具有反周期边界条件的分数阶积分微分方程解的存在性

摘要

讨论了一类非线性反周期分数阶积分微分方程边值问题解的存在性．利用压缩映射原理和Krasnoselskii不动点定理建立了结果。

1.介绍

最近，分数微分方程的主题被出现为一个重要的调查领域。在许多工程和科学学科中出现分数微分方程，因为分数衍生物描述了物理，化学，空气动力学，络合物，聚合物流变学等的物理，化学，空气动力学，电动动力学领域的许多事件和过程。对于最近对该主题的发展，见[1-15.及其参考文献。

整合方程出现在许多工程和科学学科中，往往是对部分微分方程的近似，这代表了大部分连续现象。许多形式的这些方程是可能的。有关详细信息，请参阅[16.-20.及其参考文献。

反周期边值问题最近受到了相当多的关注，因为反周期边值条件出现在许多情况下，例如，见[21.-25.]．

在本文中，我们证明了以下对抗周期性分数边值问题的一些存在和唯一性结果： 在哪里为阶Caputo分数阶导数那和那

与．这里，是一个Banach空间和表示所有连续函数的巴拿赫空间赋予统一收敛的拓扑，标准表示．

2.预赛

首先，我们记得一些基本定义[26.-28.]．

定义2.1。为一个函数分数阶Caputo导数被定义为 在哪里表示实数的整数部分

定义2.2。黎曼-刘维尔阶分数积分被定义为 只要积分存在。

定义2.3。riemann-liouville的秩序的分数衍生为一个函数被定义为 假设右边是点向定义的．

LEMMA 2.4（见[8.]）。为了分数微分方程的一般解是（谁）给的 在哪里那（）。

根据引理2．4，这就引出了 对于一些那（）。

现在，我们提出一个由克拉斯诺塞尔斯基提出的已知结果[29.，需要证明(1.1）。

定理2.5。让是巴拿赫空间的闭凸非空子集．让是(i)每当;（ii）紧凑且连续;（iii）是一个收缩映射。然后存在这样

引理2.6。对于任何边值问题的独特解决方案 是（谁）给的 在哪里格林函数是什么

证明。使用(2.5)，对于某些常数我们有 鉴于关系和为我们获得 应用边界条件我们发现 因此，(2．6） 是 在哪里由(2．8）。这完成了证明。

3.主要结果

为了证明主要结果，我们需要以下假设：

（ ） ， 对所有人那;（ ） ， 对所有人和．

定理3.1。让是满足假设的联合连续功能与．则反周期边值问题(1.1)有唯一解。

证明。定义经过 设置选择，我们证明了在哪里为了我们有 现在，为对于每个我们获得 在哪里这仅取决于问题所涉及的参数。作为所以是一种萎缩。因此，定理的结论遵循收缩映射原理（Banach Fixed Point定理）。

定理3.2。让是有界子集的联合连续函数映射组成相对紧凑的子集和假设-保持与．则反周期边值问题(1.1）至少有一个解决方案．

证明。让我们解决 并考虑我们定义了运营商和在作为 为了我们发现 因此,这是由假设得出的那收缩映射是为了什么的连续性意味着运营商是连续的。还，是均匀的界限作为 现在我们证明了算子的紧性以...的观点我们定义那，因此我们有 是独立于所以相对紧凑．因此，根据Arzela Ascoli定理，是紧凑的因此，所有定理的假设2.5的结论和定理2.5说明反周期边值问题(1.1）至少有一个解决方案．

例3.3。考虑以下反周期边值问题: 这里，那清楚地， 所以感到满意进一步 因此，由定理3．1，边值问题(3．9)有一个唯一的解决方案

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