文摘

考虑到 是一个光滑紧凑和对称黎曼吗 多方面的, 反对称的迹象,我们证明多样性结果改变问题的解决方案 在 。在这里 如果 和 如果 。

1。介绍

让 没有边界的光滑紧凑的连接黎曼流形的维度 。让我们考虑这个问题 在哪里 如果 如果 和 是一个积极的参数。在这里 是完成 关于 众所周知,任何能量函数的临界点 限制当地歧管 是一个解决方案(1.1)。在这里 在[1]作者表明,最小能量解(1.1),也就是最低的 在 是一个积极的解决方案与穗层,其峰值收敛于标量曲率的最大值点吗 的 作为 归零。先后在(2)(参见[3,4])作者指出拓扑流形 影响正解的多重性(1.1),也就是说,(1.1)至少有 重要的解决方案提供 是足够小。在这里 表示Lusternik-Schnirelman一类 最近,在5- - - - - -7)已经证明,正解的存在是强烈的几何形状有关 ,这是稳定的临界点的标量曲率 产生积极的解决方案与一个或多个峰值 归零。

至于这问题的存在信号改变解决方案(1.1),一些结果是已知的。取得第一个结果(7]在那里建造解决方案与一个积极的和一个负峰,峰值的方法, 趋于零,最小值点和最大点 ,提供了标量曲率不是常数。在[8作者假设如下:

(年代)管汇的 是一个常规子流形的 不变的对 ,在那里 是一种正交线性变换,这样吗 和 的身份

他们证明问题(1.1)至少有 对信号变化的解决方案,完全改变符号。在这里 表示 等变化Lusternik-Schnirelman类别组 和

在本文中,我们假设 满足( 在特定的情况下) 我们寻找问题的解决方案 我们评估解决方案的数量问题(1.5使用莫尔斯理论)。我们的主要结果读取如下。

定理1.1。假设 足够小的所有解决问题(1.5接近)与能量 非简并。然后至少有 双 (所有非平凡解1.5)改变符号到底一次, 在这里 和 是庞加莱多项式 当

关于非退化假设的所有的能量接近临界点 ,我们认为这是真的在某种意义上对“一般” 在哪里 是一个积极的参数和 是一个黎曼度量。

我们指出问题(1.1廖时)已被广泛研究 取而代之的是一个开放的有界和光滑域 狄利克雷或诺伊曼边界条件。特别是,它研究了域拓扑或域几何形状的影响的解决方案。见,例如,(9- - - - - -19狄利克雷问题],[20.- - - - - -32诺埃曼问题),

本文组织如下。节2我们设置了问题,我们回忆起一些已知结果;节3我们给的证明定理1.1;节4我们证明了技术引理4.5定理的证明,这是至关重要的1.1。

2。问题的设置

首先,我们会回忆起一些拓扑概念使用。

定义2.1(庞加莱多项式)。如果 两个拓扑空间,庞加莱多项式 被定义为以下幂级数在吗 : 在哪里 是 th同源组系数在某些领域。此外,我们组 如果 是一个紧凑的管汇,我们有吗 在这种情况下 是一个多项式,而不是一个正式的系列。

定义2.2(莫尔斯指数)。让 是一个 巴拿赫空间功能 和 一个孤立的临界点 与 如果 莫尔斯(多项式)指数 的 是以下系列: 在哪里 是 th同岛的夫妇 如果 是一个非简并的临界点 然后 在哪里 (数值)莫尔斯指数吗 它是由最大的子空间的维数双线性形式 是负面的。

是有用的回忆以下结果(见[33])。

2.3的话。让 和 拓扑空间。如果 和 是连续映射,这样吗 是等位的身份地图 然后 在哪里 是一个非负系数多项式。

现在,让我们指出转换 引发一个转换上 我们定义的线性算子 如下: 操作员 自伴对以下数积 相当于一般的一个: 导致一种常态 特别是,我们有 在这里 表示的常态 相当于普通的一个。因此,在美德的宫殿原则,非平凡解(1.5限制的临界点 到 不变的当地廖 在哪里

事实上,自 和 是一个自伴算子,我们有吗 所以 如果

让我们集合 ,让 是在(1.6)。

很容易验证 满足Palais-Smale条件 然后,存在 最小值的 和 是一个临界点的 在 因此 和 属于 然后 我们回想一下, 因为它已被证明在2,评论 ]。

众所周知,存在一个唯一积极的球对称(关于原点)的功能 最小值的 显然这一事实意味着 在 和任何 我们可以定义一个家庭的功能 满足以下方程 在 。

在任何契约连接的黎曼流形的切丛 ,它定义指数映射 这是一个 地图。然后 足够小(小于吸水半径 ),廖 有一组特殊的图表给出的 在哪里 是认同 为 在这里 表示球 集中在 半径为 和 表示球 集中在 半径为 距离的度量 这些图表对应的坐标系统正常的坐标。

3所示。证明的主要成分

让我们素描的证明我们的主要结果。

自 (见引理4.3),因为 为 足够小, 因此 不是一个关键的价值 对于任何 固定 如果的临界点 是有限的 我们可以选择 这样 不是一个关键的价值

让 的设置通过识别映点当地多方面的 很容易检查 是同胚的射影空间 这是获得通过识别映在联合国单位球吗 在空间

我们正在寻找对重要的临界点 如果功能 我们正在搜查临界点的功能 定义为 我们使用相同的参数如33]。下面的关系可以证明(33,34](见[33,引理 ):

由引理4.5我们推断出 在哪里 等位的地图和身份 homotopically相当于 因此通过的话2.3我们得到了 在哪里 是一个非负整数的多项式系数。

我们假设我们有 足够小的临界点 这样 非简并。另外的功能 满足Palais-Smale条件。然后通过莫尔斯理论和关系(3所示。1)和(3所示。3)至少我们得到了 双 重要的解决方案(1.5)。备注(4.7)这些解决方案改变符号。,总结了定理的证明1.1。

3.1的话。由(33,引理 我们推断出 自 是同胚的 我们得到了 提供了同源性评估 系数(见,例如,35,定理 ]),我们有 然后,如果所有的临界点都非简并,我们得到无穷多对 重要的解决方案(1.5)。

4所示。技术成果

让 是一个光滑的截止功能,这样 固定一个点 和 ,让我们定义的函数 在 作为 我们选择 比的吸水半径小 和这样的 对于任何 对于任何 我们可以定义一个正数 这样 也就是说, 验证 在[2,命题 下面的引理证明。

引理4.1。鉴于 地图 是连续的。此外,鉴于 存在 这样,如果 然后

现在,固定一个点 让我们定义的函数 它认为, 由(4.4)和(4.6),我们推断 下一个结果的证明遵循相同的参数作为(8]。

引理4.2。鉴于 地图 是连续的。此外,鉴于 存在 这样,如果 然后

证明。自 是一个径向对称函数,我们准备好了吗 此外,因为我们有 我们得到了 因为通过(4.7)我们有 因此
为了得到 这是足以证明 因为通过引理4.1该声明将跟随。以来的支持功能 是 和 由(4.6)和函数的定义 ,我们得到 总结了证明。

引理4.3。一个有

证明。由引理4.2和(4.12我们对于任何 存在 这样,对于任何 它认为, 自 (见[2,评论 )我们得到索赔。

对于任何函数 我们可以定义一个点 通过

引理4.4。存在 这样,对于任何 对于任何 (如引理4.2),为任何功能 ,它认为, 在哪里

证明。让 自 我们设置 和 很容易看到 然后我们有 自 我们有 和(2,命题 我们得到索赔。

很容易检查 和 而且,通过前题4.1和4.2,我们可以定义一个地图 通过 由引理4.4我们可以定义一个地图 通过

引理4.5。存在 这样,对于任何 地图 被很好地定义,连续,等位的身份映射。

证明。的前题4.2和4.4, 是定义良好的。为了显示 是等位的身份,我们估计以下区别: 因此 因为 为一个常数 这并不取决于意义 因此 ;总结了证明。

4.6的话。我们只有证明任何解决方案 (1.5),这样 一次真正变化迹象。事实上,假设一组 有 连接组件 集 如果 和 否则。我们有 和 然后 这个结论的证明。