流体在地下是非常重要的行业和石油工程师,新鲜的水和烃的重要部分存储在岩石孔隙中。多孔岩石由两个阶段组成,即。、固体和液体。废弃的固体称为骨架,也称为干燥的岩石。机械、流体与骨架的不同之处在于两个方面:(1)通常可压缩比骨架;(2)流体的剪切模量为零,因此可以渗透毛孔,达到远但骨架不能之间。对于静态流体,剪切模量为零也导致不同方向的压力相等。

在水文地质、流体通常是治疗是不可压缩为简单起见,收益率拉普拉斯算子方程为一体的达西定律和流体质量守恒( 1]。提醒一下,达西定律可能并不准确如果渗流速度非常慢 2]。另一个事实是,达西定律忽略流体加速度由不稳定的和惯性条款(与时间和空间相关衍生品的液体拉格朗日速度,分别)。后者术语可能是重要的井筒附近,这样可以相当大(非达西流的影响 3]。

考虑流体的可压缩性和骨架,一个储存系数方程( 4, 5更先进的比上述的拉普拉斯方程。在数学上,存储方程是一个扩散方程。在低频段,方程收益率有限速度的流体压力波。记得,任何物理过程需要一定的时间。因此,在低频率方程是物理上合理的。然而,在无限的高频,收益率方程无穷大型流体压力波的速度,这是不现实的。在这方面,储存系数方程是不够准确的。

纯液体允许一个单一类型的压缩(P)波(P波或声波)。相比之下,有两种类型的流体—岩石中P波(P波和慢波快)。高的P波传播速度快和小衰减已观察到在地震学 6, 7),而慢 P 波扩散速度较低,衰减大。Plona [ 8)观察P波缓慢被水浸透的烧结玻璃珠子。P波是流体压力驱动地下水流缓慢,和相关的骨架变形通常是微不足道的。水力压裂( 9, 10)是一个极端的例子,缓慢的P波振幅放大高致密页岩裂缝。

毕奥( 11, 12)提出了一个先进的理论描述波在流体饱和岩石的特征,基于单一孔隙度、弹性骨架和粘性流体。在膨胀波理论,第一类是快速P波,而第二种是缓慢的膨胀波P波。在这方面,毕奥理论统一声波在声学和地下水水文地质。

毕奥理论收益率不准确的预测岩石衰减快P波的合并( 13, 14]。原因是,当快速P波压缩的岩石,流体将喷射兼容的微裂隙(或喉咙)和主要孔隙空间由于局部压力不平衡 15- - - - - - 25]。

快速P波,骨架是活跃而流体是被动的。固体和液体往往同步运动( 26),以及它们之间摩擦相对较小。相比之下,缓慢的P波、流体活跃而骨架是被动的。流体和固体不同相的动作,它们之间的摩擦是非常大的。李等人。 26]表明,快速P波和频率在1 - 100 Hz,骨架压力是一个数量级高于流体压力和两个压力有非常轻微的相位差。

从历史上看,瞬态泵测试(水提取或注入很快通过抽水井)被用来估计含水层性质( 27]。近年来,基于存储层析分析方程被用于反渗透系数/渗透率。卡迪夫et al。 28)开发出一种方法叫振荡液压断层扫描(OHT),周期性的泵与不同频率作为刺激和流体压力的响应被记录在不同的位置。基本上什么OHT驻波是由于在两端边界条件。周et al。 29日)进行了沙箱实验(光纤压力传感器被用来记录流体压力变化由于振荡泵),表明OHT可以用来估计水力传导率。总的来说,OHT是基于假设存储方程是准确的。

类似于OHT,贝克尔et al。 30.)测量流体压力变化和断裂位移使用传感器和光纤分布式声传感器。现场试验,接收器在一个钻孔而水头振荡刺激在同伴钻孔30米。

采用水力压裂法生产生活的水库、气体可压缩,因此,存储是一个重要的参数对流速和压力的气体。Al-Rbeawi [ 31日]分析了压力行为和流量政权水力裂缝气藏的气体,气体的压力曲线随着时间的分析建模和对气体压力的影响,断裂存储考虑。

在多孔介质流体压力驱动流,有两种方法解决地下水流动的问题。一个是直接解决存储方程被指定的边界条件和初始条件。另一种方法是求解特征值问题,即。,u年代我ng plane/monochromatic waves, and the final solution is the superposition of the individual plane waves. The first approach is advantageous in getting flow velocity and pressure profile, but neither the velocity nor attenuation of fluid pressure propagation is well known. The second approach has the assets that both velocity and attenuation of fluid pressure wave are got as functions of frequency but has the liabilities that flow velocity and pressure profile are dependent on the specific boundary condition and initial condition. This paper uses the second approach (the eigenvalue approach) because the solution of an eigenvalue problem has a general meaning, i.e., independent of 1D, 2D, or 3D. Figure 1是一个示意图的传播在孔隙流体压力(标记成吗 P p ),是由变化引起的压力( P w )定期注入。

行业和石油工程师经常使用第一种方法储存系数方程来模拟地下流。本文的新颖的传播运用毕奥理论研究在孔隙流体压力。毕奥( 11, 12]理论包括一组偏微分方程(很难直接解决),第二种方法更简单和明显的设施比较毕奥理论和存储之间的流体压力波方程。的比较,存储的误差方程,例如,在测量渗透率 28, 29日),可以获得。此外,我们感兴趣的科学问题的条件下,流体压力波会在纯水和声波速度一样。

起初,毕奥的关键方程理论给出了部分 2。然后在节 3储存系数方程,方程被简化。节 4。贝雷砂岩作为一个例子来比较毕奥理论与储存系数方程。在讨论中,我们估计的误差OHT方法和分析一个极端的例子。最后一部分是总结和结论。

上面的方程是线性叠加原理适用。我们假设缓慢P波是齐次解,也就是说, σ 11 = σ 22 = σ 33 = 0 。实现这个条件方程( 1)和( 3)- ( 5)收益率向量方程( 6)- ( 9),分别。 (6) α B P p = K eff ∇ ⋅ u ⇀ , (7) − ∇ ⋅ 问 ⇀ = η β f + 1 − η β eff − β 年代 ∂ P p ∂ t , (8) η μ k D v ⇀ − 问 ⇀ η = ∇ P p , (9) 0 = ρ 年代 ∂ v ⇀ ∂ t + η ρ f ∂ ∂ t 问 ⇀ η 。

在秩序,方程( 6)- ( 9)大约代表岩石骨架的宪法关系,流体质量守恒,流体动量方程和动量方程系统的岩石。最终,所有的四个数量会消失,是微不足道的。简而言之,零的条件岩石应力导致一个简单的解决方案,因为方程( 6)- ( 9为三个未知量()是由多种因素决定的 u ⇀ , 问 ⇀ , P p )。此外,一旦实现条件,剪切模量( G )将不再是一个参数。

寻求一个非平凡解,我们注意到,在低频段,右边的方程( 9)与固体和流体加速度将消失。因此,零岩石压力的情况,例如方程( 9在低频率),大约是满意。最终,方程( 6)- ( 8)导致以下储存系数方程: (10) k D μ ∇ 2 P p = 年代 ∂ P p ∂ t , 在哪里 年代 = η β f + β eff − β 年代 − η β 年代 存储(特定的存储)。方程( 10)类似于扩散方程在热导率 36]。

平面波方程解( 10)收益率相速度( v p )和品质因数( 问 p 角频率)功能( ω )。 (11) v p = 2 k D ω μ 年代 , 问 p = 1 2 。

毕奥( 11, 12使用欧拉微分理论( ∂ 问 / ∂ t )近似拉格朗日加速度( d 问 / d t )。然而,后者由前和惯性项(涉及空间导数)。惯性项正是非达西流动效应( 3]。在一维的情况下,惯性项消失,毕奥理论是准确的。然而,如果空间导数是不再小( 3),毕奥理论可能不准确;这样一个复杂的情况超出了本文的范围。

贝雷砂岩是一个典型的砂岩( 37]。参数表中列出 1。的P波与S波速度干燥砂岩测量3300和2100 m / S,分别为( 38]。因此,大部分和剪切模块计算GPa 10.58和9.30,分别。参数,缓慢的P波( 11) v p 和 问 p 图中所描绘的一样 2- - - - - - 4。存储的两个量方程( 10通过方程(计算) 11)在数据并绘制 2- - - - - - 4进行比较。图 3是放大版的图 2频率低于1赫兹,为了解决的小差异 v p 在两个模型之间。

如图 2,毕奥 11)理论和存储方程( 10在频率高于100赫兹的显著差异。后者相速度增加无限的大,前者已相速度接近一个有限值。在频率低于1赫兹,后者7 - 8百分比的速度低于前者。

在图 4, 问 p 不断为0.5。在频率低于100 kHz,毕奥( 11)理论和存储方程( 10)收益率相同的 问 p 。对于频率高于100 kHz, 问 p 两个模型之间的不同越来越多。在非常高的频率,前有一个衰减消失,也符合常数 v p 在图 2。这种一致性是合理的按照Kramers-Kronig关系[7]。

如图 2从存储,相速度的方程( 10)将变得无限之大频率的增加,这是不现实的,因为任何物理过程需要特定账户的时间。固有的劣势存储的简化方程起源于毕奥( 11)理论。

忽略了固体材料的压缩系数( β 年代 = 0 )和设置Biot-Willis系数 α B = 1 ,多梅尼科和施瓦茨( 5]导出存储方程如下: (12) − k D μ ∇ 2 P p = η β f + β eff ∂ P p ∂ t 。

推导在附录A [ 5]与我们上面的方法的不同之处在于,前者明确使用固体在欧拉方法的质量守恒。相比之下,我们推导的方程( 3)用拉格朗日方法分析poroelasticity这样固体材料的质量守恒方程隐式地包含在。比较我们的方程( 10与方程(12)从() 5在考虑),我们更准确 β 年代 。

储存系数方程的误差在流速可以使用平面波计算, P p = 经验值 我 ω t − x / v p − ω x / 2 v p 问 p 。的考虑骨架拉格朗日速度通常远小于液体拉格朗日速度,用平面波在方程( 4)收益率: (13) 问 = k D μ 我 + 1 2 问 p ω v p e 我 ω t − x / v p − ω x / 2 v p 问 p 。

在图 3在频率低于100 kHz,毕奥( 11)理论 v p 7 - 8百分比超过了存储方程( 10)。根据方程( 13),流速在前7 - 8百分比低于后者。简而言之,毕奥理论压力波速度更高,更长的波长,较小的压力梯度和流(拉格朗日)速度低于储存系数方程。

在频率低于100 kHz,相同的参数,毕奥理论波速7 - 8百分比高于储存系数方程。根据方程( 11),为了让后者收益率相同的流体压力波速度前,其明显的存储( 年代)必须是13%低于真实的一个,或其表观渗透率( k_D )必须高于实际的磁导率14%。真正的渗透性是衡量(通过达西定律)的流量和压力梯度稳定流动实验。因此,上述结果表明,表观渗透率间接测量通过存储方程( 28, 29日可能比真正的渗透率高14%。

被水浸透的贝雷砂岩,毕奥理论有渐近线的1294 m / s的速度无限大型频率。我们设置了刚性骨架和固体材料,调查相速度和流体压力波的品质因数 11)(图 5和 6分别)。在非常高的频率,流体压力波和声波速度一样(快速P波)在纯水(1474 m / s) [ 42]。因此,骨架压缩,减少流体压力波的相速度。

量纲分析毕奥( 11理论表明,相速度和流体压力波的质量因素由无因次角频率(控制 Ω )如下: (14) Ω = ρ f k D μ ω , 流体密度而不是骨架密度是使用,因为流体压力波在很大程度上取决于流体性质。

根据方程( 14),非常高 ω 与有界 k D 相当于一个非常高吗 k D 与有界 ω ;同时增加 Ω 到一个非常大的数字。换句话说,高频率极限数据 5和 6相当于高导磁率限制。因此,对于刚性岩石渗透率很高,流体压力波传播速度相同的声波在纯水。同样,一个非常低 ω 与有界 k D 相当于一个非常低的吗 k D 与有界 ω ;同时减少 Ω 到一个非常小的数字。换句话说,低频极限相当于地下水压力的低渗透极限传输非常缓慢。

稳定流动是由静态压力梯度有消失的波速在零频率如图 3。除了水文地质,储存系数方程还用于水力压裂( 43]。毕奥( 11)理论是比储存系数方程更准确,这项研究为人们提供了一个有用的参考关注方程。

在油藏工程,毛细力在一个矩阵(或极细裂缝)是不可忽略的。实际上,使用矩阵毛细管压力故意吸水到矩阵,从而迫使石油的矩阵( 44, 45]。毛细力代表两个流体阶段之间的压力差(否则合力在两个阶段之间的界面不会消失,会产生无限巨大的加速度的接口,这是不现实的)。本文重点是一种单相流体(液体压力到处都是连续的),因此是有限的在不考虑两个流体之间的矩阵毛细管压力阶段,这是未来研究的一个有趣的话题。

(1)

低频率的假设下,宪法关系的岩石骨架,流体质量守恒,毕奥理论中流体动量方程可以简化为储存系数方程。在被水浸透的贝雷砂岩,频率低于100 kHz,相速度和品质因数之间的流体压力波接近方程和毕奥理论