文摘

限制性三体问题(R3BP)和限制四个身体问题(R4BP)建模基于旋转坐标系。R3BP保守自治系统和时滞系统由于第四周期参数共振的身体。从振动的角度,提出了多项式级数的方法分析解决这些问题的能力。通过引入多项式级数之间的关系这三个方向的运动,潜浮性能的转移到一个二自由度耦合方程包含的完整动力学R3BP原始自治系统。至于R4BP情况下,多项式级数的方法结合提出了迭代方法。在迭代的方法中,时滞系统可以被视为pseudoautonomous方程和最后的多项式级数关系和一个自由度系统可以迭代。

1。介绍

在我们的太阳系中,行星绕太阳运转,而卫星移动主机行星,这反过来也绕太阳运转。他们都遵循双体理论或摄动双体理论已知名的封闭形式的解决方案的基本功能。然而,研究在太阳系的人造卫星的运动,这个问题太复杂,获得类似的解决方案。太阳的质量相比,地球,月球,人造卫星的质量总是无限的,这意味着初选的人造卫星的引力影响可以忽略。根据不同的任务目的,系统可以建模的相应限制性三体问题(R3BP)或限制四个身体问题(R4BP)。例如,如果在planet-moon-moon卫星的运动是有限的系统,如Saturn-Tethys-Telesto-spacecraft, Saturn-Tethys-Calypso-spacecraft,和Saturn-Dione-Helen-spacecraft系统,他们是典型的R4BP系统。如果卫星的运动是有限的行星和卫星系统在太阳的引力影响不容忽视,如阿耳特弥斯任务(1),系统需要建模为R4BP。同时,任务探索Sun-planet系统,如联欢晚会和普朗克(2],R3BP模型适用于当我们考虑太阳和地球的重心和月球作为两个主导大众移动他们的质心沿着圆形或椭圆轨道。

乍一看,这些困难的R3BP R4BP并不明显,尤其是当考虑到双体可以分析解决的问题。在过去,许多物理学家、天文学家和数学家试图找到封闭形式的解决方案,但未获成功的三体问题。这样的解决方案不存在因为运动的身体一般都是不可预测的,这使得问题历史上最具挑战性的问题之一。

周围的分析技术为研究开发动态CR3BP和R4BP模型是相似的。虽然R3BP确切的解决方案和R4BP不能导出,经典摄动方法可用来构造解析近似解的周期性运动。分析近似解提出一种检查轨迹和展览可能的参数设计。最具代表性的作品是成功地证明了理查森(3)派生的三阶解析解晕轨道与小参数扩展CR3BP Lindstedt-Poincare(帮)方法。光环轨道的三阶解析解作为初始条件广泛应用在使命轨迹为数值积分(设计进展4]。同样,戈麦斯和Marcote [5)解决降低CR3BP,即及Clohessy-Wiltshire方程的l - p法相结合的方法。网友和Masdemont6)扩大的利萨和光环轨道CR3BP正式系列两个振幅和semianalytically构造高阶的协助下计算机的解决方案。

类似于CR3BP,分析证明了像RTBP R4BP有一些相对平衡解决方案,还有家庭的周期轨道附近的平衡分(7]。在Sun-Earth-Moon quasi-halo轨道系统被安德鲁R4BP bicircular模型的计算(8]。Papadakis [9)计算R4BP不变的稳定和不稳定流形。为Sun-Jupiter-Trojan asteroid-spacecraft系统,家庭的演变及其稳定周期轨道的小行星和/或计算出的木星在R4BP Baltagiannis和Papadakis7,10]。R4BP的周期轨道和两个平等的群众被Burgos-Garcia探索和德尔珈朵11]。最近,Lei,徐12]调查R4BP的平衡点周围的运动,运动的正式表示为一系列长,短,垂直周期振幅。通过帮方法系列解决方案构建一定的顺序。

在这项研究中,我们模型CR3BP bicircular R4BP保守自治系统和时滞参数兴奋系统,分别从振动的角度,揭示研究的一个新的调查周期轨道。

经典天体摄动方法可以给出一个近似解析解的振幅和周期校正线性解决方案和非线性项在三维空间中。然而,不被注意的关系运动的每个维度主要和次要轴非线性动力学和他们的贡献。非线性复杂的模式分析基于不变流形方法由肖和皮埃尔(13- - - - - -15和最终16)可以提供一个机会关注不同方向运动的非线性关系。最终,灵感来自Shaw和皮埃尔和自治系统的多项式展开法和迭代多项式展开法非自治系统创新提出了。潜浮性能通过引入多项式扩展关系,我们将定期运动的非线性控制方程转化为一个自由度系统自治CR3BP系统。通过生成pseudoautonomous方程对于R4BP系统,定期的运动可以通过迭代多项式展开法。

本文的其余部分的结构如下。部分2介绍了动态模型R4BP和CR3BP模型。部分3.1讨论如何构造高阶系列扩张的周期解CR3BP多项式展开法。节3.2迭代多项式展开法,将潜浮性能参数共振非自治方程pseudoautonomous系统介绍。最后,结论部分4。

2。运动方程

2.1。限制四个身体问题

R4BP的几何图所示1。有限的群众,,和无限质量的身体被表示为,,,,分别。的运动吸引力的影响吗,,,但有限的运动质量,,被认为不受。

R4BP,和对他们的重心移动摄动。群众,,所有关于整个系统质心的移动。假设所有的身体被建模为点质量,和初选,,在一个平面,距离到- - - - - -系统比距离更大来。然而,是在三维空间中自由移动。

我们定义惯性坐标系,- - - - - -,起源的中心四个身体的质量体系,。坐标系统,- - - - - -,在一个瞬时的速度旋转质量中心的四个身体系统,。的设在点的重心和,。阴历坐标系统- - - - - -与起源。的设在点的重心,,。- - - - - -移动的坐标系统,- - - - - -的瞬时速率。之间的角度吗设在和设在,逆时针测量。与此同时,- - - - - -旋转的惯性坐标系,- - - - - -的瞬时速率。

Nondimensionalization应用于简化方程的形式。单位长度设置为之间的距离和。单位时间设置,在那里的周期吗- - - - - -系统。我们将介绍系统的质量参数;然后 巨大的,质量,位于在- - - - - -,,质量,位于在- - - - - -。

的运动是由以下方程无量纲时间和空间坐标系统,。 在这,,是位置向量的,,来,分别。和是系统重心的位置向量,,,与几何关系 请注意,和介绍了- - - - - -和- - - - - -分别可以表示为

显然,我们有时间的导数相对于惯性坐标系 ”的标”和“”是指衍生品测量旋转坐标- - - - - -和- - - - - -。结合(2)和(6)的运动在阴历坐标系统- - - - - -获得的是 在哪里

然后,我们介绍之间的变换矩阵- - - - - -和- - - - - -: 可以表示为 因此,我们获得的R4BP完成运动方程- - - - - -作为 在哪里四个身体问题的是伪势函数表示为吗

2.2。Bicircular模型限制四个身体问题

bicircular模型的一个特例R4BP和建立在假设三个主要机构的运动受到限制。具体地说,和在圆形轨道旋转重心和周围吗- - - - - -重心,,正朝着一个圆形轨道系统的重心。除此之外,两个轨道平面假定相互配合(17]。

与上述假设,我们考虑 方程(11)简化为 扩张的, 运动方程(14)可以进一步降低 自不影响其他两个有限质量的相对轨道位置,它的运动受到开普勒第三定律,显示为 因此,(16)=

很明显,的引力由两部分组成:直接常数重力是由于平均重力参数激励部分由于周期性变化的位置。

2.3。圆形限制性三体问题

圆形限制性三体问题(CR3BP)模型是一种简化的R4BP第四身体的影响,不考虑。和仍然在圆形轨道周围旋转重心的影响下他们的相互引力景点。移动在平面上定义的两个旋转的初选。粒子的运动是由以下方程与无因次时间和空间单位(18]: 在哪里三体问题的是伪势函数表示为吗

显然,所有周围的运动控制方程的振动点R4BP模型,bicircular模型,CR3BP模型属于陀螺系统的类(19],它总是表现为无质量的身体达到一个极值在另一坐标通过零坐标,这样的他们的阶段。

3所示。近似分析方法

R4BP和CR3BP的控制方程(11)和(19)广泛应用于轨道的应用设计,主要解决传统的摄动方法。在本节中,我们提出一个近似分析方法推导出多项式级数之间的关系不同方向的三个耦合方程,潜浮性能的问题可能被转移到简单的用一个二自由度系统。提出了多项式关系方法可以处理自控系统的运动方程和非自治系统,这可能描述整个系统的总体特征与一般的规则。

3.1。自治系统多项式展开法

首先,我们描述了多项式扩展方法CR3BP情况。三个二阶非线性常微分方程(19)占非线性保守系统的三个方向的振动。自三个方程是由陀螺项和非线性耦合的潜在条件,肯定存在三个方向之间的关系。如果我们能找到关系,那么三个耦合方程可以取代一个等效方程。

在我们实现常规关系之前,我们需要将参考系原则与原点的坐标系天平动点,(0,0,0)的平衡位置和线性势是解耦的。现在,我们把三个二阶方程原理坐标系到六阶方程 在哪里,,表示的位移,,方向,分别,,表示对应的速度。根据提出的不变流形方法肖和皮埃尔(13,20.,21),在周期运动,所有的方向都是功能上的位置和速度相关的单个position-velocity一双基本方向,我们选择任意,例如,上的位移和速度设在,和。的位置和速度设在可以认为和上的位置和速度- - -设在相关和。因为我们是把非线性微分方程,非线性关系和应被视为 在哪里和是真实的功能和。和系数确定。对于弱非线性系统,泰勒级数展开的和用于获得通过确定幂级数的系数的关系。

为了确定关系(22),时间的导数和使用链式法则,需要扩大

通过比较(21)(23),我们可以得到以下方程: 任何地方发生的或在是系统所取代或,分别。详细,天平动的情况下,用泰勒级数展开的和到(24),得到以下方程:

收集喜欢的坐标和速度提供了代数方程的泰勒级数系数和可以确定。最后,用分析的关系(22)方向方程(21潜浮性能),我们将问题转化为一个自由度问题,这是一个函数。由此产生的非线性函数的一个自由度和它的时间推导可以治疗容易被任何扰动方法或数值方法。其余两个方向的运动可以表示成非线性关系和。潜在的应用,由此产生的解析表达式可以作为初始点数值计算和约束条件的轨道设计。

3.2。迭代多项式展开法非自治系统

通过检查(11)或(18),我们可以得出结论,在R4BP bicircular模型非自治系统的参数共振。观点的扰动,当参数周期一半的时间内相应的自治系统,参数可能发生共振。非保守的和非自治自bicircular模型,最后一个小节中使用的方法不能直接用来与时变参数系统。然而,我们可以用时变项基础displacement-velocity对(),从数学的观点。最终的迭代概念(16应该考虑实现这个方法。

同样地,我们把三个二阶方程原理坐标系到六阶方程。,,表示的位移,,方向,分别,,表示对应的速度。第一步是推导的非线性关系- - -设在与设在通过确定的泰勒级数的系数(22)因忽视了时变参数的控制方程。这一步可以进行最后一个小节中描述。然而,这里我们派生的系数的第一步并不是最终价值观:我们需要通过迭代优化这些值。

基于自治系统的关系,也可以表示为 我们可以转移的三维系统(18)一维系统方向, 高阶术语除了两个一直被忽视。

第二步是将时变的表达式()。研究参数共振的情况下,我们只考虑系统的周期大约是半参数的脉动周期,

因此,解决(27)可以以以下形式: 用(29日)回(27)和使用谐波平衡方法,我们可以获得一组5个非线性代数方程的六个参数(,,,,,)。通过引入的符号 得到以下方程(29日): 解决方案(31日)对和提出了多项式形式的系列: 在哪里未知系数。用(31日)(32)和收集相同的术语并让系数等于零收益率以下线性代数方程组: 在哪里,,,,是矩阵的元素表达的6个参数。

解决线性代数方程的两个系统(33)、多项式系列(32)可以计算并获得了以下两个方程从这些系列:

现在,我们表达了时变条件的函数()。更换所有的时变条件功能和在控制方程,我们可以潜浮性能传输参数共振非自治方程pseudoautonomous系统。

最后一步是再最后一个小节中描述的方法应用于这组pseudoautonomous方程确定的关系- - -设在与设在潜浮性能和传输系统的一个自由度。三步过程可以进一步迭代,直到得到满意的结果。

4所示。结论

在这项研究中,限制性三体问题(R3BP)和限制四个身体问题(R4BP)分为保守自治系统和非保守的时滞参数兴奋系统,分别。从振动的角度,提出了多项式级数的方法分析解决这些问题的能力。通过引入多项式级数之间的关系,,潜浮性能方向,转移到一个二自由度耦合方程包含的完整动力学R3BP原始自治系统。另一方面,多项式级数的方法结合非自治系统的迭代方法治疗bicircular R4BP。pseudoautonomous方程和最后的多项式级数关系和一个自由度系统可以迭代。

在这项研究中提出的方法可用于计算的周期轨道和进一步应用数值轨道设计初始条件和约束。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者欣然承认中国的国家自然科学基金的支持(NNSFC)授予号。11402007,11290152,11672007,11322214和融资项目学术人力资源开发高等学校管辖北京市(PHRIHLB)。