来自重叠投影的SART型图像重建

摘要

为了最大限度地提高来自多个x射线源的时间积分x射线通量并缩短数据采集过程，一种有希望的方法是允许多个源同时进行重叠投影，而不涉及源复用技术。在这种配置中最具挑战性的任务是有效地从重叠投影执行图像重建。受单源同时代数重建技术(SART)的启发，我们提出了一种基于稀疏性约束的软阈值滤波框架正则化的多源SART型重建算法，用于从重叠投影中重建图像。数值仿真结果验证了所提算法的正确性，证明了重叠投影图像重建的优越性。

1.介绍

由于第一计算断层扫描（CT）扫描仪进行了[1[所有商业扫描仪一直采用具有单个小焦点的X射线源，可以作为点源建模。在微型CT甚至纳米CT应用中，降低的X射线焦点尺寸变得越来越具有达到对比度和时间分辨率目标的限制因素。为了解决这个问题，我们最近建议使用线状X射线源，以便在给定的数据采集间隔中可以生成更多的光子[2］．在此上下文中，X射线源可以被建模为线段，可以进一步自由地建模为一系列点[3.］．在单源CT扫描仪中，对比度分辨率受到产生足够数量的X射线光子所需的有限焦点尺寸的限制，并且时间分辨率受到在全扫描或一半上获取足够许多投影的时间限制-scan角度范围。由于线源覆盖每个视图宽角度范围，因此增加了光子的数量以辐射要重建的物体。因此，使用线形X射线源或多源阵列是用于平衡空间，对比度和时间分辨率的候选方案。

有趣的是，基于碳纳米管（CNT）的场发射X射线源技术是近几种在传统X射线管上具有几种内在优点的发明。为了最大化来自多个源的时间集成的X射线通量并提高信噪比（SNR），使用多路复用，其中多源令人振奋，具有不同的时间调制[4.］．如果同时触发了两个或更多个源，则X射线光子将与任何单一测量一起达到相同的探测器，并且一个是不可能识别哪个光子来自哪个源。为了解密来自各种源的信号，可以在不同时间瞬间收集多个投影以进行同一视图[5.］．由于读出速度和混合信号有限，在对比度和时间分辨率方面使用多路复用配置几乎没有优点。我们正在与北卡罗来纳大学奥托周的集团博士合作，我们正在开发一种新型多源微型CT系统。在我们的系统中，我们计划同时启动多源系统，并在共享探测器阵列的非分散段上获取多个投影[6.］．随着最近开发的压缩采样（CS）技术[7.那8.]，我们还在努力改善时间分辨率，从有限数量的非统计投影中减少辐射剂量[9.］．

在这里，我们考虑如何从重叠的投影重建图像。此前，我们的组开发了广泛的同步代数重建技术（SART）算法，以从用X射线线源收集的数据重建图像[2］．假设来自各种源点的测量和预测投影之间的差异具有相等的权重，则这些差异然后将其反射到SART框架中的不同X射线源点。然而，该算法会聚到最小二乘解，这不一定是真实图像。在我们的模拟中，重建的图像有时遭受模糊[2］．然后，我们的小组开发了一种基于CS的算法来解决这个问题[3.］．该算法在投影中实现到凸集（POCS）框架上，并采用陡峭的梯度搜索策略。虽然该算法经常会聚到真实图像，但其收敛速度相当慢。因为SART框架具有出色的收敛行为，尤其是当应用有序子集（OS）格式时，在本文中，我们将开发来自重叠投影的图像重建的SART型算法。

本文的结构如下。在下一节中，我们将制定重叠的投影模型，这不是单一源情况下的线路积分的总和，并且与单源情况相比。在第三部分中，我们将设计一种用于重叠投影的图像重建的SART型重建算法。在第四部分，我们将报告数值结果。在最后一节中，我们将讨论相关问题并缔结论文。

2.成像模型

2.1。非纵向投影模型

对于CT重建，可以表示二维数字图像，索引在哪里和都是整数。定义 和和，我们在矢量表示中有图像．在本文中，我们将使用这两个符号和为了方便。让是一个测量向量作为投影数量的乘积和探测器元素的数量。它们是由以下线性系统链接的： 在哪里是一个测量矩阵。在典型的扇形梁几何形状中，可以具有恒定值的矩形区域可以将其视为矩形区域， 这测量数据作为部分覆盖像素区域的积分，从X射线源到由相应的X射线线性衰减系数加权的检测器元件的窄光束。因此，组件在 （2）表示之间的交叉区像素和th粉丝射线（图1）.而整个矩阵代表前向投影，实现反调。

2.2。重叠的投影模型

虽然成像模型（2）对于单源系统有效，它​​不能用于多源生成的投影。原因是测量数据（2）已被对数操作的后处理。换句话说，我们必须直接模拟原始数据。用于多源系统来源，假设那个来源发出朝向每个探测器元件的光子。根据啤酒的法律，我们有以下成像模型： 在哪里是在部分中定义的系统矩阵2.1为了源,常规以标准化区域模型（图1）对于线路积分模型的测量矩阵，和是一个矢量，其元素是相应元素的指数函数．在实践中，我们可以近似作为待重建对象中的X射线路径的平均宽度的倒数。如果我们假设所有X射线源具有相同的强度，， 我们有 常数在哪里被吸收了， 和吸收．本文的关键任务是重建从和已知的测量矩阵．

3.重建算法

3.1。单源算法

在过去十年中，我们的小组研究了一般Landweber计划的街区迭代（BI）或订购子集（OS）版本[10.]，sart和OS-SART [11.]是特殊情况，可最小化真实/复杂空间中的加权最小二乘功能，并在相当一般条件下证明其收敛[12.那13.］．SART或OS-SART技术已广泛用于CT领域。特别是，对于系统（2）SART型解决方案由[11.] 在哪里那那是个row那迭代指数，和免费放松参数。让是一个对角线矩阵和是一个对角线矩阵， (5.）可以重写为 请注意，对于所有迭代索引那那和保持不变。

3.2。多源算法

自从 （4.)是一个非线性方程，这个问题没有解析解。在这里，我们将在前面小节总结的SART框架中找到一个解决方案。我们的策略是将方程线性化，并依次逼近解。表示(4.） 作为后迭代，我们有 在哪里为误差图像，且表示相同大小的向量按分量相乘。然后,在 （7.）可以在泰勒系列中扩展 在哪里用第一阶近似进入 （7.),我们有 在哪里是一个对角线矩阵．等式（9.）可以重写为 在哪里 自投影错误从所涉及的来源是已知的，（10.）可以理解为线性系统用测量矩阵．

因为 （10.）具有与（2)，我们可以使用sart类型公式(6.）解决．让是一个对角线矩阵 和是一个对角线矩阵 我们有SART型解决方案 在哪里是迭代指数和放松参数。自从 等式（14.）可以重写为 一旦我们有近似解为了后迭代，我们可以更新重建的图像 例如，我们可以选择作为初始图像和集合有一个步骤迭代到近似，这导致简化的算法

对于数值实现，可以概括了来自重叠投影的图像重建的SART型重建算法：以下伪代码：（s.1。）初始化和为了;（S.2。）计算那和;（S.3。）初始化错误图像;(S.4)。为了到backproject投影错误;(S.4.1)。重量投影错误经过;(S.4.2)。重量投影错误经过;（S.4.3。）BackProject对此的加权投影误差th x射线源;（S.4.4。）重量返回错误图像;（S.4.5。）将反向弹出的图像添加到经过 (S.5)。更新当前估计的图像 （S.6。）放（S.7。）转到（S.2），直到满足条件满足;（S.8。）缩放重建的图像获得最终结果．

在上面的伪代码中，（s.1。）初始化迭代索引，放松参数，以及初始图像．在我们的数值模拟中，我们总是设置和．外环（S.2） - （S.7）解决了依次。（s.2）预先计算几个重要的中间变量以更新迭代步骤中的重建图像．（s.3） - （s.4）根据（（）计算当前错误图像，根据（16.）.由于内环(S.4)中不同x射线源的反投影操作具有相同的结构，因此可以通过调用一个通用程序来实现。(S.5)更新重建图像。(S.6)更新迭代索引。在(S.7)中，检验了收敛准则。(S.7)的停止准则可以是达到最大迭代次数和/或相对重构误差在预定义阈值下[14.］．最后，重建的图像通过划分常数来缩放．

3.3。稀疏正规化

传统的数据采集基于奈奎斯特采样理论，其指出，用于准确地重建带限量信号或图像，采样率必须是信号或图像的最高频率的至少两倍。然而，最近开发的CS理论表明，高质量信号或图像可以从较少的测量值重建，而不是奈奎斯特采样定理通常所需的测量值[7.那8.］．鉴于Daubechies等人用稀疏限制求解线性逆问题的工作。[14.那15.[最近，我们最近调整了单个源SART，以从受到稀疏性约束的有限数量的投影重建图像[16.[并证明了稀疏限制有效地提高了重建图像的质量，并显着降低了预测的数量。使用我们之前的论文中描述的相同策略[16.那17.[这里我们使用的特征约束正规化所提出的多源SART算法。这可以通过在部分中给出的伪代码中添加（S.5）和（S.6）之间的软阈值滤波步骤来完成3.2．特别是，我们有以下伪代码段：（SS.5。）执行软阈值过滤操作;(SS.5.1)。计算稀疏变换;（SS.5.2。）估计最佳阈值;（SS.5.3。）执行软阈值过滤;（SS.5.4。）执行稀疏反变换。

在上面的伪代码中，（SS.5.1）中的稀疏变换可以是任何可逆性无损可压缩变换，如小波变换[16.]傅里叶变换或不可行的变换，如离散梯度变换（DGT）和离散差异变换（DDT）[17.］．对于一个不可逆恋的变换，（SS.5.4）中的逆稀疏变换在于对DGT和DDT执行的伪倾向而言[17.］．（SS.5.2。）使用投影梯度方法自动确定最佳阈值，以便快速收敛[14.］．实际上，我们可以省略（SS.5.2。）并指定任何固定过滤阈值。但是，收敛速度和最终结果都取决于阈值的选择。

4.数值模拟

为了验证来自重叠投影的图像重建的提出的SART型算法，我们在PC上的MATLAB中实现了它，其中计算密集型段编码，并通过MEX机制链接。如图所示2，我们模拟了三源风扇束微型CT系统。在系统中，源XS0在半径120mm的圆形扫描基因座上旋转。该物体是一个修改的Shepp-Logan模型，其紧凑的支撑件，半径为35毫米。我们使用了长度为120 mm的平衡探测器阵列。检测器垂直于从原点到距系统原点40mm的X射线源XS0的方向。探测器阵列由500个元素组成。在通过X射线源XS0的线路上并并联到检测器，我们将两个源XS1和XS2分别在其右侧和左侧的XS0中分别为25毫米。使用此三源配置，我们模拟了单源（仅触发XS0），双源（XS1和XS2同时发射），以及三源案例（XS0，XS1和XS2同时发射）。

对于我们在全扫描范围内选择的每个投影数，我们首先在单、双和三重源情况下，基于上述投影模型等角度分别获得相应的投影数据集。然后，我们使用本节中描述的算法重建图像3.2．在我们的模拟中，参数在sart公式中（18.）设置为1.0，并且停止标准定义为达到最大迭代号码5000.因为Shepp-logan幻像是一个分段常量函数，其DGT和DDT稀疏。因此，我们还在总差异最小化方面采用了稀疏正规化[17.]使用投影梯度方法自动计算过滤的阈值[14.］．数字3.显示重建的256分别为9,11,13和15个投影的256图像。对于真实世界的应用，测量噪声是不可避免的。为了测试所提出的算法的稳定性，对数据噪声重复了上述从泊松噪声损坏的投影的重建，假设每个探测器元素的光子[18.］．结果在图中4.，这表明所提出的算法的稳定性。

5.讨论和结论

在CT场中，沿X射线路径的线路整体模型已被广泛使用与啤酒法的一致性。然而，由于有限探测器尺寸和源焦点的组合，它不会反映出不同。如图所示1，我们假设了x射线路径的面积模型，并将其归一化用于多源成像模型。我们的区域模型将x射线路径视为从x射线点源到探测器单元的狭窄扇束，我们认为区域模型比线模型更有效。注意，所提出的算法将投影过程视为矩阵变换，我们的算法可以处理面积和线模型。也就是说，所提出的算法与成像模型无关，只要成像模型是线性的或者可以转化为线性的。此外，为了简化推导和证明我们的想法，我们假设从所有的源发射到每个探测器的光子数是相同的。事实上，这些数字可能是不同的，可以很容易地合并到我们的算法中。

就所提出的算法的收敛而言，在无噪声和嘈杂的投影的情况下，它应该会聚到最小二乘解。原因是，该方法在一般兰博方案的框架中，其收敛在相当一般的条件下进行了很好的研究[12.那13.］．当只有少量的投影可用时，我们可以使用一些稀疏约束来引导解决方案到真相。然而，目前的软阈值滤波技术虽然通过投影梯度法加快了收敛速度，但收敛速度仍然较慢[14.］．在未来，我们将采用更先进的技术以获得更快的速度，这可能包括但不限于优化采用并行计算和开发新算法的代码。

总之，我们开发了一种用于重叠投影的图像重建的SART型算法。在数值模拟中已经验证并验证了该算法。我们的方法有可能支持更灵活的多源CT / Micro-CT系统设计，以实现更好的对比度和时间分辨率。

致谢

这项工作得到了美国国家科学基金会/MRI计划(CMMI-0923297)和美国国立卫生研究院/NIBIB基金(EB009275和EB011785)的部分支持。作者非常感谢审稿人的建设性意见。

参考

1. G. N. Hounsfield，“计算机化横向轴扫描（断层扫描）.1。系统描述（从英国 - 杂志转载，Vol 46，PG。1016-1022,1973），“英国放射学杂志，卷。68，没有。815，PP。H166-H172,1995。视图:谷歌学术
2. D. Bharkhada，G. Wang，H. Yu，H. Liu和R.Plemmons，“线路源X射线断层扫描”，国际生物医学成像杂志，卷。2009年，第534516号，8页，2009年。视图:出版商网站|谷歌学术
3. L. Yang，Y. Lu和G. Wang，“基于压缩的受感应的重叠的图像重建”，国际生物医学成像杂志，卷。2010年，2010年8页第284073页，2010年。视图:出版商网站|谷歌学术
4. J. Zhang，G. Yang，Y. Lee等，“超快速计算断层扫描的复用射线照相：可行性研究”，医学物理学，卷。34，没有。6，PP。2527-2527，2007。视图:谷歌学术
5. B. de Man，N.J.Pelc，C. Dumoulin和T.Bernstein，“量子噪声在复用X射线成像中的传播”医学影像2008:医学影像物理学，J. Hsieh和E. Sidi，Eds。，Spie，San Diego，Calif，USA，2008年的诉讼程序，纸张号。69131U。视图:谷歌学术
6. Y. Lu，“多光束场发射X射线系统及其重建算法”医学物理学，第37卷，第2期7, pp. 3773-3781, 2010。视图:谷歌学术
7. D. L. Dohoho，“压缩传感”，信息理论上的IEEE交易，卷。52，不。4，pp。1289-1306,2006。视图:出版商网站|谷歌学术
8. E. J.Candès，J.Romberg和T. Tao，“强大的不确定性原则：来自高度不完整频率信息的精确信号重建”，“信息理论上的IEEE交易，卷。52，不。2，pp。489-509，2006。视图:出版商网站|谷歌学术
9. 纪昌刚，余海英，王光，“基于分布x射线源的压缩感知CT重建”，2010年初稿。视图:谷歌学术
10. L.兰德韦伯，《第一类Fredholm积分方程的迭代公式》，美国数学杂志，卷。73，pp。615-624，1951。视图:谷歌学术
11. G. Wang和M.江，“订购集团同时代数重建技术（OS-SART），”X射线科技杂志CHINESE，卷。12，不。3，pp。169-177,2004。视图:谷歌学术
12. M.江和G.王，“图像重建迭代算法的融合研究”IEEE医学影像汇刊，卷。22，没有。5，pp。569-579，2003。视图:出版商网站|谷歌学术
13. M.江和G.王，“迭代算法的发展重构算法”X射线科技杂志CHINESE，第10卷，第5期。1-2页，77 - 86,2002。视图:谷歌学术
14. I. Daubechies，M. Fornasier和I. Loris，“稀疏限制线性逆问题的加速预定的梯度方法，”傅里叶分析与应用杂志，卷。14，不。5-6，第764-792,2008。视图:出版商网站|谷歌学术
15. I. Daubechies，M. Defrise和C. de mol，“稀疏限制线性逆问题的迭代阈值算法”关于纯粹和应用数学的通信，卷。57，没有。11，pp。1413-1457,2004。视图:出版商网站|谷歌学术
16. H. Yu和G. Wang，“基于稀疏性约束的有限数量投影的sart型图像重建，”国际生物医学成像杂志，卷。2010年，2010年9页第934847号。视图:出版商网站|谷歌学术
17. H. Y. Yu和G. Wang，“一种从有限数量的预测重建软阈值过滤方法”医学与生物学的物理学，卷。55，不。13，pp。3905-3916，2010。视图:谷歌学术
18. H. Yu，Y. Ye，S. Zhao和G. Wang，“通过广义FBP和BPF算法的本地ROI重建沿着更灵活的曲线，”国际生物医学成像杂志，卷。2006年，第14989号，7页，2006年。视图:出版商网站|谷歌学术

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