基于浸没边界 - 格子Boltzmann方法的分形裂缝中颗粒流体相互作用的模拟

抽象的

为了揭示流固耦合下粗糙裂缝中颗粒对流体流动特性的影响，采用Weierstrass-Mandelbrot函数生成了一个不同粗糙度的裂缝系统范围。采用浸没边界格玻尔兹曼方法模拟了粗糙分形裂缝中的流体-颗粒相互作用。本文研究了流体粘度、粒径、颗粒数量、裂缝分形维数和颗粒级配组成对压裂效果的影响。结果表明，流体粘度的增加阻碍了颗粒的运动，导致颗粒速度的降低。随着粒径和颗粒数量的增加，颗粒占通道面积的增大，导致通道渗透性降低。裂缝分形维数的增加使流体通道的曲率增大，而渗透率与分形维数呈负指数相关。随着颗粒级配组成的增加，颗粒对裂缝流动的阻断作用也随着颗粒比例的增加而增大。

1.介绍

裂缝在岩体中广泛存在，通过裂缝的流体流动通过引起变形、破裂、软化、泥化和腐蚀来影响其力学性质[1］.对于油页岩和煤储层来说，巨大而未被发现的裂缝可能会导致重大的工程问题，因为它们显著地改变了地下水的运动[2，3.］.由于裂缝增加了污染物的运输距离，更好地了解骨折几何形状和骨折发生将有助于更准确地确定水保护区域[4，5］.在许多石油、环境和水资源技术中，颗粒运移及其导致的渗透率降低会导致储层损害[6，7］.准确定量地描述裂隙岩体的结构特征，评价内部颗粒运移的影响，具有重要的科学意义和工程应用价值。

岩体的渗透性能和渗透方向不仅与裂隙网络的扩展和切割特性有关[8]但也与单一骨折的几何特征，孔径，粗糙度，连接性和接触程度密切相关[9- - - - - -11］.裂缝粗糙度是造成实际裂缝渗透率与理论裂缝渗透率偏差的重要因素。

裂缝空间的沉积运移和粘连堵塞极大地改变了裂隙岩体的渗透性特征，导致地下水位的变化和地层内孔隙水压力的重新分布，最终诱发地质灾害[12- - - - - -14］.目前，多孔介质毛细管束模型已被广泛研究以探索沉积物运输机制[15，16］.该模型将煤介质简化为毛细管单元的统一组合，每个单元包含一定数量的毛细管。为了给(17]提出了一个考虑流体力学和重力效应的理想模型。该方法基于粒状多孔介质模型，该模型假设多孔介质是由无数球形颗粒单元组成的。姚(18]提出了一种确定悬浮粒子运动路径的分析方法，确定了悬浮粒子运动的控制因素为扩散、沉降和截留。为了简单起见，粗粒度模型忽略了流体动力学和分子间的范德华力。Tufenkji和Elimelech [19修正了质点运动路径分析方法中扩散、沉降和截留的控制方程。

詹姆斯和克莱斯科[20.认为悬浮颗粒在孔隙中心流体的作用下高速移动。莱扎和艾哈迈德[21检查两个横截面加热椭圆对多孔外壳内流体流动和热传递的影响。Tien，Sharma和Mattson等人。[22，23]建立了三维裂缝模拟系统。该方法采用拉格朗日方法跟踪固体颗粒，并考虑了固体颗粒的密度、尺寸和流速对流体运移速度的影响。奥新(24通过综合考察惯性项的影响，修正了Stokes公式的阻力表达式。在多孔介质方面，Civan及Shamar [25将颗粒沉降分为表面沉淀、孔喉堵塞、孔填充和滤饼形成。

近几十年来，已有多种直接数值模拟颗粒-流体耦合的方法，如有限元-任意拉格朗日-欧拉法、虚拟域法、格子玻尔兹曼法、浸入边界法、光滑颗粒流体动力学等[26- - - - - -31］.冯等人。[29]提出了耦合计算流体动力学和浸没边界法的浸入边界晶格Boltzmann方法（IB-LBM）。在该方法中，使用Navier-Stokes方程模拟流体流动，并且可以使用固体颗粒的结构和速度来计算施加到固体颗粒的流体动力学力。与晶格Boltzmann方法不同，IB-LBM方法使用笛卡尔电网和一组拉格朗日点来离散障碍物的边界。离散拉格朗日晶格点比曲线边界更接近曲线边界，而不是楼梯时尚。同时，IB-LBM在矩形域中解决了Navier-Stokes方程，其中灵活的边界可以以复杂的方式移动或改变形状。使用所选择的DIRAC功能施加边界力。IB-LBM方法具有比身体拟合方法更高的效率，例如有限元方法[32］.

为了了解不同形态结构的微通道的渗流机理以及排水过程中沉积颗粒的影响，本文利用IB-LBM分析计算了二维裂隙结构岩体中的流体渗流行为。利用Weierstrass-Mandelbrot函数，建立了一系列不同粗糙度的分形曲线和微尺度岩石断裂结构模型。

通过在裂缝结构内的稳态渗流的数值模拟，计算流体的速度场分布和流体的等效渗透系数。通过分析模拟结果，建立了裂缝分形尺寸与等同渗透系数之间的关系。探讨了复杂骨折中流体的渗流行为，探讨了颗粒的影响，粒度，颗粒量，断裂分形尺寸和颗粒分级组合物被认为是流体通道上的影响。

2.数值方法

2.1。格子Boltzmann方法

Navier-Stokes方程是描述不可压缩的流体流动的基本偏微分方程。利用应力率和应变张力率，速度压力公式可以写为 在哪里为流体速度，是时候了，是运动粘度，的压力,流体密度是多少为强迫项。在IB-LB方法中，固体边界推动或阻塞流体的作用被转化为力项，力项是最基本的组成部分 ．另一部分是保守力，如重力或磁力。

流体速度必须满足马赫数 为了满足不可压缩液的条件，在哪里是流体速度和为晶格声速。

在LB方法中，D2Q9模型是求解EQS的常用离散格式。（1)和(2）.通过求解粒子碰撞和流动过程来确定流体流动，并利用晶格玻尔兹曼方程来确定流体粒子的碰撞和流动过程。在该模型中，速度被微观离散为9个方向，离散的速度 (图1）.密度分布函数是唯一需要关注的量，离散晶格玻尔兹曼方程可以写成 在哪里为流动人口的密度分布函数。在这里,是无量纲平均松弛系数，和为时间步长。均衡分布函数 是利用麦克斯韦-玻尔兹曼分布函数的泰勒级数展开得到的直到第二顺序，可以写成 那里重量系数与速度有关吗 ，而且声音的非倾向晶格速度是模型依赖性的。在D2Q9模型中，通常等于 和 ．

采用Chapman-Enskog多尺度展开法，利用LB方程反演Navier-Stokes方程，具有一阶时间精度和二阶空间精度。密度和局部动量由密度分布函数的求和和一阶矩确定:

对低马赫数极限下的LB动力学进行Chapman-Enskog展开，得到运动粘度的表达式如下: 在哪里为晶格间距。

为了实现LB方法中的IB, Eq. (3.）可以分成碰撞和流媒体组件。因此，在IB-LB方法中，碰撞和流传输组件是

正如上面提到的, 是离散力项。本文中，Guo等人提出的力项的离散方法[33使用]使用，离散力术语是

然而，外力项的存在改变了密度和动量;因此，需要进行速度修正:

有许多方法用于分散力术语，但该方法的准确性相对较高，并且可以实现空间中的二阶精度。此外，该方法的实现相对简单。

２.２.浸入边界法

耦合LB和IB需要一个程序来实现欧拉网格和拉格朗日网格之间的力效应。目前，有两种耦合力项的方法，直接力法(DF) [34]和插值力法（IF）[35］.DF方法的目的是利用狄拉克直接得到欧拉网格上的力项函数在固体边界应力已知的条件下。而IF方法的目标是通过高精度插补确定欧拉网格上的速度项和力项。Dupuis等详细比较了两种方法的差异，发现两种方法的差异并不显著[36］.本文采用DF以施加力量。通过Liu等人可以在纸上找到用于在粒子流体相互作用问题中实现IB-LBM的计算方案。[37］.

为了模拟粒子的物理表面，我们考虑一个系统粒子物理与离散点。我们假设粒子的参考点是静止的，并且所有边界点都在圆上。当时 ，质点的中心在 ，瞬时粒子旋转矩阵是 ．参考点的位置在拉格朗日坐标系中可以用下列公式确定: 在哪里粒子在时间步长的边界参考点是什么 ．当参考点和边界点不处于相同位置时，线性恢复力将产生。我们假设粒子偏差是 ，下标表示粒子和分立点。恢复力可以计算为[37］ 在哪里是弹簧常数。

刚体运动仿真中的内连杆力就是前面提到的平衡力。因此，总力和总转矩施加在我th粒子是 在哪里是的质量我粒子。

为了满足质点-流体界面上的无滑移边界条件，质点上的速度必须与相邻流体上的速度严格相同。我们可以从相邻流体的速度得到拉格朗日点的速度。 在哪里 为固体颗粒的位移。我们也可以用狄拉克用于合成流体和粒子的函数:

当IB-LBM用于模拟流体中的粒子运动时，可以计算包括外力（例如浮力），内力（例如颗粒碰撞力）和恢复力。因此，施加在粒子表面节点上的总力可以写为[37］

如果粒子之间的间隙小于给定阈值，则施加碰撞技术 ．排斥力的函数形式由Glowinski等人给出[38]：

力密度 从浸没的边界力密度获得 通过对浸入边界的积分。

狄拉克函数是一个连续插值函数。在插值过程中，我们不能逐一插值所有的点;因此,狄拉克函数必须在网格点上近似。有许多方法可以近似狄拉克函数(39］.我们使用一种更连续的方法:

２.３.断裂粗糙度表征

岩石的损伤过程实际上是岩石中微裂纹的出现、生长、分叉、交汇，形成宏观裂缝的过程。裂缝渗流结构一般表现为分形特征[40- - - - - -42］.

岩体的三维骨折结构网络具有复杂的结构特性，由多个交叉和组合的二维骨折表面组成;然而，二维骨折表面由多组单个裂缝组成。通过沿着特定部分切割横截面而获得的单个裂缝的结构曲线呈现不规则的分形结构。

单裂缝的定量描述方法可以确定粗糙结构裂缝形状对流体渗流的影响，阐明粗糙结构中的流固耦合机制。首先，利用Weierstrass-Mandelbrot函数得到了不同分形维数下的分形曲线 ，这是 在哪里参数是否大于1，和相位有什么角度吗表现出确定性或随机行为。 图的Hausdorff分形维数是多少 ．分形统计功能是的实部吗 ．

分形维数分别等于1.0、1.1、1.2、1.3、1.4和1.5(图2）.在骨折曲线生成过程中，固定为1.4，时间控制参数为 和 ．数值模拟模型长为10毫米，宽4毫米，裂缝的平均间隙宽度为1毫米。

从分形结构曲线的形状来看，随着分形维数的增加，裂纹表面逐渐变陡，褶皱程度急剧上升。反之，分形粗糙度指数越小，分形表面越光滑。

采用二维不可压缩模型研究了粗糙度对颗粒-流体相互作用流体流动的影响。裂缝表面的二维剖面被导入到IB-LBM中，以生成裂缝模型(见图)3.）.断裂模型的长度设置为10毫米，以与真实的剖面相一致。两个平行粗型材之间的孔径为1mm。在裂缝的进口和出口施加压力，并使用回弹格式模拟流固界面的防滑边界。

3.结果与讨论

３.１.基准-流体中的单颗粒沉降

为了验证浸没的边界晶格Boltzmann方法的准确性，我们采用模型，该模型认为在填充有粘性流体的通道中的重力和浮力下的圆形粒度的沉降。2006年，湾和Ture [43]使用FEM模拟这种单通道模型，其认为管道中的水流初始状态为静态。为了验证本文模型的正确性，我们将沉浸式边界晶格Boltzmann模拟结果与WAN和TUREK的FEM结果进行了比较。盒子的尺寸为2厘米（在 -方向)6厘米(在 -方向）。流体域分为 具有间距的方形格子 ．液体粘度为0.01 Pa·s，密度为1 g/cm^3.,分别。颗粒半径为0.125 cm，颗粒密度为1250 kg/m^3.，仿真中的松弛时间为0.53。该模型的四个边界是静止壁，这是流体的无滑移边界。最初，在位置（1cm，4cm）处产生一个固定的固体颗粒。由于重力，固体颗粒将逐渐向下移动。

在模拟期间，记录粒子位置坐标和流场速度分布。数字4给出了三种不同粘度情况下的颗粒速度随时间增加的曲线。由于重力的作用，粒子速度在初始状态不断增加，在0.3 s左右达到稳定状态(图)4）.粒子在加速过程中产生垂直向上的水阻力，水阻力与速度呈正相关。当速度达到一定值时，重力和作用在粒子上的阻力不变，粒子达到极限速度。由于流体的粘度增大了颗粒的粘性阻力，颗粒的最终速度会随着粘度的增大而逐渐减小(图)4）.本文的仿真结果与Wan和Turek在2006年的有限元计算结果一致，表明了IB-LBM的正确性。

图中给出了0、0.2、0.4、0.6、0.8、0.9、1.0秒各时间点的颗粒运动和流体速度等值线5．颗粒沉降作用于四个通道壁面。当颗粒通过某一区域时，对该区域的垂直管壁产生较大的冲击力。粒子挤压流体，使其向两边扩散，流体相对于粒子的运动方向相反。在粒子运动前形成较小的碰撞区，在粒子运动后形成较大的涡流区。这两个区域的差值会随着粒子速度的增加而逐渐增大。

3.2。粗糙骨折中的粒子干扰

本节将重点讨论颗粒物质对不规则裂缝中流体流动的影响，包括颗粒大小对通道渗透率的影响、颗粒数量对流体流动的影响、颗粒在不同分形维数粗糙裂缝中的填充行为、以及颗粒级配对渗流效应的影响。

3.2.1之上。颗粒大小对流体流动的影响

数字6给出了用我们的坐标系和本研究采用的几何参数的流动结构示意图。为了考察颗粒粒径对裂隙河道渗流的影响，我们建立了高度为 ，在墙壁的槽中设立具有不同直径的三个圆形颗粒。

参考上述基准程序参数，将流体的密度和粘度设置为1000kg /m^3.和0.01 Pa·s。颗粒密度(1250kg /m)^3.)比液体的重量略重。入口和出口为压力边界条件，设置压差为0.01 kPa，上下壁面设置完成边界后边界条件，确保侧壁速度为零。

每个网格点的间距是10 μM，整个域的长度是 ，网格的数量是 ，仿真中的松弛时间设为0.53。为了检查颗粒直径对流体通道的影响，我们设置了高度壁的凸出度为0.2毫米。分析了四种不同情况下流体通道内的速度分布。在第一种情况下，流体通过不含颗粒的正弦通道进行分析。其他三个病例都检查了流经一个正弦通道的流体，该通道包含一个直径为0.12、0.24和0.48 mm的圆形颗粒。

利用IB-LBM对该模型中的流体流场和颗粒运动进行模拟，得到不同粒径颗粒的流场速度轮廓。数字6示出了同一通道中不同颗粒的流体流动路径。当颗粒的直径小于高度时对于波纹型弯曲通道，几乎对通道内的渗流速度没有影响，但随着颗粒直径的增大，流体在通道内的通道被颗粒堵塞(图)7）.流体通道恶化，从而增加了这部分流体的速度，同时减少了颗粒的渗流面积和渗流通量。将这一概念推广到复杂的裂缝网络中可以发现，只有当颗粒高度达到裂缝上粗糙突起的高度时，颗粒尺寸才会阻碍通道，而且这种阻碍作用会随着颗粒尺寸的增大而增大。

为了定量地确定颗粒半径对通道的影响，分析了颗粒卷系数和沟道渗透率。阻力的比率在运动方向上施加颗粒上的颗粒上的瓶子的产物，流体动力压力是 在哪里为粒子表面沿来流方向的阻力，代表流体的入射速度，和表示粒径。

数字8显示了不同直径颗粒的阻力系数。从阻力系数的稳定价值,我们可以发现半径很大的粒子的粒子,因为有更强的抵抗力粒子阻碍液体的顺畅,增加液体的运动路径,从而增加流体的速度,进一步增加了阻力系数。微观渗流通道中的流体运动也具有渗透率的特征，它代表了流体通过复杂裂缝的难度。在微观尺度上的渗透率为 在哪里为流量，采用数值积分算法估计，是部分路径长度，和为通道的横截面积。

桌子1显示流量和渗透率随粒径变化。大颗粒的存在改变了流场的显性路径，从而改变了流场的磁通量和渗透率（图7）.我们可以使用渗透率的变化规律进行同样的观察。随着粒度的增加，流场的渗透率降低。由于颗粒的梗阻效果，流体不能有效地提供;所以，压降，并且助焊剂减少，这提出了渗透性的下降。

3.2.2。颗粒数对流道的影响

为了研究复杂分形裂缝中颗粒数对流体运动的影响，在保持分形裂缝结构不变的情况下，建立了弯曲的复杂分形裂缝。模拟讨论了当颗粒数为0、5、10和15时，颗粒的存在对流体流动的影响。裂缝结构的分形维数为1.1，通道长度为 ，并且裂缝的孔设置为1毫米。每个网格点的间距为50 μm;网格的数目是 ．流体的密度和粘度为1000kg / m^3.和0.01 Pa·s。颗粒的密度略大于流体的密度(1250kg /m)^3.），颗粒的半径为0.1mm。入口和出口是压力边界条件，压力差设定为0.01kPa，并且上部和下部断裂表面被设定为反弹边界条件。

数字9显示骨折的渗流过程，分形尺寸为1.1，含有不同数量的颗粒。根据轮廓图的数值分析，可以推断出，随着粒子的数量增加，平均渗流速度降低（图9）.颗粒的存在降低了流体流动和阻碍流体通道的横截面积。流体将形成颗粒周围的速度增加区域，但这具有比流体通道横截面积的减少引起的渗透率降低的较小的冲击。颗粒越多，颗粒占据的流体通道面积越大，阻碍越强。随着颗粒的数量增加，由颗粒占据的流体通道的面积变得增加，并且阻挡效果变得更强。

桌子2显示具有不同颗粒数的复杂骨折的渗流速度，助焊性和渗透率降低率。更多颗粒的存在将显着减少流体的通过;即，降低骨折空间的渗透率（表2）.同时，渗透率降低系数与颗粒所占空间正相关。颗粒所占空间越大，渗透率降低系数越大。流固耦合流动不仅需要克服不规则边界的阻碍，而且还需要吸引固体颗粒一起运动，因此会造成更多的能量消耗。粒子的数量越多，能量消耗就越大。这是颗粒导致渗透率降低的主要因素。

3.2.3。变分形维数裂缝中的颗粒运动

考虑到变分形维数复杂裂缝的渗流过程，构建了6条变分形维数分形曲线，对应6条变粗糙度裂缝结构。6条不同分形曲线的分形维数分别为1.0、1.1、1.2、1.3、1.4、1.5，流体和颗粒的参数设置与Section中相同2.3.．数字10显示了不同分形尺寸下的流体粒子耦合渗流速度的轮廓图。分形尺寸对流量产生重大影响。增加分形尺寸意味着裂缝粗糙度增加，通过裂缝的流体的曲折性增加，并且信道渗透率降低。

数字11给出了不同分形维数下的渗透率曲线。裂缝的分形维数越大，通道的渗透率越小。裂缝分形维数越大，说明构造越复杂，隆起和凹陷幅度越大。当流体流经分形维数较大的裂缝时，需要克服的边界影响更强，导致渗透率降低。从数值上看，这种关系近似满足渗透率与分形维数之间的负指数相关关系，这也得到了Jafari和Babadagli的实验验证[44］.复杂骨折的渗透性与分形尺寸具有正相关，负数指数法也大致满足含有颗粒的流体。

3.2.4。粒径分布的阻塞效应

为了模拟粒度分布对流体渗出的影响，建立了以下四组具有不同比例的大小粒子的渗漏通道图（图12）.四种模型的腔体大小是 mm，大颗粒的半径为9mm，小颗粒的半径为4.5 mm。大颗粒与小颗粒半径之比为2:1，所占面积之比为4:1。为了消除颗粒位置对流体通道造成的误差，我们尝试使颗粒位置尽可能的对称和规则，大颗粒和小颗粒所占的总空腔面积大致相等。当流体流经复杂的渗流通道时，流体会自主地流过上部通道;即在流道最短、渗流宽度较宽的地方流动(图)12）.

数字12显示速度等高图，具有不同粒度分布的型号。随着量的小颗粒的增加，即大颗粒与小颗粒的比例增加，流体渗流通道变得复杂，有利的渗流路径包含更多的曲线和转弯，并且流体渗流速度显着增加，但整体渗透率降低。增加颗粒灰度率使得流体路径更加分散，这是不足的，不能形成较大的主渗流路径并降低渗透性。

4。结论

利用IB-LBM和Weierstrass -Mandelbrot函数建立了一系列颗粒-流体耦合模型。数值模拟结果表明，IB-LBM在模拟含颗粒裂缝中复杂流体渗流过程中具有良好的数值稳定性和收敛性，能够较准确地模拟流固耦合。为了探讨含颗粒复杂裂缝中流体的渗流行为，研究了颗粒尺寸、颗粒数、分形维数和颗粒级配组成对流体通道的影响。从微观结构层面分析了流体颗粒间的耦合。

随着粒径增加，通道中的流体通道被颗粒阻断，颗粒降低渗流面积，导致渗流通量和渗透率降低。随着粒子数增加，平均渗流速度降低。流体速度将围绕颗粒增加，但这种效果小于通过流体横截面积减少引起的整体渗透性降低。随着分形尺寸的增加，断裂的粗糙度增加，并且通过裂缝的相应流体流动路径的复杂性增加。增加颗粒灰度组合物使流体通道更分散但不足以形成大的主渗流通道，导致渗透性降低。

缩写

：	流体速度
：	时间
：	运动粘度
：	压力
：	流体密度
：	力项
：	马赫数
：	流体速度
：	格子速度的声音
：	离散速度
：	密度分布函数
：	无量纲平均松弛系数
：	时间步长
：	平衡态分布函数
：	离散力
：	物理粒子数
：	每个粒子中离散点的数目
：	粒子中心
：	瞬时粒子旋转矩阵
：	边界的参考点
：	粒子偏差
：	恢复力
：	弹簧常数
：	总力量
：	总转矩
：	的质量我th粒子
：	固体颗粒位移
：	狄拉克函数
：	碰撞力
：	浸入边界力密度
D：	分形维数
：	分形参数
：	分形角
：	分形随机指数
：	分形管理功能
：	电阻系数
：	流体入射速度
：	颗粒直径
：	渗透率
：	流量
：	部分路径长度
：	通道横截面积。

数据可用性

用于支持本研究发现的数据可由通讯作者要求提供。

的利益冲突

作者没有潜在的利益冲突。

致谢

国家自然科学基金项目(41472130)资助。

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