文摘
本文提出一个分析功能极限环振荡(LCO)机翼的非线性气动弹性系统,主要强调在LCO量化中的应用。建模的非线性刚度的产物振动位移和的力量th的力量速度,其系数作为随机参数。一个有趣的发现是,LCO振幅成正比th的系数,而系数的频率无关。基于这一特性,LCO统计和分布函数的振幅得到semianalytically,由蒙特卡罗模拟进行验证。此外,我们将讨论可能的非线性刚度的影响在机翼的颤振抑制受高斯白噪声。令人惊讶的是,非线性刚度增加本身并不一定减少振动振幅。相反,它有时可能引起灾难性的亚临界LCOs与更高的振动振幅。
1。介绍
机翼的非线性气动弹性系统是一个典型的自激系统,它可以表现出大量的非线性动力学行为,如分岔,极限环振荡(LCO)和混沌响应(1,2]。通过分析和/或量化的机翼LCOs semianalytical技术多年来一直是一个活跃的研究领域。它激发了许多研究者的兴趣和好奇心3- - - - - -9]。由于设计和制造错误,通常是不可避免的不确定性在机翼气动弹性系统(10]。他们通常发生在系统参数为随机11)或uncertain-but-bounded变量(12]。作为不确定因素包括,它将变得更加麻烦调查LCOs等非线性气动弹性响应分岔,和混乱。
近年来越来越多的研究关注翼LCO随机分析的工作。扩张技术已被广泛用于有关此主题的提出解决方法。数学上,这些方法旨在将一个随机的问题转换为一个确定的,根据适当的输出变量或随机过程表示。玫瑰油和道13)采用蒙特卡罗模拟和响应面方法,分别将三角翼的输出特征映射到两个输入参数。他们认为两个变量,即厚度和弹性模量。米尔曼et al。14)还应用响应面映射LCOs模拟分岔。另一种方法,称为随机有限元离散,提出了秀等。15]研究LCOs产生不确定性的非线性系统。佩蒂特和LCOs Beran提出量化的方法通过使用多项式混沌(16)和Wiener-Haar扩张(17),分别。此外,米尔曼et al。18)应用傅里叶混乱扩张对机翼的分岔行为进行调查。盖根堡多项式也可以应用于随机非线性颤振系统的正交分解,所建议的吴et al。19]。
除了上述方法基于扩张技术,有一些其他方法解决非线性随机气动弹性系统发达。随机搭配方法适用于邓et al。20.)解决机翼的非线性气动弹性系统的控制表面。在这种方法中,确定的解决方案得到的一系列离散的随机参数的值。基于获得的解决方案,可以使用一个随机分析质询的方法。陈等人。21]应用增量谐波方法解决非线性气动弹性系统uncertain-but-bounded参数。此外,b样条随机投影技术是利用米尔曼等人量化不确定性(22]。这也是扩展,Beran et al。23),气动非线性的处理由离散的欧拉方程。最近,采用范式理论研究机翼的颤振边界(24]。
正如上面提到的,已经取得了大量的数值分析,以更好地理解的影响不确定参数对LCOs以及其他反应。分析或semianalytical预测气动弹性响应的基本意义空气弹性变形的研究;例如,Balakrishnan和Tuffaha建立显式公式来确定气动弹性发散速度(25]。然而,很少找到更多分析甚至semianalytical结果。本研究是出于一个分析依赖的机翼LCO非线性刚度系数。更具体地说,这个参数的依赖方面分析之间的关系系数的振幅(频率)和非线性系数。它将证明和扩展,在部分2与多个非线性通用自激系统。基于这些特性,我们将提出一个算法量化的主要静力学LCOs产生的气动弹性系统的非线性系数作为随机参数。此外,我们将讨论非线性系数的影响LCO抑制机翼时受高斯白噪声。
2。LCO参数的依赖关系
非线性气动弹性系统[1,2机翼的通常是建模为一组常微分方程。阐明的参数依赖LCO,系统写成以下自激振荡器: 的上标表示对时间的微分,是未知向量的维度,,,的质量、阻尼和刚度矩阵,分别。的系数,,是一个非零常数。非线性项,是作为一个连续函数的一个组成部分: 与和为给定的常数。上标“T”表示转置和的th组件的向量。主要的结果关于LCO并给出非线性系数之间的关系如下:(我)LCO振幅成正比。(2)LCO频率无关。
表示LCO解决方案当,与角频率。在转换,(1)成为 上标表示分化对在哪里。考虑到是一个解决方案(3),,我们有 对于任何非零常数,替换到左边(3),我们得到 比较(4)和(5),我们知道只要,也是一个解决方案(3);也就是说, 的系数不同的硅晶可以表示为,这意味着振幅成正比的频率无关。
我们把著名的范德波尔方程作为例证 众所周知,作为两种和都是正的常数,这个系统有一个稳定的LCO。在这个例子中,我们有和。根据上面的属性,LCO的振幅成反比。
我们检查上述属性的帮助下一些高度精确的解决方案。表1和2现在的结果Delamotte [26],Buonomo [27),同伦分析方法(火腿)28,29日),分别。这里,Delamotte和Buonomo提供了解决方案,分别验证的火腿。如此优秀的这些解决方案之间的协议,它是合理的考虑火腿的结果是准确的,并使用它作为比较的基准在考察上述特性。一个可以观察到的频率是相同的非线性系数各不相同。另一方面,100倍增加(或减少)的振幅减少(或增加)的十倍。这意味着振幅成反比。
3所示。LCOs非线性气动弹性系统的量化
图中给出的物理模型1是一个二维机翼,振荡在音高和跳水,一直受雇于许多作者(5- - - - - -9]。
关于弹性轴的螺旋角用、积极与鼻子;用暴跌偏转,正面向下的方向。的无量纲时间(是真正的时间)和无量纲位移跳水吗的耦合运动机翼在不可压缩非定常流可以被描述为30.,31日] 在哪里和是立方刚度系数;和给出的 在这和。系数和更详细的模型是在李et al。30.道尔介绍[]和刘31日]。作为一个非线性刚度系数(和)给出0,系统包含一个非线性。给出了非线性系数作为有界随机参数 在哪里,和,是积极的常量和,;是作为随机参数的概率函数。
例1(非线性,)。系统参数(8)表3,无量纲风速的价值各不相同。龙格-库塔法数值解得到。使用分析技术开发的线性颤振分析、临界颤振速度是发现。作为增加之外,一个稳定的LCO出现。作为进一步增加,出现二次霍普夫分岔后跳的LCO振幅(31日]。
我们现在把LCO振幅的计算统计。因为我们考虑一个立方非线性等和的极端LCOs、表示为和为分别可以表示为 在哪里和是极端的(或)= 1。根据(11),统计和分布函数和可以由以下程序。注意,这个特殊情况透露了陈和刘使用同伦分析方法[32]。
在数学上,平均值和标准偏差的分别可以给出吗
有界与monopeak和对称分布概率密度函数命名为arc-like概率密度函数,定义如下(10]: 由于LCO的振幅可以semianalytically表示为单调函数,最低()和最大()可以很容易地确定是吗在一个有界区域而异。此外,的概率密度函数根据概率理论可以获得 的分布函数可以被集成
表4显示解决方案提供的方法之间的比较(即。,(12)和(13))和蒙特卡罗模拟法(MCS)的结果。相对差异小于0.5%时考虑到5000个样本。的分布函数和在数据绘制2和3,分别。优秀的协议也可以观察到。注意的分布曲线和类似于彼此。这是因为的功能和可以表达同样的功能。
作为增加超过了2.1,有三种极端距位移,揭示了刘和道31日]。表5显示了结果的方法手段和派生。他们都是在良好的协议与MCS的结果。极端的分布函数是绘制在图4。它还表明,给出的结果与MCS的方法一致。
例2(非线性,)。立方刚度是跳水,分岔图通过增量谐波平衡方法是绘制在图5。注意,取决于线性系数的临界颤振速度而不是非线性系数。不同于第一种情况下,检测到亚临界霍普夫分岔。作为减少从1到0.68左右,存在一个不稳定的LCO。LCO收益稳定再次,一个稳定的LCO总是出现增加从0.68。
表6给出了比较结果的方法并给出了MCS的。分布函数也获得的音高和跳水振幅,分别。优秀的协议也可以观察到在图6。
4所示。LCO抑制非线性刚度的影响
气动弹性系统的立方刚度,LCO振幅成反比的平方根非线性系数。因此,一个想要减少LCO振幅通过提高非线性刚度。作为一个说明性的例子,图7在很大程度上表明,振幅降低从8到100年随着非线性系数的增加。初始条件(IC)被定义为。单一固定的系统(8)是原点,这是不稳定的大于。在这种情况下,动作收敛到稳定LCO不管ICs。正如所料,增加立方刚度可以抑制LCO的情况。
当然而,增加立方刚度不一定导致减少的LCO振幅。根据图5时,两个硅晶共存位于0.68和1之间,下一个被不稳定,另一稳定。注意,单一固定的点也是稳定的。这意味着运动可能收敛于不动点或LCO稳定。通过选择不同的ICs,收敛区域的LCO可以确定根据获得的历史时间游行集成。如图8显示,那里的边界是至关重要的飞机(当)。振动方法稳定LCO当IC在阴影区;否则它减少了不动点。
一般来说,它是有用的振动抑制放大的收敛区域定点,因为它意味着运动被聚合为噪音更可能发生。正如上面提到的,非线性系数越小,越大收敛区域的定点。图9显示了时间的历史系统(8)为相同的值但由于不同的非线性系数的值。作为,收敛于不动点运动。如果LCO最终选择,运动方法。在这种情况下,增加了立方刚度结果在较大的振幅振动而振动抑制。
考虑高斯白噪声在俯仰和自由度,如 的扰动给出的是高斯白噪声平均值为1。历史的时候,绘制在图10表明,振动振幅小于,对吗。实际上,从白噪声,振动结果。振动太小引起的振动达到收敛区域稳定的LCO。的情况下,另一方面,运动在本质上LCOs受到噪音。
5。结论
我们已经调查了LCO机翼气动弹性系统的非线性刚度。的非线性表示为一个产品振动位移和速度的力量。有趣的是,LCO振幅成正比th的非线性系数,这个系数的频率无关。
特别的重点一直放在上述功能的应用程序。一个演示应用程序LCO量化非线性气动弹性系统的非线性系数作为随机参数。LCO统计和分布函数的振幅可以semianalytically确定。优秀的协议结果和MCS的验证在LCO量化中应用的可行性和有效性。
此外,在LCO抑制非线性刚度的影响已经被详细讨论。当存在一个稳定的LCO定点是不稳定的,也就是说,对于当风速增加超出临界颤振速度,可以抑制LCO通过增加立方刚度。低于颤振速度,然而,增加立方刚度不能减少(如预期),但可能导致更大的振动级。
众所周知,参数非线性动力系统是密切相关的系统稳定性、分岔、混沌等。因此,参数的研究是非线性动力学分析的主要任务之一。这项研究也可以认为是一个初步的和有用的尝试的依赖振动对系统自激系统的参数(特别是非线性系数)。简单而有效的应用程序意味着特性揭示了本文可能更适用于非线性系统。
相互竞争的利益
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金(11272361和11272361)和广东省自然科学基金(1414050000412)。