文摘
我们提出一个非常简单的基准问题的数值方法Cahn-Hilliard (CH)方程。基准问题,我们考虑一个余弦函数作为初始条件。周期性的正弦概要文件满足齐次和周期性边界条件。提出的问题是,它的力量比以前的工作更简单。CH基准数值解的方程,我们用四阶龙格-库塔方法(RK4)颞集成和集中空间微分算子的有限差分格式。使用基准问题提出解决方案,我们无条件执行的收敛测试梯度稳定计划通过线性凸分裂艾尔和Crank-Nicolson方案提出的。我们获得预期的收敛率时间数值方案一,两年,和三维CH方程。
1。介绍
我们提出一个非常简单的基准问题的数值方法以下Cahn-Hilliard (CH)方程(1- - - - - -3]: 在哪里 是一个有限域, 是一个创作的领域, ,和是一个积极的常数。CH方程为模型,提出了亚稳相分离的二元混合物,已被用于许多科学现象,如拓扑优化模型(4,相分离5- - - - - -7),图像处理8),两相流体流动(9,10)、水晶模型(11),肿瘤的生长12,13],和微结构的形成(见[14)的基本原理和实际应用,3)的物理、数学和数值CH方程的推导)。
有许多研究论文关于CH方程的精确数值方法(15- - - - - -18)(见引用其中的更多细节)。特别是,CH的各种数值方法之间的比较研究方程是在稳定和效率的角度进行19]。开发的测试集验证模型、算法和数值方法的准确性被称为“基准问题”(20.]。然而,只有一些基准问题验证该计算方法的准确性。最近,作者在21)提出了一个两年期基准问题和三维CH方程。基准问题收缩环和球壳在两,三维情况下,分别。他们使用显式欧拉计划好时间步长, 。作者在22)提出了四个基准问题Allen-Cahn (AC)和CH方程。是时间基准的价值在一个点域从消极变为积极。作者在20.)提出了相场模型的两个基准问题的溶质扩散和相分离。最近,一个验证方法的收敛率提出了著名的抛物型偏微分方程数值解(23]。
通常情况下,基准测试对比较方法的性能至关重要。然而,许多研究人员在大多数情况下使用自己的方法进行自测。有一个问题,这样一个错误可能发生相对比较实际的解决方案,因为一个近似解收敛于一个数值解通过采用数值方法虽然通过数值分析是保证收敛的一个解决方案。此外,大多数的这些测试计划通常是隐式方法,具有相对较低的精度比显式的长时间模拟方法的结果与一个小的时间步。因此,本文的主要目的是提供一个非常简单的基准问题CH方程的数值方法,不采用自测,但经典的显式的时间离散化方法。提出的问题是,它的力量比以前简单的作品(20.- - - - - -22]。此外,基准问题可以应用诺伊曼和周期性边界条件。
本文总结了如下的内容。节2提出了一种数值解。在第三节,数值结果显示。结论在第四节。
2。数值解
我们考虑两个基准问题的CH方程离散化方案;一个是线性稳定的分割方案(LSS)提出的艾尔(24)这是一阶准确时间,另一个是Crank-Nicolson (CN)方案25)这是二阶。为了执行基准测试这两个方法,我们首先需要获得一个基准数值解。获取基准方案,我们考虑一维CH方程: 与齐次纽曼边界条件 。让 统一的空间步长, 为 ,和 ,在哪里 参考时间步和吗是最后一次。我们定义作为一个近似的 。现在,我们离散化方程(2)及时使用四阶龙格-库塔法(RK4) [26)如下: 在哪里 是标准的离散拉普拉斯算 和 。
3所示。数值结果
3.1。收敛性和稳定性测试
首先,我们进行传统收敛测试。作为一个具体的例子,给出一个初始条件
注意,方程(4)可用于测试数值方案与纽曼和周期性边界条件。我们雇佣 ,这是近似过渡层的宽度(27]。表1显示了收敛速度。我们测量在最后时间的准确性使用这是定义如下: 在哪里之间的误差计算解决方案使用大型和小型的时间步骤,分别。更准确地说,它是
在这个测试中,我们采用空间步长 和最后一次 。我们可以确认RK4确实是四阶的时间根据表1。
在接下来的测试中,我们调查的最大时间步大小关于空间步长 。在这里,我们解决 和其他参数和初始条件是上面描述的相同。表2列出了最大时间步大小满意的数值解不炸掉。
图1描绘了几乎稳定区域和最大时间步长如表中所述2。显式方案理论上 。
图2代表了CPU时间(秒)对空间的数量的步骤 ,英特尔酷睿i5 - 6400 CPU上执行在2.70 GHz 4 GB RAM。当我们有所不同16、32、64和128年固定参数, 和 ,CPU时间是88.812,175.468,354.14和708.718。也就是说,当翻了一倍,CPU时间是大约翻了一番。
3.2。基准问题
让我们考虑的基准问题CH方程。我们采用方程(4)作为初始条件。参考基准问题的数值解,我们使用 , ,和 。因此,最后的时间 。为模型参数,我们使用 。图3显示了初始条件和参考数值解 。
3.2.1之上。一维空间
让我们定义一个错误 之间的差异和在最后的时间 ,也就是说, ,在哪里和的数值解是一个时间步吗用时间步和参考数值解 ,分别。要进行基准测试的一维LSS和CN计划如下: 在哪里是一个时间步。我们解决方程(7)和(8)使用多栅的方法25,28]。注意,我们使用高斯-赛德尔迭代法在多栅的过程中结合牛顿近似计算方程中的非线性项(8)。数据4(一)和4 (b)显示的错误LSS和CN方案,分别。
(一)
(b)
现在,我们定义离散 - - - - - -规范和离散为最高标准 分别。表3和4列出的数值误差和收敛率LSS和CN的方案 ,分别。我们确认计划达到预期的收敛率(LSS的一阶和二阶的CN计划)。
3.2.2。二维空间
接下来,我们考虑方程的二维版本(7)和(8CH方程) 。简单的扩展LSS和CN计划如下: 在哪里 和 。我们表示 通过为 和 。一个初始条件是由一个简单的扩展方程(4):
我们可以减少这样的影响域。因此,二维参考数值解与一维扩展如下:
数据5(一个)和5 (b)显示初始条件和参考解决方案 ,分别。
(一)
(b)
我们定义离散 - - - - - -规范和离散为最高标准 分别。表5和6列出错误和数值结果的收敛率 。从结果中,我们观察到两个方案实现预期的收敛率(LSS一阶(10)和二阶CN计划(11))。
3.2.3。三维空间
最后,两个数值方案扩展到三维CH方程如下: 在哪里 。在这里, 。给出一个初始条件
我们一维参考解决方案扩展到三维参考数值解:
注意,最后的时间被设置为为便于计算三维空间中。数据6(一)和6 (b)显示初始条件和参考解决方案 ,分别。
(一)
(b)
离散 - - - - - -规范和离散最大准则只是扩展如下: 分别。表7和8列表错误和收敛率的数值结果 。表7和8表明,方程(15)和(16)的一阶和二阶,分别。
4所示。结论
在这项工作中,我们提出了一个非常简单的基准问题,这是一个余弦函数的初始条件CH方程的数值方法。的数值解,我们使用RK4颞集成。使用基准问题提出解决方案,我们表现的收敛测试LSS和CN计划,取得了预期的一阶和二阶收敛率的一个,两个,分别和三维CH方程。建议的方法是更少的偏见和提供更合理的结果比传统self-convergence测试。在未来的工作中,我们将设计简单的基准问题等非线性偏微分方程的非局部CH, AC,外地交流方程。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
第一作者(y . Li)支持的中国陕西省自然科学基础研究计划(2016 jq1024)和中国国家自然科学基金(11601416和11601416号)。这项工作是由大脑韩国21四个项目。相应的作者(j . Kim)支持的基础科学研究项目通过韩国国家研究基金会(NRF)由教育部(NRF - 2019 r1a2c1003053)。