一个高度精确的方法对磁滞非线性气动弹性系统

文摘

我们提出一个准确的方法,基于精细积分法,解决机翼的气动弹性系统的滞后。实现高精度的主要过程是设计一个预估的算法。该算法可以准确的确定切换点滞后所引起的。数值例子表明,该方法获得的结果与精确解的协议。此外,可以保持高精度随着时间步的增加在合理的范围内。也发现龙格-库塔方法有时可能会提供完全不同,甚至谬误的结果,尽管采用的步长比这少得多的方法。如此高的计算精度,提出了方法可以适用于与磁滞非线性动力系统。

1。介绍

随着越来越多的方法已经开发成功,数值解技术在非线性动态研究中发挥关键作用。然而,它仍是一个艰巨的任务来获得一个可靠的数值解在非线性动力系统的长期持续时间1),特别是当非光滑非线性包括(2,3]。滞后是一个典型的复杂的非光滑非线性,可以由智能材料和复合结构(4- - - - - -6]。本研究旨在提出一种有效的方法为动力系统,说明了翼型的气动弹性系统滞后。

收到了大量的非线性气动弹性问题的研究兴趣。众所周知的,道尔非线性气动弹性等人进行了多项重大贡献(7- - - - - -9]。许等人提出了一个控制策略适合非线性气动弹性系统的抑制(10]。利益的非线性aeroelasticians包括两类,即结构和空气动力学非线性(11]。具体来说,集中结构非线性通常指立方刚度,拘谨和滞后。拘谨和滞后是典型的非光滑非线性引起的气动弹性系统。它们可以导致复杂的非线性动态响应,如极限环振荡(LCOs),分岔,和混乱12- - - - - -16]。

严厉的,甚至是不可能找到一个非线性气动弹性系统的解析解。另外,研究人员他们关注数字和/或semianalytical解决方案的方法。所产生的非线性气动弹性响应通常数值解技术,如龙格-库塔(RK)方法和有限差分方法(9]。半解析动力学通常基于谐波平衡(17- - - - - -19),如perturbation-based方法(12)和同伦分析方法(20.提到一些。

我们所知,额外的理论和/或计算障碍通常会遇到当使用semianalytical方法求解非光滑非线性气动弹性系统。例如,刘和道21]介绍了FFT技术处理该非线性应用谐波平衡方法来解决一个时机翼气动弹性系统的控制表面。刘等人。22)提出了一种新的技术将时间域的解决方案转换成频率,这样的增量谐波平衡法能分析LCOs机翼气动弹性系统的滞后。

虽然原则上数值解的方法可以直接实现非光滑气动弹性系统,麻烦问题结果的可靠性和准确性,还曾被观察到。例如,康纳et al。23)发现,切换点分段线性系统可以显著地影响计算精度和应用Henon的方法来定位切换点。最近,崔et al。24)采用精细积分法(PIM)由钟(25)提出一个有前途的气动弹性系统与该公司的解决方案技术。在这种方法中,切换点由预估准确、有效地确定算法。此外,陈和刘26)实现此方法研究硅晶和分岔的机翼与外部存储和拘谨。

磁滞现象曾被观察到在机翼气动弹性系统几十年(11,27]。在某种程度上,滞后可以被认为是一个复合的两个方向的拘谨,也就是说,非线性的价值不仅取决于上的振动位移,而且速度。因此,解决滞后系统更为困难。也许因为这个原因,很少找到有效的解决方案方法做这项工作12,22,28]。有必要和有价值的扩展我们的新方法(24,26]研究了机翼气动弹性系统滞后。由于磁滞的方向性特征,我们应该把非线性系统分割成子系统的更高维度。不同的常规程序,此外,必须构造一个预估的算法处理在确定切换点的方向特性。

2。Areoelastic模型与滞后

图1显示了二维翼型的物理模型。在音高和振荡下跌的方向,用α、积极与鼻子,h分别,正面向下的方向。符号b表示semichord长度。弹性轴位于距离从midchord,质量中心位于距离从弹性轴。两个距离测量时积极向翼的后缘。

机翼的耦合运动不可压缩非定常流可以建模如下(17]: 在哪里 是无量纲位移和点表示分化对无量纲时间吗 与实时V流速度。和是由 的符号和的固有频率解耦合的暴跌和俯仰模式,分别。符号是一个无量纲流速定义为 。阻尼系数是表示和对应的音高和跳水自由度,分别;和分别代表了非线性暴跌和俯仰刚度。其他变量,的年代,给出 的常量 。系数 给出了刘和道17]。在本文中,我们考虑磁滞非线性俯仰方向和一个线性弹簧方向。引入一个变量向量 与 耦合状态空间系统可以被描述为一组八个一阶常微分方程如下:

的表达式和在附录中给出。给出任何初始条件,状态空间向量通过时域积分方法可以生成RK法和纽马克法等。

该非线性通常结果从宽松的和/或强烈反对操纵面铰链。摩擦和反应同时发生时,非线性通常展品磁滞特性。实际上,考虑模型如图2是一个简化的,广泛应用于机翼气动弹性分析(11,18,21,26,27]。正如上面提到的,数学,滞后可视为两个拘谨的定向复合非线性(11]。图2一般的草图是一个滞后刚度用吗与 作为 在预加载 ,该公司的 ,一开始的拘谨 ,和都是常数。图形,如图滞后分为六个部分2。从部分(1)到(3),伴随着积极的角速度方向距方向,反之亦然,部分(4)(6),切换点,分离不同部分子系统,不仅对角位移,还取决于速度。

3所示。与预估PIM算法

PIM选择,因为它可以提供高度精确的数值结果的线性动力系统由常微分方程(25]。非光滑系统(3)可以重写为一系列线性子系统。 在哪里 是子系统各自的系数矩阵。请注意,非齐次项在(5)是不同于在(3)。事实上,是一个常向量线性子系统。这个函数在(3)是一个矩阵与节距方向的非线性力表示 。 分为六个部分,每个部分,相关的非线性函数是线性的,只有吗 。线性相关的部分在将系数矩阵吗 。因此,非光滑系统(3)可以重写为一系列线性子系统,即(5)。simple-yet-efficient维度展开法可以用来避免计算系数矩阵的逆。与 和 ,(5)进一步转变成 在这 在哪里是一个单位矩阵。

对于每个子系统,解析解(6)可以表示为 与作为初始条件。一个时间步长选择重复生成解决方案对于一个给定的时间序列,标记成吗 。计算矩阵指数 根据程序中引入了(25),我们可以获得以下的状态向量递归式方案 在哪里代表的解决方案n个时间点, 。

如果两个连续的振动状态,和 ,位于相同的子系统,可以直接通过实现(9)。递归计算收益,振动状态有时不可避免地从一个子系统切换到另一个,如图2。后者状态在本质上不是一个真正的解决方案,除非它准确定位切换点。相反,它只能被视为一种近似。尽管后者状态仍然可以提供更好的近似只要时间步精制,计算成本将大大增加。正如我们所知,PIM的最突出的优点在于其准确性和效率高。为了保持这个优点,必须提出准确预估方法搜索振动响应发生在切换点。

凭直觉,子系统之间的开关可以根据振动位移的增加(减少)超出了相应的参数区域一个子系统。例如,状态向量开关部分(1)至(2),或(2)(3),等等,如图2,振动速度是单向的。这意味着通过一个开关点等 。介绍代表切换值中的一个 位于之间的连续两个州(和)。我们定义了一个系数 减少时间为开关点的解决方案。在这里,对应于同行 。

该非线性(不同的情况24,26),考虑气动弹性系统的滞后展品定向功能。隐式,一个开关可能发生的方向变化,即使位移不通过任何上述切换点之一。这种开关取决于事实角速度传递0而不是位移,例如,从部分(2)到(4),反之亦然。在这个例子中,我们定义的 在哪里表示的角速度 。根据(11),收敛系数为1趋于0,表示隐式开关点。

一旦发现一个显式的或隐式的交换,一个近似的切换点给出解决方案

在图3有时,我们可以看到,振动状态从一个子系统切换到另一个。一旦振动状态从一个子系统切换到另一个,我们定义一个比例 坐落在0和1之间。振动状态将是真正的开关点只要出现吗 。这个比例的比例意味着实际上是交换价值之间的振动状态 。这个系数,(如第一项的)将被更新,因为解决方案更正为 。一般来说, 将方法真正的振动状态的切换点更紧密 。因此,更新的解决方案 提出了一个更好的近似真实的振动状态的切换点。近似精度可以通过进一步的更新率提高根据更新后的解决方案 ,和副签证。预估算法是通过重复执行(10)((11)和(12),直到方法1足够近。在下面的计算,容忍错误之间和1被设置为10⁻¹⁰。

4所示。数值例子

系统参数选为μ= 100,一个_h=−0.5,x_α= 0.25,r_α= 0.5,ζ_ξ=ζ_α= 0, ,米₀=米_f= 0.5°,δ= 0.1° 。

方法提供的结果将会与那些通过修改后的欧拉方法相比,纽马克法,广泛使用四阶RK方法,分别和确切的结果。注意确切的解决方案是通过解决一个接一个子系统利用常微分方程的理论。程序繁琐由于振动开关的状态,因为在切换点的解决方案必须由试错计算。

获得的临界颤振速度U₀= 6.2851线性颤振分析方法。当速度超出临界颤振速度,系统将失去它的稳定性和动态响应会无限增加。选为初始条件 作为一个说明性的例子在下面讨论。

在图4,我们比较PIM提供的数值结果,改进欧拉法、和纽马克法和精确的。我们可以看到,当时间步长选择是非常小的,修改后的欧拉方法精度提高了约一个数量级,而纽马克法提高了三个数量级左右开始时,产生一个大错误。我们发现预估的PIM算法具有较高的计算精度。RK方法广泛应用具有更好的精度和稳定性比修改后的欧拉法和纽马克法。在下面的例子中,我们使用RK方法相比,该方法演示效果。

分岔图如图5分别通过PIM和RK结果,与此同时一步 和0.8 <U/U₀< 0.95。作为一个整体,当U/U₀< < 0.84和0.85U/U₀< 0.86,音高运动倾向于零平衡甚至随着气流速度的增加。突然跳的运动是观察到U/U₀= 0.84或0.862。那边的振幅随着气流速度的增加而增加U/U₀> 0.86。有趣的是,有两个两个结果之间的显著差异为0.82 <U/U₀< < 0.84和0.85U/U₀< 0.86左右,分别装箱,红色虚线图5。当U/U₀> 0.86,这两种方法都提供几乎相同的解决方案。进一步调查的差异,更精致的模拟将在下面讨论跳位置附近的流动速度。

图6显示了时间的历史在音高和跳水U/U₀分别为= 0.9。图7显示了LCOs阶段的飞机U/U₀= 0.87。历史的时间和阶段飞机表明与RK PIM结果好协议的解决方案。注意,时间步长都选为0.1。

为了检查的准确性PIM和RK方法,我们比较PIM提供的数值结果和RK确切的。图8显示了PIM的对数误差以及RK较精确的结果。PIM解决方案比RK结果更准确约8个数量级相同的时间步长为0.01(或0.1)的风险。重要的是,能保持高精度的步长选择更长时间PIM。RK使用时,精度提高早期的模拟,但它仍然是在长期持续时间相同的顺序。

更重要的是,它应该指出RK有时不可靠的解决方案。以红色虚线U/U₀< 0.86,在某些情况下,PIM提供了LCOs、RK解收敛于平衡。当U/U₀< 0.84,PIM和RK结果意味着系统不会产生硅晶。作为U/U₀= 0.8,图9表明,节距方向的解决方案获得的PIM RK方法一致。然而,可观察到的差异出现在下跌的方向。图10显示了时间的历史在球场U/U₀= 0.85获得的PIM、RK分别和准确。我们可以看到,优秀的PIM解决方案与具体的协议,而RK的差异结果长到一个可观测的大小在一个相对长期的持续时间。与PIM相比,可能RK方法的误差是由于其相对较低精度的近似确定切换点。

最后但并非最不重要,PIM可以保持高精度只要时间步是选择在一个合理的范围25),而RK方法可能提供不合理的结果即使时间步明显细化。图11显示了时间的历史了PIM、RK,确切的解决方案U/U₀分别为= 0.1。时间步的解决方案获得的PIM 0.1同意和准确的。RK的解决方案非常不同于PIM和精确解,即使一步是精制从0.1到0.01和0.001。

5。结论和讲话

我们雇佣了PIM提出一种精确算法求解与磁滞非线性动力系统。的程序说明了二维翼型的气动弹性系统。PIM获得的解决方案是在良好的协议与具体方法。重要的是,精度可以保持高水平,只要步长定位在一个合理的范围内。原则上,精度可以达到任何想要的大小。

一直特别注意RK方法,因为它已经实现普遍甚至认为作为比较的基准。发现,RK有时可能会提供错误的结果即使一步非常雅致。如此高的精度,提出了方法可以适用于更多的与非光滑非线性气动弹性系统,特别是那些与滞后。此外,它有潜力成为一个验证其他数值解的对比标准这样的系统的技术。

据报道很多复杂的数值模拟的控制问题提高非线性动力系统,特别是当非光滑非线性包括(29日,30.]。例如,李et al。31日)采用Henon的方法来定位切换点数值积分过程中,用该机翼的闭环控制系统。在不久的将来,我们将努力调查使用了方法的可行性和有效性等问题。

附录

的参数 给出了刘和道17]。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金(11572356,11572356)。

引用

1. s . j .廖和p . f .王”,在数学上可靠的长期混乱的洛伦茨方程的解决方案的模拟区间[0,10000),“中国科学物理、力学和天文学卷,57号2、330 - 335年,2014页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
2. Sgura,“有限差分方法数值解边值问题不常微分方程,”数学和计算机模拟卷,95年,第162 - 146页,2014年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
3. f . Angulo g . Olivar g·a·奥索里奥c . m . Escobar j·d·费雷拉和j·m·雷东多“分岔模型系统,”非线性科学与数值模拟通信,17卷,不。12日,第4689 - 4683页,2012年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
4. e·h·道威尔j·w·爱德华兹,t . Strganac“非线性空气弹性,”杂志上的飞机,40卷,不。5,857 - 874年,2003页。视图:谷歌学术搜索
5. 黄懿慧谭和l .邓”使用ARMAX模型建模的动态三明治系统滞后,“数学和计算机模拟卷,97年,第188 - 162页,2014年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
6. x问:风扇和y道:“调查高超音速流控制的入口通过逆流”国际航空航天工程杂志》上ID 956317条,卷。2015年,8页,2015。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
7. e·h·道尔,托马斯j . p . k . c .大厅,“非线性非粘性的空气动力学对跨声速的影响差异,颤振和极限环振荡,”美国航空航天学会杂志》上40卷,第646 - 638页,2012年。视图:谷歌学术搜索
8. e·h·道尔和k·c·霍尔,”固耦合建模”,流体力学的年度审查33卷,第490 - 445页,2001年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
9. e·h·道尔和d·唐”非线性气动弹性和非定常空气动力学美国航空航天学会杂志》上40卷,第1707 - 1697页,2002年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
10. x z徐、y . k .高和w·g·张,“非线性气动弹性系统的迭代学习控制尽管阵风载荷,”国际航空航天工程杂志》上文章ID 237804卷,2015年,13页,2015。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
11. b·h·k·李,s . j .价格和y s . Wong“翼型非线性气动弹性分析:分岔和混沌,“航空航天科学进展,35卷,第334 - 205页,1999年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
12. k .钟、y .他和李,“二自由度气动弹性系统的分岔分析perturbation-incremental滞后结构非线性的方法,”杂志的声音和振动,卷320,不。1 - 2、163 - 183年,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
13. e . l . Liu道威尔和j·托马斯,“高维谐波平衡方法含有三次非线性气动弹性机翼的力量,”流体和结构》杂志上,23卷,不。3、351 - 363年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
14. 黄c . Popescu y, b . Lee,”一个专家系统预测非线性气动弹性机翼的行为,”杂志的声音和振动,卷319,不。3 - 5,1312 - 1329年,2009页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
15. d·李、郭s和j .,”研究的条件,造成混乱的运动与结构非线性二维翼型在亚音速流中,“流体和结构》杂志上33卷,第126 - 109页,2012年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
16. c . c .崔j·k·刘,y . m .陈”量化非线性气动弹性系统的极限环振荡具有随机参数,“国际航空航天工程杂志》上卷,2016篇文章ID 3049163、9页,2016。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
17. l . Liu和e·h·道,“二次分岔的气动弹性机翼运动:高次谐波的影响,“非线性动力学,37卷,不。1,31-49,2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
18. f . x, y . m . Chen和j·k·刘,“极限环振荡界限的计算基于等效线性化的非线性气动弹性系统,”中国科学技术科学57卷,第1256 - 1249页,2014年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
19. r .熊、x刘和j .耿”水生生物研究所的响应计算方法一类二阶滞后非线性控制系统在正弦激励下,“《振动与冲击32卷,第105 - 99页,2013年。视图:谷歌学术搜索
20. y . m .陈和j·k·刘,“同伦分析方法的极限环振荡机翼与立方非线性,”振动与控制杂志》上》16卷,第179 - 163页,2010年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
21. l .刘·e·h·道,“谐波平衡方法与该控制机翼表面,”美国航空航天学会杂志》上,43卷,第815 - 802页,2005年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
22. j·k·刘、陈f . x和y . m .陈“aeroealstic系统分岔分析与滞后增量谐波平衡法”应用数学和计算,卷219,不。5,2398 - 2411年,2012页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
23. m·d·康纳·d·m·唐·e·h·道威尔和l . n维珍,“一个典型的非线性行为的翼型表面拘谨与控制:一个数值和实验研究中,“流体和结构》杂志上,11卷,不。1,第109 - 89页,1997。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
24. c . c .崔j·k·刘,y . m .陈”模拟机翼的非线性气动弹性响应该公司基于精细积分法,“非线性科学与数值模拟通信,22卷,不。1 - 3、933 - 942年,2015页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
25. w . x中,“精细积分法”,计算和应用数学杂志》上,卷163,不。1,59 - 78年,2004页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
26. y . m .陈和j·k·刘,”airfoil-store系统的非线性气动弹性分析和精细积分法的拘谨,“流体和结构》杂志上,46卷,第164 - 149页,2014年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
27. 美国米塔尔和p . Saxena预测滞后与机翼的静态失速,”美国航空航天学会杂志》上,38卷,第935 - 933页,2000年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
28. l . Liu y s . Wong和b h·k·李,“非线性气动弹性分析使用点的转换方法,第2部分:磁滞模型,”杂志的声音和振动,卷253,不。2、471 - 483年,2002页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
29. l .命运和g . Muscato单体船船:一卷稳定系统建模、识别、和自适应控制,”IEEE控制系统技术,4卷,不。1,18-28,1996页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
30. p . Yu z陈、l·利布雷斯库和p .现在”影响的时滞反馈控制极限环振荡的一个二维超音速升力面,“杂志的声音和振动,卷304,不。3 - 5,974 - 986年,2007页。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索
31. d . c .李、郭s . j .和j·w·香”空气弹性变形的动态响应和控制的翼型表面非线性控制,”杂志的声音和振动,卷329,不。22日,第4771 - 4756页,2010年。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索

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