(
)
=
(
)
−
−
1
=
0
(
0
)
,
!
=
Γ
(
+
1
)
Γ
(
+
+
1
)
+
。
(
2
。
3
)
2.2。解决分数微分方程的数值方法
用于求解常微分方程数值方法必须被修改为解决分数微分方程(fd)。Adams-Bashforth-Moulton算法的修改Diethelm等人在<一个href="#B47">47一个>- - - - - -<一个href="#B49">49一个>解决fd)。
考虑为
∈
(
−
1
,
]
初值问题(IVP)
(
)
=
(
,
(
)
)
,
0
≤
≤
,
(
)
(
0
)
=
0
(
)
,
=
0
,
1
,
…
,
−
1
。
(
2
。
4
)
IVP (<一个href="#EEq2.5">2.4一个>)相当于沃尔泰拉积分方程
(
)
=
−
1
=
0
0
(
)
+
1
!
Γ
(
)
0
(
−
)
−
1
(
,
(
)
)
。
(
2
。
5
)
考虑到统一的网格
{
=
ℎ
/
=
0
,
1
,
…
,
}
对于一些整数
和
ℎ
∶
=
/
。让
ℎ
(
)
是近似
(
)
。假设我们已经近似计算
ℎ
(
)
,
=
1
,
2
,
…
,
,我们想获得
ℎ
(
+
1
)
通过方程
ℎ
+
1
=
−
1
=
0
+
1
!
0
(
)
+
ℎ
Γ
(
+
2
)
+
1
,
ℎ
+
1
+
ℎ
Γ
(
+
2
)
=
0
,
+
1
,
,
(
2
。
6
)
在哪里
,
+
1
=
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
+
1
−
(
−
)
(
+
1
)
我
f
=
0
,
(
−
+
2
)
+
1
+
(
−
)
+
1
−
2
(
−
+
1
)
+
1
我
f
1
≤
≤
,
1
我
f
=
+
1
。
(
2
。
7
)
初步近似
ℎ
(
+
1
)
被称为预测的吗
ℎ
+
1
=
−
1
=
0
+
1
!
0
(
)
+
1
Γ
(
)
=
0
,
+
1
,
,
(
2
。
8
)
在哪里
,
+
1
=
ℎ
(
(
+
1
−
)
−
(
−
)
)
。
(
2
。
9
)
这个方法是错误
米
一个
x
=
0
,
1
,
…
,
|
|
−
ℎ
|
|
ℎ
=
,
(
2
。
1
0
)
在哪里
=
米
我
n
(
2
,
1
+
)
。
3所示。系统描述
分数阶洛伦兹系统(<一个href="#B50">50一个>,51一个>)所描述的
=
(
−
)
,
=
−
−
,
=
−
,
(
3
。
1
)
在哪里
=
1
0
普朗特数,
=
2
8
瑞利数超过临界瑞利数,然后呢
=
8
/
3
给该地区由系统近似的大小。这个系统的最低有效维度是2.97 [<一个href="#B51">51一个>]。
在[<一个href="#B52">52一个>陈]提出分数阶的金融体系
=
+
(
−
)
,
=
1
−
−
2
,
=
−
−
,
(
3
。
2
)
在哪里
=
3
,
=
0
。
1
,
=
1
。的最低有效维度系统展品混乱是由2.32 [<一个href="#B52">52一个>]。
李和彭<一个href="#B53">53一个>陈]研究了分数阶混沌系统
=
1
(
−
)
,
=
1
−
1
−
+
1
,
=
−
1
,
(
3
。
3
)
在哪里
1
=
3
5
,
1
=
3
,
1
=
2
7
。最低有效尺寸报告是2.92 (<一个href="#B53">53一个>]。
陆分数阶系统是最低混沌系统的混沌系统在文献报道[<一个href="#B54">54一个>]。最低有效尺寸报告是0.30。系统是由
=
2
(
−
)
,
=
2
−
,
=
−
2
,
(
3
。
4
)
在哪里
2
=
3
5
,
2
=
3
,
2
=
2
8
。
4所示。分数阶之间Antisynchronization Lorenz和金融体系
在本节中,我们研究了antisynchronization Lorenz和金融体系之间的关系。假设洛伦兹系统驱动金融体系,我们定义驱动器(主)和反应(奴隶)系统如下:
1
=
1
−
1
,
1
=
1
−
1
−
1
1
,
1
=
1
1
−
1
,
(
4
。
1
)
2
=
2
+
2
−
2
+
1
(
)
,
2
=
1
−
2
−
2
2
+
2
(
)
,
2
=
−
2
−
2
+
3
(
)
。
(
4
。
2
)
未知的条件
1
,
2
,
3
在(<一个href="#EEq4.1">4所示。2一个>)主动控制函数来确定。定义误差函数
1
=
1
+
2
,
2
=
1
+
2
,
3
=
1
+
2
。
(
4
。
3
)
方程(<一个href="#EEq4.3">4所示。3一个>)和(<一个href="#EEq4.1">4所示。1一个>)和(<一个href="#EEq4.1">4所示。2一个>)产生错误的系统
1
=
(
−
)
1
+
1
+
1
1
−
1
−
1
−
1
1
−
1
2
+
1
2
+
3
+
1
(
)
,
2
=
1
+
1
−
2
1
+
(
−
1
)
1
−
1
1
+
2
1
1
−
2
1
−
2
+
2
(
)
,
3
=
1
+
(
−
)
1
+
1
1
−
1
−
3
+
3
(
)
。
(
4
。
4
)
我们定义了主动控制功能
(
)
作为
1
(
)
=
1
(
)
−
(
−
)
1
−
1
−
1
1
+
1
+
1
1
+
1
2
−
1
2
,
2
(
)
=
2
(
)
−
1
−
1
+
2
1
−
(
−
1
)
1
+
1
1
−
2
1
1
+
2
1
,
3
(
)
=
3
(
)
−
1
−
(
−
)
1
−
1
1
。
(
4
。
5
)
条款
(
)
是线性函数的错误条件
(
)
。的选择
(
)
由(<一个href="#EEq4.5">4所示。5一个>),误差系统(<一个href="#EEq4.5">4所示。5一个>)成为
1
=
−
1
−
3
+
1
(
)
,
2
=
−
2
+
2
(
)
,
3
=
−
1
−
3
+
3
(
)
。
(
4
。
6
)
控制条件
(
)
选择的系统(<一个href="#EEq4.6">4所示。6一个>)变得稳定。没有一个独特的选择等功能。我们选择
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
=
1
e
2
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
(
4
。
7
)
在哪里
是一个
3
×
3
真正的矩阵,选择所有特征值
的系统(<一个href="#EEq4.6">4所示。6一个>)条件
|
|
一个
r
g
|
|
>
2
(
4
。
8
)
是满意的。(稳定条件(<一个href="#EEq4.8">4所示。8一个>在文献中讨论)(<一个href="#B55">55一个>- - - - - -<一个href="#B57">57一个>])。如果我们选择
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
−
1
0
−
1
0
−
1
+
0
1
0
−
1
,
(
4
。
9
)
然后线性系统的特征值(<一个href="#EEq4.6">4所示。6一个>)
−
1
,
−
1
,−1。因此,条件(<一个href="#EEq4.8">4所示。8一个>)是满意的
<
2
。因为我们只考虑的价值观
≤
1
,我们得到所需的antisynchronization。
4.1。仿真和结果
洛伦兹系统的参数作为
=
1
0
,
=
2
8
,
=
8
/
3
和金融系统
=
3
,
=
0
。
1
,
=
1
。的分数阶
采取的是0.99的系统混乱。驱动和响应系统的初始条件
1
(
0
)
=
1
0
,
1
(
0
)
=
5
,
1
(
0
)
=
1
0
和
2
(
0
)
=
2
,
2
(
0
)
=
3
,
2
(
0
)
=
2
,分别。因此误差系统初始条件
1
(
0
)
=
1
2
,
2
(
0
)
=
8
,
3
(
0
)
=
1
2
。数据<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2011/250763/fig1/" target="_blank">1(一)一个>- - - - - -<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2011/250763/fig1/" target="_blank">1 (c)一个>显示之间的antisynchronization Lorenz和金融体系;响应系统是由虚线。的错误
1
(
)
(实线),
2
(
)
(虚线)和
3
(
)
(点划线)anti-synchronization如图<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2011/250763/fig1/" target="_blank">1 (d)一个>。
5。Antisynchronization金融和陈之间的分数阶系统
假设陈系统antisynchronized与金融系统;定义驱动系统
1
=
1
+
1
−
1
,
1
=
1
−
1
−
2
1
,
1
=
−
1
−
1
(
5
。
1
)
和系统的响应
2
=
1
2
−
2
+
4
,
2
=
1
−
1
2
−
2
2
+
1
2
+
5
,
2
=
2
2
−
1
2
+
6
。
(
5
。
2
)
让
1
=
1
+
2
,
2
=
1
+
2
,
3
=
1
+
2
是错误的功能。antisynchronization,至关重要的是,错误
→
0
作为
→
∞
。请注意,
1
=
1
−
1
−
1
1
+
1
1
+
1
−
1
1
+
1
2
+
4
(
)
,
2
=
1
+
1
−
1
1
−
2
1
−
+
1
1
−
1
1
+
1
−
1
1
+
1
1
+
1
2
+
1
3
−
1
3
+
5
(
)
,
3
=
−
1
+
1
1
+
1
−
1
−
1
1
−
1
2
+
1
2
−
1
3
+
6
(
)
。
(
5
。
3
)
选为控制功能
4
=
4
−
1
−
1
+
1
1
−
1
1
−
1
,
5
=
5
−
1
−
1
−
1
1
+
2
1
+
+
1
1
+
1
1
−
1
1
−
1
3
+
1
3
,
6
=
6
+
1
−
1
1
−
1
−
c
1
+
1
1
+
1
2
−
1
2
。
(
5
。
4
)
的线性函数
4
,
5
,
6
是由
4
=
1
−
1
1
−
1
2
,
5
=
−
1
−
1
1
−
1
+
1
2
,
6
=
1
−
1
3
。
(
5
。
5
)
给出的值(<一个href="#EEq5.4">5.4一个>)和(<一个href="#EEq5.5">5.5一个>),误差系统(<一个href="#EEq5.3">5.3一个>)成为
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−
1
0
0
0
−
1
0
0
0
−
1
1
2
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
。
(
5
。
6
)
它可以观察到的系数矩阵误差系统(<一个href="#EEq5.6">5.6一个>)特征值
−
1
,
−
1
,
−
1
。因此,系统是稳定的和antisynchronization。
5.1。仿真和结果
我们将为陈分数阶系统参数
1
=
3
5
,
1
=
3
,
1
=
2
7
。金融系统的参数一样的部分<一个href="#sec4.1">4所示。1一个>。实验是做分数阶的定值
=
0
。
9
5
,这是相同的驱动和响应系统(<一个href="#EEq5.1">5.1一个>)和(<一个href="#EEq5.2">5.2一个>)。系统的初始条件(<一个href="#EEq5.1">5.1一个>)和(<一个href="#EEq5.2">5.2一个>)
1
(
0
)
=
2
,
1
(
0
)
=
3
,
1
(
0
)
=
2
和
2
(
0
)
=
1
0
,
2
(
0
)
=
2
5
,
2
(
0
)
=
3
6
,分别。错误的系统(<一个href="#EEq5.6">5.6一个>),初始条件是
1
(
0
)
=
1
2
,
2
(
0
)
=
2
8
,
3
(
0
)
=
3
8
。仿真结果图进行了总结<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2011/250763/fig2/" target="_blank">2一个>。Antisynchronization之间部分金融和陈系统如图<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2011/250763/fig2/" target="_blank">2(一个)一个>(信号
1
,
2
),图<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2011/250763/fig2/" target="_blank">2 (b)一个>(信号
1
,
2
),和图<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2011/250763/fig2/" target="_blank">2 (c)一个>(信号
1
,
2
)。注意,该驱动系统是实线所示,而反应系统由虚线所示。的错误
1
(
)
(实线),
2
(
)
(虚线),
3
(
)
(点划线)antisynchronization如图<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2011/250763/fig2/" target="_blank">2 (d)一个>。
6。陆Antisynchronization之间分数和金融体系
在这种情况下,考虑系统的驱动系统
1
=
2
1
−
1
,
1
=
2
1
−
1
1
,
1
=
1
1
−
2
1
,
(
6
。
1
)
和响应系统作为整个金融体系
2
=
2
+
2
−
2
+
7
,
2
=
1
−
2
−
2
2
+
8
,
2
=
−
2
−
2
+
9
。
(
6
。
2
)
让
1
=
1
+
2
,
2
=
1
+
2
,
3
=
1
+
2
是错误的功能。antisynchronization,至关重要的是,错误
→
0
作为
→
∞
。为此应选择一个控制项
7
,
8
,
9
正常。错误系统因此变得
1
=
−
2
1
+
2
1
+
1
1
−
1
−
1
−
1
1
−
1
2
+
1
2
+
3
+
7
,
2
=
1
−
2
1
+
+
2
1
−
1
1
+
2
1
1
−
2
1
−
2
+
8
,
3
=
1
+
1
1
+
−
2
1
−
1
−
3
+
9
。
(
6
。
3
)
选为控制功能
7
=
7
−
−
2
1
−
2
1
−
1
1
+
1
+
1
1
+
1
2
−
1
2
,
8
=
8
−
1
+
2
1
−
+
2
1
+
1
1
−
2
1
1
+
2
1
,
9
=
9
−
1
−
1
1
−
−
2
1
。
(
6
。
4
)
的线性函数
7
,
8
,
9
是由
7
=
(
−
1
)
1
−
3
,
8
=
(
−
1
+
)
2
,
9
=
1
+
(
−
1
)
3
。
(
6
。
5
)
给出的值(<一个href="#EEq6.4">6.4一个>)和(<一个href="#EEq6.5">6.5一个>),误差系统(<一个href="#EEq6.3">6.3一个>)成为
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
2
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−
1
0
0
0
−
1
0
0
0
−
1
1
2
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
。
(
6
。
6
)
它可以观察到的系数矩阵误差系统(<一个href="#EEq6.6">6.6一个>)特征值
−
1
,
−
1
,
−
1
。因此,系统是稳定的和antisynchronization。
6.1。仿真和结果
陆系统的参数
2
=
3
5
,
2
=
3
,
2
=
2
8
金融体系,而参数没有改变。驱动系统的初始条件
1
(
0
)
=
0
。
2
,
1
(
0
)
=
0
,
1
(
0
)
=
0
。
5
,而反应系统的初始条件
2
(
0
)
=
2
,
2
(
0
)
=
3
,
2
(
0
)
=
2
。因此错误系统的初始条件(<一个href="#EEq6.6">6.6一个>)
1
(
0
)
=
2
。
2
,
2
(
0
)
=
3
,
3
(
0
)
=
2
。
5
。我们执行了分数阶的数值模拟
驱动系统,即0.91 (<一个href="#EEq6.1">6.1一个>)和响应系统(<一个href="#EEq6.2">6.2一个>)。数据<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2011/250763/fig3/" target="_blank">3(一个)一个>,3 (b)一个>,3 (c)一个>显示部分之间antisynchronization Lu和金融系统
=
0
。
9
1
。图<一个href="//www.newsama.com/journals/ijde/2011/250763/fig3/" target="_blank">3 (d)一个>显示的错误
1
(
)
(实线),
2
(
)
(虚线),
3
(
)
在antisynchronization(点划线)
=
0
。
9
1
。
Mathematica 7已被用于计算摘要。
7所示。结论
Antisynchronization不恒等的分数阶混沌系统已经完成首次在文献中使用主动控制。部分金融体系由分数洛伦兹系统,控制部分陈系统控制部分金融体系,金融体系和分级陆由分级控制系统。
承认
诉Daftardar-Gejji承认美国科技、n德里,印度的研究资助(项目号SR / S2 / HEP-024/2009)。