文摘
通过结合嵌入参数和变分方法,我们获得无穷多解一类超线性椭圆问题罗宾边值在较弱的条件下。
1。介绍
在本文中,我们考虑以下方程:
在哪里是一个有限域具有光滑边界和。表示
,让的特征值罗宾的边界条件。我们假设以下控制:
( ) ,这样在哪里,。如果,让;
( ) ,统一为。( )存在酸处理( ) ,。
因为,(1。1)通常被称为超线性问题。在[1,2),作者获得无穷多解(1。1)和狄利克雷边界值条件,和
,这样
很明显,可以推导出形式(AR)。(AR)、下(PS)可以推导出有限序列。然而,很容易看到的例子(3]
定义1.1。假设我们说,巴拿赫空间吗满足赛拉米条件(C),如果:(我)任何有界序列令人满意的,拥有一个收敛的子序列;(2)存在表面张力对任何与,。
在工作在2,7),喷泉定理得到条件下(PS)。尽管条件(C)比(PS)较弱,著名的变形定理仍是真正的条件下(C)(见[5])。有下面的定理(C)条件下喷泉。
假设,在那里有限维子空间的吗。为每一个,让
表示。
命题1.2。假设满足条件(C)。为每一个,存在这样(我) ,,(2) 。然后有一系列的临界点,这样作为。
作为一个特定的连接定理,喷泉定理是一个版本的对称经由定理。使用上述定理,作者在6]证明了多个解决方案问题(1。1诺伊曼边界值条件;作者在3]证明了多个解决方案问题(1。1)和狄利克雷边界值条件。还在本文中,我们使用定理给出无穷多解问题(1。1)。主要结果如下。
定理1.3。在假设()- (),问题(1。1)有无穷多的解决方案。
1.4的话。在工作在1,2),他们有无穷多解问题(1。1)和狄利克雷边界值条件下条件(AR)。
1.5的话。在工作在8),他们展示了一个非平凡解的存在问题(1。1),而我们得到了它的无穷多解在较弱的条件下比8]。
1.6的话。在工作在9),他们也获得了无穷多解问题(1。1)和狄利克雷边界值条件下强比上述条件和以上。此外,函数(1。6()不满足所有条件9]。因此,定理1。3应用于狄利克雷边界值问题改善结果(1,2,8,9]。
2。预赛
让水列夫空间。表示
的规范在,的规范在。考虑到功能:
然后,是和
的临界点只是问题的弱解(1。1)。
因为我们不假设条件(AR),我们必须证明的功能满足条件(C)而不是条件(PS)。
引理2.1。(下)- (),满足条件(C)。
证明。对所有,我们假设是有界的,
,如果有必要,随后发生的事情,我们可以假设在,然后
也就是说,
由于水列夫嵌入紧凑,我们的右边(2.6)收敛于0。而,我们有。由此可见,在和,条件(我)的定义1。1成立。
接下来,我们证明条件(2)的定义1。1如果不存在和令人满意的,
然后我们有
表示,然后,也就是说,是有界的,因此对于一些,我们得到
如果,定义一个序列在[4]
如果由于某种,有很多令人满意的(2.10),我们选择其中之一。对所有,让它遵循的乙醯。那
然后足够大,(2.9),(2.11),,我们有
也就是说,。自和,然后。因此
我们可以看到,
从上述,我们推断
这与(2.8)。
如果,(2.7)
也就是说,
自存在,在(有界弱收敛序列),我们得到的
在哪里水列夫跟踪嵌入的常数吗,10]。我们有
为,我们得到。然后
利用引理,因为勒贝格测度,
另一方面,存在,这样为。此外,
现在,有酸处理
在一起(2.19)和(2.21),(2.23),这是一个矛盾。
这证明满足条件(C)。
3所示。定理的证明1。3
然后。这表明通过由引理和满足条件(C)2.1。
(我)整合后,我们获得的这存在这样
让我们定义。由(2,引理),我们得到作为。自,让和,然后由(3所示。2),与我们有
请注意,和,我们推断
(2)而
我们可以推断出相当于标准的在。自和所有规范在有限维空间中是等价的,存在,尽管,我们得到
下一个的,有这样为。取:=,,然后对所有,我们获得
因此,我们得到的足够大(),
喷泉定理的命题1。2,有一系列的临界点,这样作为,(1。1)有无穷多的解决方案。
3.1的话。由定理1。3以下方程: 无穷多的解决方案,而不能获得的结果(1,2,8,9]
3.2的话。在接下来的论文,我们希望考虑符号变换解问题(1。1)。
确认
我们非常感谢裁判有用的评论。c·李是由国家自然科学基金委(10601058、10601058和10601058)。这项工作得到了中国国家科学基金会(10726003)、山东(Q2008A03),美国国家科学基金会和曲阜师范大学的基础。