文摘

机翼受到二维不可压缩非粘流被认为是。机翼支持通过平移和扭转弹簧。机翼的气动弹性积分微分运动方程新配方到六阶自治常微分方程组。这些都是最简单的,最少可以现在这个气动弹性系统的常微分方程。然后使用微分方程的分岔分析机翼的结构非线性俯仰方向。样品分岔图显示两个稳定和不稳定极限环振荡。的分岔类型评估评估弗洛凯乘数。为一个特定的情况下,一段时间加倍途径混乱检测,和温和的混乱行为在一个狭窄的范围的速度是通过李雅普诺夫指数的计算确认。

1。介绍

大量的定性信息可以获得关于机翼颤振的研究一个简单的两自由度系统的空气弹性(景深)。这个系统,如图1,由一个刚性二维机翼受扭转弹簧和转化。平动和扭转弹簧代表机翼的弯曲和扭转刚度,分别。机翼受到二维不可压缩非粘流。这个模型已经被研究人员经常获得更好的理解颤振(1- - - - - -6]。

模型是一个极端简化的翅膀。尽管这种简化,底层模型的动力学仍有可能非常复杂,如果考虑结构非线性。这个模型的非线性动态行为被一些研究人员调查,和极限环振荡和混乱已经检测到速度低于线性颤振速度(1- - - - - -4]。之前,可用的优点,以非线性动力学这个简化气动弹性系统的技术分析,管理积分微分方程转化为一阶常微分方程(ODE) [85]。新配方方程自治常微分方程,即他们不显式依赖于独立的变量。分岔分析然后进行包含0.5学位拘谨的机翼非线性俯仰刚度。Sedaghat et al。6)也将控制方程转换成8个非自治常微分方程,利用范式理论(非功能性测试)来预测和描述系统的极限环振荡(LCO)。

在目前的分析,积分微分方程进一步简化为一组六个自治的一阶常微分方程。新方程组是比以前更简单了方程(5,6]。分岔分析也进行了翼型包含立方非线性俯仰刚度。defect-controlled和搭配方法都是用于分析(7,8]。

2。推导的常微分方程积分微分方程

运动方程的二维机翼示意图见图1可以用无量纲形式(5),

在哪里和表示分化对无量纲时间;和是非线性函数代表暴跌的回复力和力矩和俯仰方向,分别归一化的线性刚度(在一个线性系统的情况下简单一点吗和);和是无量纲气动力和力矩的定义是 其他参数中定义术语。

对于不可压缩流的气动力和力矩可能获得任意运动的机翼9),给 在哪里 方便将这些积分微分方程转化为常微分方程。转换可以完成如果瓦格纳的近似公式函数被认为是, 在哪里和。

之前(5),使用这种近似公式,空气弹性变形的方程(1)和(3)已经变成了八个自主集成两次一阶常微分方程的方程。此外,在6]空气弹性变形的方程转换成8个非自治常微分方程通过引入4个辅助变量的积分计算,相当于十自治常微分方程。辅助变量Refeence [6),,。在目前的分析,转化为方程六个自治常微分方程与一个更好的两个辅助变量的选择 以下两个辅助构造微分方程可以:

通过检查,微分方程(7)可以用以下简单的形式写的 用和从(6)(3),空气动力学条件和成为 经过一些代数运动方程(1)新配方到二阶微分方程如下: 这两个第二常微分方程更简单比前面的出版物中提供的一组常微分方程(5,6]。很重要的一点需要注意对这些方程是所有系数是机翼与空气参数的函数,它们是独立的时间。因此,新配方方程非线性自治常微分方程和他们不显式依赖于独立的变量。新配方方程(10)然后变成六阶自治常微分方程,为了能够使用著名的分析或数值方法分析它们。

上面的一组常微分方程是通过汽车使用搭配方法分析软件包(8使用defect-controlled方法)或集成数值。defect-controlled方法使用这是一个8阶龙格-库塔法(7),这是一个可靠的工具检测混沌振荡。近似弗洛凯乘数获得通过应用一个标准的常规特征值的近似线性化庞加莱映射。

3所示。分岔分析考虑立方非线性俯仰刚度

线性颤振速度,首先是通过设置,在(10)和解决由此产生的特征值问题。线性系统的稳定性取决于系统的六个特征值。线性化的一组方程解出了以下参数;,,,。图2显示了与无量纲速度变化,的特征值的实部获得了这组参数。特征值与大负实际零件图中没有显示。

非线性的一组常微分方程用于系统的分岔分析考虑的立方非线性形式在一片方向和线性刚度下降。系统的不动点可以通过设置计算速度和加速度为零(10)。此外,辅助变量和设置为0,因为他们是速度和加速度的函数。

这个收益率 为唯一能解决问题的。分岔图显示稳定的和不稳定的解决方案呈现在图3。如图所示,原点是一个稳定不动点到吗,点1。此时发生超临界霍普夫分岔,不稳定的来源,形成一个稳定的极限环。这种稳定周期解通过音叉分岔点2,变得不稳定,它改变了它的方向3限制或转折点。减少,周期解是不稳定的,直到它到达第二个转折点restabilizes(5点)。然后保持稳定速度大于线性颤振速度。

另一个不稳定的周期分支2点开始,改变其方向,成为稳定在一个极限点6。这个分支的分岔后变得不稳定不变环面7点到达极限点4,转回到一个稳定的解决方案通过另一个分岔到曲面点8。通过极限点,这个分支变得不稳定并返回到2点开始。

正如上面介绍的那样,一个音叉分岔和两个分岔为这种情况下发现了环面。弗洛凯乘数围绕这些分岔点的变化如图所示4。点2的图3变得不稳定,稳定的分支和其他两个不稳定的分支从这一点开始。另外,图4(一)表明,此时弗洛凯乘数穿过单位圆+ 1。这些是音叉分岔的特点10]。弗洛凯乘数大约7点的变化也呈现在图4 (b)。在这种情况下两个复杂的共轭乘数跨单位圆;这意味着周期轨道环失去它的稳定性。分岔现象的环面有时被称为霍普夫分岔周期轨道,二级霍普夫分岔或广义霍普夫分岔,这种分歧可能导致混乱(10]。虽然混乱并没有获得这组机翼参数,改变参数可以通过环面分岔导致混乱。

图5代表获得的分岔图使用defect-controlled方法以及稳定的结果由汽车呈现在图3。defect-controlled方法的结果显示的值当对于特定的初始条件给定的和;虽然汽车结果只显示螺旋角的最大值,。两种方法预测的幅度与稳定极限环和超临界霍普夫分岔点。其他测试使用defect-controlled方法对各种初始条件表明,两种方法也在协议与其他分岔点的位置。为地区存在一个以上的稳定解,defect-controlled方案收敛于一个或另一个解决方案取决于初始条件。

分岔图也使用相同的汽车构造翼但和。分岔图和展开图的部分区域,如图所示6。再一次,低速度的起源是稳定的;然后,在它变得不稳定,但在这种情况下通过亚临界霍普夫分岔。不稳定的极限环,1点开始,收益稳定的极限点2。这个分支周期解的失去它的稳定性通过音叉分岔点3,最终成为稳定的极限点5。这个分支是稳定的速度远高于线性颤振边界。其他两个不稳定周期解从3点开始,成为稳定的极限点6和9。两个稳定的极限环分支进行级联的两倍分岔。起初,周期倍分岔发生在点7和8。稳定时期二解决方案从这些分岔点进行进一步周期倍分岔点10和11所示。这些周期倍分岔持续,导致最后混沌振荡。所有的不稳定的分支周期倍级联4点结束,这是一个交点与主干的周期解1-2-3-4-5。

期翻倍级联导致混乱也在defect-controlled结果预测。使用两种不同的方法比较结果,稳定的结果使用汽车和使用defect-controlled方法获得的结果呈现在图7。很明显,这两种方法都是在良好的协议在球场上运动的振幅和混乱的地区的起点。然而,获得的结果通过汽车不仅给一个更完整的分岔图,也验证了路线混乱。

李雅普诺夫光谱也计算出相同的机翼和非线性如图6。图8(一个)显示时间演进的最大李雅普诺夫指数在混乱的地区,周期性的地区的人物6。零值最大李雅普诺夫指数清楚地表明周期运动;同时,一个小积极指数表示温和的混沌行为的机翼运动速度。摘要“温和的混乱”是指与小正的李雅普诺夫指数表明小运动偏离周期运动。最大李雅普诺夫指数的变化有关也是如图8 (b)。很明显,对于一个狭窄的范围的速度,近,有一个正的李雅普诺夫指数表明温和的混沌行为。这也是同意通过汽车和defect-controlled获得的分岔图的方法。摘要“温和的混乱”是指一个混乱的运动小正的李雅普诺夫指数。

4所示。结论

假设的近似指数表达式瓦格纳函数,针对机翼的气动弹性运动方程方便地转换为一组六个自治一阶常微分方程;然后,分析了方程使用defect-controlled方法和汽车软件包。非线性系统分岔图已经获得显示稳定的和不稳定的解决方案,比如固定的点或极限环振荡。有趣的分岔点和一段翻路线混乱预计通过计算弗洛凯乘数和李雅普诺夫指数。图表显示系统可以有几个稳定和不稳定的解决方案的一组参数。一个可能无法检测所有可能的解决方案实验或使用时间行进方法,除非一个人尝试大量的初始条件。

命名法

:	无量纲距离测量机翼mid-chord弹性轴
:	Semichord的机翼
:	非线性结构恢复力
:	跳水运动的机翼
:	对弹性轴质量惯性矩
:	线性结构刚度胀
:	线性结构刚度
:	气动升力
:	机翼的质量单位
:	结构非线性恢复力矩
:	气动弹性轴俯仰力矩
:	无量纲气动力
:	无量纲的气动力矩
:	无量纲对弹性轴回转半径
:	无量纲的自由流速度,
:	无量纲线性颤振速度
:	自由流速度
:	无量纲距离弹性轴质心
:	球的旋转机翼
:	粘性阻尼比在球场上
:	粘性阻尼比在起伏
:	Airfoil-air质量比,
:	无量纲升沉位移,
:	无量纲时间,
:	空气密度
:	瓦格纳的函数
:	非耦合频率,
:	非耦合频率在起伏,
:	频率比,

承认

作者要感谢的金融支持加拿大自然科学和工程研究委员会。