比较毕奥之间的流体压力波理论和储存系数方程

文摘

孔隙流体的压缩性和岩石骨架影响压力分布图和地下蓄水层中流体流速。常被用来描述这些影响储存系数方程。方程存在一个缺点,在无限频率大,流体压力波的预测速度是无限大的,这是不现实的,因为任何物理过程需要一定的时间。在这篇文章中,毕奥理论是用来调查这个问题。结果表明,毕奥理论的关键方程可以简化为储存系数方程,基于低频的假设。使用贝雷砂岩为例,我们比较相速度和质量因素之间的毕奥理论和储存系数方程。研究结果表明,毕奥理论是产生一个有界波速度更准确。在频率低于100 kHz,毕奥理论收益率波速比储存系数方程高8%。表观渗透率测量的流体压力波(如振动液压断层扫描)可能比真正的渗透率高14%以稳定流动实验。如果刚性骨架,毕奥理论以非常高的频率或将产生非常高的渗透率在纯水和声波速度一样。 The findings help us for better understanding of the physical processes of pore fluid and the limitations of storativity equation.

1。介绍

流体在地下是非常重要的行业和石油工程师,新鲜的水和烃的重要部分存储在岩石孔隙中。多孔岩石由两个阶段组成,即。、固体和液体。废弃的固体称为骨架,也称为干燥的岩石。机械、流体与骨架的不同之处在于两个方面:(1)通常可压缩比骨架;(2)流体的剪切模量为零,因此可以渗透毛孔,达到远但骨架不能之间。对于静态流体,剪切模量为零也导致不同方向的压力相等。

在水文地质、流体通常是治疗是不可压缩为简单起见,收益率拉普拉斯算子方程为一体的达西定律和流体质量守恒(1]。提醒一下,达西定律可能并不准确如果渗流速度非常慢2]。另一个事实是,达西定律忽略流体加速度由不稳定的和惯性条款(与时间和空间相关衍生品的液体拉格朗日速度,分别)。后者术语可能是重要的井筒附近,这样可以相当大(非达西流的影响3]。

考虑流体的可压缩性和骨架,一个储存系数方程(4,5更先进的比上述的拉普拉斯方程。在数学上,存储方程是一个扩散方程。在低频段,方程收益率有限速度的流体压力波。记得,任何物理过程需要一定的时间。因此,在低频率方程是物理上合理的。然而,在无限的高频,收益率方程无穷大型流体压力波的速度,这是不现实的。在这方面,储存系数方程是不够准确的。

纯液体允许一个单一类型的压缩(P)波(P波或声波)。相比之下,有两种类型的流体—岩石中P波(P波和慢波快)。高的P波传播速度快和小衰减已观察到在地震学6,7),而慢波扩散速度较低,衰减大。Plona [8)观察P波缓慢被水浸透的烧结玻璃珠子。P波是流体压力驱动地下水流缓慢,和相关的骨架变形通常是微不足道的。水力压裂(9,10)是一个极端的例子,缓慢的P波振幅放大高致密页岩裂缝。

毕奥(11,12)提出了一个先进的理论描述波在流体饱和岩石的特征,基于单一孔隙度、弹性骨架和粘性流体。在膨胀波理论,第一类是快速P波,而第二种是缓慢的膨胀波P波。在这方面,毕奥理论统一声波在声学和地下水水文地质。

毕奥理论收益率不准确的预测岩石衰减快P波的合并(13,14]。原因是,当快速P波压缩的岩石,流体将喷射兼容的微裂隙(或喉咙)和主要孔隙空间由于局部压力不平衡15- - - - - -25]。

快速P波,骨架是活跃而流体是被动的。固体和液体往往同步运动(26),以及它们之间摩擦相对较小。相比之下,缓慢的P波、流体活跃而骨架是被动的。流体和固体不同相的动作,它们之间的摩擦是非常大的。李等人。26]表明,快速P波和频率在1 - 100 Hz,骨架压力是一个数量级高于流体压力和两个压力有非常轻微的相位差。

从历史上看,瞬态泵测试(水提取或注入很快通过抽水井)被用来估计含水层性质(27]。近年来,基于存储层析分析方程被用于反渗透系数/渗透率。卡迪夫et al。28)开发出一种方法叫振荡液压断层扫描(OHT),周期性的泵与不同频率作为刺激和流体压力的响应被记录在不同的位置。基本上什么OHT驻波是由于在两端边界条件。周et al。29日)进行了沙箱实验(光纤压力传感器被用来记录流体压力变化由于振荡泵),表明OHT可以用来估计水力传导率。总的来说,OHT是基于假设存储方程是准确的。

类似于OHT,贝克尔et al。30.)测量流体压力变化和断裂位移使用传感器和光纤分布式声传感器。现场试验,接收器在一个钻孔而水头振荡刺激在同伴钻孔30米。

采用水力压裂法生产生活的水库、气体可压缩,因此,存储是一个重要的参数对流速和压力的气体。Al-Rbeawi [31日]分析了压力行为和流量政权水力裂缝气藏的气体,气体的压力曲线随着时间的分析建模和对气体压力的影响,断裂存储考虑。

在多孔介质流体压力驱动流,有两种方法解决地下水流动的问题。一个是直接解决存储方程被指定的边界条件和初始条件。另一种方法是求解特征值问题,即。,using plane/monochromatic waves, and the final solution is the superposition of the individual plane waves. The first approach is advantageous in getting flow velocity and pressure profile, but neither the velocity nor attenuation of fluid pressure propagation is well known. The second approach has the assets that both velocity and attenuation of fluid pressure wave are got as functions of frequency but has the liabilities that flow velocity and pressure profile are dependent on the specific boundary condition and initial condition. This paper uses the second approach (the eigenvalue approach) because the solution of an eigenvalue problem has a general meaning, i.e., independent of 1D, 2D, or 3D. Figure1是一个示意图的传播在孔隙流体压力(标记成吗 )的变化引起的压力( )通过定期注入。

行业和石油工程师经常使用第一种方法储存系数方程来模拟地下流。本文的新颖的传播运用毕奥理论研究在孔隙流体压力。毕奥(11,12]理论包括一组偏微分方程(很难直接解决),第二种方法更简单和明显的设施比较毕奥理论和存储之间的流体压力波方程。的比较,存储的误差方程,例如,在测量渗透率28,29日),可以获得。此外,我们感兴趣的科学问题的条件下,流体压力波会在纯水和声波速度一样。

起初,毕奥的关键方程理论给出了部分2。然后在节3储存系数方程,方程被简化。节4。贝雷砂岩作为一个例子来比较毕奥理论与储存系数方程。在讨论中,我们估计的误差OHT方法和分析一个极端的例子。最后一部分是总结和结论。

2。毕奥理论

2.1。宪法关系

方程(2.11 - -2.12)(11]所述固体和流体的宪法关系,分别。固体压力和流体压力体积的固体和液体的线性组合。相对地,体积的固体和液体固体压力和流体压力的线性组合。在一维的情况下,固体的宪法关系是骨架应变方程的右边(1)是由平均正应力(围压), ,和流体压力( )左边;请参阅在[方程(7.41)32]。 在哪里 Biot-Willis系数(32),和骨架和固体材料的压缩系数,分别和骨架的位移方向。左边的方程(1)代表有效应力。请注意, 通常用于水文地质或土力学5]。

使用正常的压力方向( ),上面的关系可以表示如下32]: 在哪里 体积弹性模量的骨架和吗是骨架的剪切模量。

在方程(2.11)的最低部分(11),流体的体积应变是线性相关的围压( )和流体压力( ),这是相同的流体质量守恒如下(25),除了后者是前者对时间的导数: 在哪里达西的流量吗x方向,岩石孔隙度,是流体的压缩系数。

方程(3)比李et al。更准确的(26因为压缩系数修正根据(33,34]。

2.2。流体的动量方程和系统

缓慢的P波、流体活动和骨架是被动的,这样喷是次要的。在低频段,流体与流体密度相关的加速度(这个词 )和相对加速度与耦合密度相关的术语( )都是小在[方程(6.7)11]。由于这些原因,流体动量方程,即。方程(6.7)的下部(11)简化为 在哪里和分别是流体粘度和达西渗透,然后呢 是骨架的拉格朗日速度但欧拉近似导数。

固体动力方程(方程(6.7)的上部11]。添加上部与下部的方程(6.7)(11取消流体和固体之间的内力,收益率岩石系统的动量方程如下: 在哪里和分别是骨骼密度和流体密度。显然,方程(5)是岩石系统的牛顿第二定律。

方程(2)- (5数量)包括四个,即 , , ,和 。解决四个未知数的面波产生一个波数方程(特征值方程),有两个分支的解决方案。第一个分支是快速P波,而第二个是缓慢的P波。在每个分支,相速度( )和衰减( )是频率的函数。

(表示的质量因素 )是一个无量纲的量描述能量损失比(机械)的总能量在一个周期/波传播的时期(35]。为一个固定的频率(单色波),当波的衰减因素是低摩擦力大,反之亦然。

3所示。毕奥理论简化存储方程

上面的方程是线性叠加原理适用。我们假设缓慢P波是齐次解,也就是说, 。实现这个条件方程(1)和(3)- (5)收益率向量方程(6)- (9),分别。

在秩序,方程(6)- (9)大约代表岩石骨架的宪法关系,流体质量守恒,流体动量方程和动量方程系统的岩石。最终,所有的四个数量会消失,是微不足道的。简而言之,零的条件岩石应力导致一个简单的解决方案,因为方程(6)- (9为三个未知量()是由多种因素决定的 , ,和 )。此外,一旦实现条件,剪切模量( )将不再是一个参数。

寻求一个非平凡解,我们注意到,在低频段,右边的方程(9)与固体和流体加速度将消失。因此,零岩石压力的情况,例如方程(9在低频率),大约是满意。最终,方程(6)- (8)导致以下储存系数方程: 在哪里 存储(特定的存储)。方程(10)类似于扩散方程在热导率36]。

平面波方程解(10)收益率相速度( )和质量因子( )角频率的函数( )。

毕奥(11,12使用欧拉微分理论( )近似的拉格朗日加速度( )。然而,后者由前和惯性项(涉及空间导数)。惯性项正是非达西流动效应(3]。在一维的情况下,惯性项消失,毕奥理论是准确的。然而,如果空间导数是不再小(3),毕奥理论可能不准确;这样一个复杂的情况超出了本文的范围。

4所示。说明性的例子

贝雷砂岩是一个典型的砂岩(37]。参数表中列出1。的P波与S波速度干燥砂岩测量3300和2100 m / S,分别为(38]。因此,大部分和剪切模块计算GPa 10.58和9.30,分别。参数,缓慢的P波(11)和图中所描绘的一样2- - - - - -4。存储的两个量方程(10通过方程(计算)11)在数据并绘制2- - - - - -4进行比较。图3是放大版的图2频率低于1赫兹,为了解决的小差异在两个模型之间。

如图2,毕奥11)理论和存储方程(10在频率高于100赫兹的显著差异。后者相速度增加无限的大,前者已相速度接近一个有限值。在频率低于1赫兹,后者7 - 8百分比的速度低于前者。

在图4,不断为0.5。在频率低于100 kHz,毕奥(11)理论和存储方程(10)收益率相同的 。对于频率高于100 kHz,两个模型之间的不同越来越多。在非常高的频率,前有一个衰减消失,也符合常数在图2。这种一致性是合理的按照Kramers-Kronig关系[7]。

5。讨论

如图2从存储,相速度的方程(10)将变得无限之大频率的增加,这是不现实的,因为任何物理过程需要特定账户的时间。固有的劣势存储的简化方程起源于毕奥(11)理论。

忽略了固体材料的压缩系数( )并设置Biot-Willis系数 ,多梅尼科和施瓦茨(5]导出存储方程如下:

推导在附录A [5]与我们上面的方法的不同之处在于,前者明确使用固体在欧拉方法的质量守恒。相比之下,我们推导的方程(3)用拉格朗日方法分析poroelasticity这样固体材料的质量守恒方程隐式地包含在。比较我们的方程(10与方程(12)从()5在考虑),我们更准确 。

储存系数方程的误差在流速可以使用平面波计算, 。的考虑骨架拉格朗日速度通常远小于液体拉格朗日速度,用平面波在方程(4)收益率:

在图3在频率低于100 kHz,毕奥(11)理论7 - 8百分比超过了存储方程(10)。根据方程(13),流速在前7 - 8百分比低于后者。简而言之,毕奥理论压力波速度更高,更长的波长,较小的压力梯度和流(拉格朗日)速度低于储存系数方程。

在频率低于100 kHz,相同的参数,毕奥理论波速7 - 8百分比高于储存系数方程。根据方程(11),为了让后者收益率相同的流体压力波速度前,其明显的存储(年代)必须是13%低于真实的一个,或其表观渗透率(k_D)必须高于实际的磁导率14%。真正的渗透性是衡量(通过达西定律)的流量和压力梯度稳定流动实验。因此,上述结果表明,表观渗透率间接测量通过存储方程(28,29日可能比真正的渗透率高14%。

被水浸透的贝雷砂岩,毕奥理论有渐近线的1294 m / s的速度无限大型频率。我们设置了刚性骨架和固体材料,调查相速度和流体压力波的品质因数11)(图5和6分别)。在非常高的频率,流体压力波和声波速度一样(快速P波)在纯水(1474 m / s) [42]。因此,骨架压缩,减少流体压力波的相速度。

量纲分析毕奥(11理论表明,相速度和流体压力波的质量因素由无因次角频率(控制 )如下: 流体密度而不是骨架密度是使用,因为流体压力波在很大程度上取决于流体性质。

根据方程(14),非常高与有界相当于一个非常高吗与有界 ;同时增加到一个非常大的数字。换句话说,高频率极限数据5和6相当于高导磁率限制。因此,对于刚性岩石渗透率很高,流体压力波传播速度相同的声波在纯水。同样,一个非常低与有界相当于一个非常低的吗与有界 ;同时减少到一个非常小的数字。换句话说,低频极限相当于地下水压力的低渗透极限传输非常缓慢。

稳定流动是由静态压力梯度有消失的波速在零频率如图3。除了水文地质,储存系数方程还用于水力压裂(43]。毕奥(11)理论是比储存系数方程更准确,这项研究为人们提供了一个有用的参考关注方程。

在油藏工程,毛细力在一个矩阵(或极细裂缝)是不可忽略的。实际上,使用矩阵毛细管压力故意吸水到矩阵,从而迫使石油的矩阵(44,45]。毛细力代表两个流体阶段之间的压力差(否则合力在两个阶段之间的界面不会消失,会产生无限巨大的加速度的接口,这是不现实的)。本文重点是一种单相流体(液体压力到处都是连续的),因此是有限的在不考虑两个流体之间的矩阵毛细管压力阶段,这是未来研究的一个有趣的话题。

6。摘要和结论

(1)低频率的假设下,宪法关系的岩石骨架,流体质量守恒,毕奥理论中流体动量方程可以简化为储存系数方程。在被水浸透的贝雷砂岩,频率低于100 kHz,相速度和品质因数之间的流体压力波接近方程和毕奥理论(2)在频率低于100 kHz,储存系数方程的相速度7 - 8百分比低于毕奥理论。明显的磁导率间接测量通过存储方程如OHT可能比真正的渗透率高14%直接测量稳定流动实验(3)1赫兹的频率,毕奥理论的相速度大约3米/秒(图3),这是非常缓慢的声速相比纯水(1474 m / s),但远对地下水渗流速度的。如果刚性骨架,毕奥理论以非常高的频率或将产生非常高的渗透率在纯水和声波速度一样

命名法

G:	剪切模量的骨架
:	达西渗透
:	骨架的体积弹性模量( )
:	岩石的围压
:	在孔隙流体压力
:	在井筒流体压力
:	达西的流量方向
:	达西通量率在一个向量
:	一个平面P波的品质因数
:	存储(特定的存储, )
:	骨架的位移方向
:	骨架位移向量
:	拉格朗日骨架速度( 由欧拉近似导数)
:	平面P波的相速度
:	Biot-Willis系数( )
:	压缩系数的骨架
:	流体的压缩系数
:	固体材料的压缩系数
:	岩石孔隙度
:	流体的粘滞性
:	角频率
:	无量纲角频率( )
:	流体密度
:	骨骼密度
:	毕奥耦合密度理论
:	正常的压力方向。

数据可用性

产生的数据模型与doi可用10.6084 / m9.figshare.11865015在https://figshare.com/s/e8848c8f4eba2cae3db8。

附加分

突出了。毕奥理论在低频率可以简化存储方程。在频率低于100 kHz,毕奥理论收益率波速比储存系数方程。视渗透率衡量OHT可能比真正的磁导率高出14%

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究是由中国国家自然科学基金资助下42064006和42064006。

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