文摘

直接的解决方案的为初始值问题(ivp)被认为是基于同伦分析方法(火腿)。火腿的解决方案包含一个辅助参数,提供了一个方便的方式控制级数的收敛域的解决方案。火腿给近似解析解的比较精度七和eight-order龙格-库塔方法(RK78)。

1。介绍

高阶初始值问题(ivp)出现在物理和工程问题的数学模型。一般来说,第二和高阶ivp比一阶ivp更难解决。是可能的一个特殊的集成通过减少到一阶系统阶IVP和应用等系统的建立方法之一。然而,它似乎更自然提供直接数值方法求解阶ivp。

本文的目的是提出一个替代方法的直接的解决方案阶ivp基于同伦分析方法(火腿)。分析同伦分析方法(火腿),最初提出的廖教授在他的博士论文1),是一种强大的方法求解线性和非线性问题。(感兴趣的读者可以参考被书(2)系统和清晰的阐述此方法)。近年来,该方法已经成功地用来解决科学和工程的许多类型的非线性问题(3- - - - - -17]。所有这些成功应用验证了有效性、有效性和灵活性的火腿。最近,Bataineh et al。18- - - - - -25)使用标准的火腿在工程科学来解决一些问题。火腿收益率一系列解决方案的快速收敛,在大多数情况下,通常只有几个迭代导致非常准确的解决方案。因此廖汉姆是一个普遍的一种可以解决各种各样的非线性方程组。Bataineh et al。18]首先提出一个修改火腿称为(MHAM)来解决系统的二阶BVPs。另一个新提出的方法在火腿Yabushita et al。26]谁火腿不仅适用于控制微分方程,但是代数方程。我们称之为新变型NHAM火腿。

在这项工作中,我们考虑一个班的阶ivp的形式 初始条件 在哪里代表一个连续的,真正的线性/非线性函数,,,,是规定的。最近的一些直接(纯粹的)数值方法求解二阶ivp由现金(27),拉莫斯和Vigo-Aguiar28,29日]。最近Yahaya et al。30.)应用seminumeric多级修改Adomian分解方法来解决阶ivp (1.1)- (1.2)。最近,Chowdhury和Hashim31日]证明了分析的适用性homotopy-perturbation方法求解阶ivp。

本文的目的是应用火腿和NHAM首次获得近似解阶ivp直接。我们将演示的准确性火腿和NHAM通过一些测试的例子。数值比较会与7 - eight-order龙格-库塔方法(RK78)。

2。基本思想的火腿

描述的基本想法火腿,我们认为以下微分方程: 在哪里是一个非线性算子,表示自变量,是一个未知函数。通过概括传统的同伦方法,廖(2]构造所谓的零变形方程 在哪里是一个嵌入参数,是一个非零的辅助函数,是一个辅助线性算子,一个初始猜测的和是一个未知函数。重要的是要注意,一个伟大的自由选择辅助对象等和在火腿。显然,当和,两个 持有。因此,增加从0到1,解决方案不同的初始猜测解决方案。扩大在泰勒级数对,一个 在哪里 如果辅助线性算子,最初的猜测,辅助参数辅助函数是如此的正确选择,然后系列(2。4)是收敛的和一个 必须原非线性方程的解决方案之一,廖证明(2]。如果,(2。2)成为 主要用于HPM (32]。

根据(2。5),控制方程可以推导出的零变形方程(2。2)。我们定义的向量 区分(2。2)次对嵌入参数然后设置最后他们除以,我们有所谓的mth-order变形方程 在哪里 应该强调()由线性方程(2。9)线性边界条件来自最初的问题,这可以很容易地解决符号计算软件如枫和数学。

火腿的新方法,提出了通过Yabushita et al。26]。我们将NHAM调用这个方法。Yabushita et al。26)考虑以下抛物问题: 在哪里 标准的火腿应用到这个问题产生了一个不同的解决方案在某些解决方案域的一部分。NHAM,不仅建立了零阶变形方程(2.11),但也为(2.12)。这轻微的修改NHAM提供更准确的解决方案。

3所示。数值实验

说明火腿的有效性,我们将考虑的四个例子阶ivp (1.1)- (1.2)。

3.1。例子? ? 1

我们首先考虑非线性二阶IVP 初始条件 确切的解决方案是 解决(3.1)- (3.2)通过火腿,我们选择初始近似 和线性算子 随着房地产 在哪里()是集成的常量。此外,(3.1)表明,我们定义了非线性算子 使用上面的定义,我们构建的零阶变形方程在(2。2)和mth-order变形方程为是在(2。9)与初始条件 在哪里 现在的解决方案米阶变形为是 我们现在先后获得 然后可以书面形式级数解表达式 等等。因此,当该系列解决方案是 收敛于封闭的解决方案(3.3)。

3.2。2例? ?

考虑线性四阶IVP, 初始条件 确切的解决方案是 解决(3.14)- (3.15)通过火腿,我们选择初始近似 和线性算子 随着房地产 在哪里()是集成的常量。根据零阶变形方程(2。2)和mth-order变形方程为(2。9)与初始条件 在哪里 的解决方案米阶变形为是一样的(3.10)。

我们现在先后获得 然后可以书面形式级数解表达式 等等。因此,当该系列解决方案是 等等。因此,本系列解决方案 收敛于封闭的解决方案(3.16)。

3.3。3例? ?

现在考虑非线性四阶IVP, 初始条件 确切的解决方案是 根据火腿,初始近似值 和线性算子是(3.18)和属性(3.19),()是集成的常量。根据零阶变形方程(2。2)和mth-order变形方程(2。9)与初始条件(3.20), 的解决方案米阶变形为是一样的(3.10)。

我们现在先后获得 然后可以书面形式级数解表达式 等等。因此,当该系列解决方案是 等等。

因此,本系列解决方案 收敛于封闭的解决方案(3.28)。

3.4。4例? ?

最后我们考虑非线性Genesio方程(33] 在哪里 初始条件 在哪里都是正的常数满足。

首先,我们解决(3.35)通过火腿。根据火腿,初始近似值 和线性算子 随着房地产 在哪里()是集成的常量。根据零阶变形方程(2。2)和mth-order变形方程(2。9)与初始条件 在哪里 的解决方案米阶变形为是一样的(3.10)。

我们现在先后获得时,和, 等等。

现在我们使用新的技术,即NHAM, Yabushita et al。26解决(3.35)。在这种技术中,我们构建的零阶变形方程不仅(3.35),还因为(3.36)如下: 和mth-order变形方程 与初始条件 在哪里 再一次,我们先后获得时,和, 等等。然后可以书面形式级数解表达式

该系列解决方案(3.12),(3.23),(3.32),(3.49)和(3.50)包含辅助参数。方法的有效性是基于这样一个假设系列(2。4)是收敛的。它是辅助参数这确保可以满足这种假设。一般来说,通过所谓的曲线,它是简单的选择一个合适的值这确保了级数收敛的解决方案。图1显示了曲线从5次火腿获得近似解(3.1),(3.14)和(3.26)。从这个图中,有效的地区对应线段近平行于水平轴。用特殊的选择的系列解决方案(3.12),(3.23)和(3.32)收益率精确解(3.3),(3.16)和(3.28)。同样的数据2和3显示了曲线从eleventh-order火腿和NHAM获得近似解(3.35)和(3.36)。在图4我们获得Genesio方程的数值解使用eleventh-order火腿和NHAM近似。表明,火腿和NHAM解决方案非常同意的解决方案获得的七,eight-order龙格-库塔方法(RK78)。此外,我们得出结论,该算法由NHAM比经典的火腿更稳定。

备注1。方程(3.35)由Genesio [33)作为一个系统包括一个简单的广场和三个简单的常微分方程,一部分取决于三个积极的实际参数。Bataineh et al。19)在区间讨论该系统的行为通过使用火腿,所以根据图4我们得出结论,数值解的行为(3.35)比数值解得到更稳定的(19使用经典的火腿)。

4所示。结论

本文应用同伦分析方法火腿来解决一类线性和非线性阶ivp和Genesio方程。火腿为我们提供了一个方便的方式控制近似级数的收敛性,这是一个基本定性火腿和其他方法之间的差异分析。说明性的例子表明,火腿是一种强大的方法,非线性科学与工程问题。

确认

作者要感谢金融支持收到MOSTI Sciencefund拨款:04-01-02-SF0177和传奇格兰特stgl - 011 - 2006 (P24c)。