文摘

一块图是一个不可分的最大图的子图。我们表示 一个图块的数量 。我们表明,连通图 的订单 用最小的程度 , 。绑定是渐近紧。此外,对于一个连接立方图 的订单 , 。绑定很紧。

1。介绍

我们考虑有限、无向简单图。让 是一个图。的顶点和边的数量 被称为“订单和大小的 和用 和 ,分别。一个顶点 被称为减少顶点如果 ,在哪里 表示组件的数量 。 表示减少顶点的数量 。拉奥(1证明,一个连通图 的订单 和大小 , 所有的极值图的特征。饶和饶2对一个强大的有向图)解决相应的问题。后来,Achuthan和饶3)确定切边的连接的最大数量 - - - - - -正则图的顺序 。

让 是一个连接 - - - - - -正则图的顺序 。拉奥(4)确定 为 。吧,饶5)表明, 或 为奇数 和获得一个上界 甚至 。

Alberten和伯曼6证明,图 的订单 和最低程度 ,

这必然是渐近紧。

霍普金斯和Staton7显示每一个连通图的顺序 包含不超过 减少顶点的度 。一些相关的结果被称为(8,9]。

一个分离图的连通图的分解成两个非空的连通子图,只有一个共同的顶点。共同的顶点称为将顶点的图。从图 在考虑很简单, 是一种分离顶点当且仅当它是一个顶点。一块图是一个不可分的最大图的子图。我们表示 图块的数量 。

很明显,任何最多两个街区图的一个顶点的共同点。回想一下,块树 的 是分为两部分的两偶图吗 ,在哪里 组块的吗 和 ,分离的顶点的集合 ,和一块 ,和一个分离的顶点 加入了一个边缘在吗 当且仅当 包含 。很容易看到,如果 连接, 是一个树。每片叶子的 对应于结束块 。

绑定的减少顶点的启发,在本文,我们考虑块的数量的上限,一个连通图 用给定的最低程度。让我们开始用两个简单的情况 和 。

命题1。对于一个连通图 的订单 , ,当且仅当与平等 是一个树。

证明。我们的证据是感应 。如果 ,然后 ;因此,结果。接下来,我们假设 。如果 没有减少顶点,然后呢 。现在假设 有一个顶点。让 是一个块 和 的顶点,这属于 。让 。很明显, 是连接。归纳假设, 。自 , ,我们有 ,与平等只有 和 。归纳假设, 是一棵树,暗示 是一个树。
相反,如果 是一个树,显然, 。

命题2。对于一个连通图 的订单 与 , ,当且仅当与平等 获得的图像来自哪里 识别每一个独立的顶点 ,鉴于,如图1。


图1
极值图达到上限的命题2。

证明。如果 没有减少顶点,结果非常。接下来,我们假设 顶点已经减少,因此,它至少有两个块和 。让 所有的结束 。让 切的顶点 ,这属于 为每一个 。很明显, 对于任何 。如果 任意两个不同的 ,然后 和 。因此, 。
否则, 至少有两个顶点。它遵循的秩序 的 至少有两个。因此, 和 。由命题1, 。总结上述,我们有 从上面的, 当且仅当 和 , ,正如我们承诺。

很明显,对于一个图 的订单 , 减少的时候 增加。对于一个连通图 的订单 至少和最低程度 ,我们有下面的结果,即渐近最佳。

定理1。对于一个连通图 的订单 与 , 。

我们表明,绑在上面的定理是渐近最佳选择。让 。考虑一个树 的订单 每个顶点都有学位 或1。握手的引理,这棵树的叶子

让 图从识别每片叶子 一个顶点的小团体 分开。因此,

所以,我们有 然而,随着 变大, 得到任意接近 。

会发生什么 - - - - - -正则图吗?情况变得复杂。我们能得到一个确切的开往一立方图 的订单 : (定理2),而由定理1,我们有 对于一个连通图 的订单 与 。

定理2。对于一个立方图连接 的订单 ,

绑定是锋利的。

绑定的清晰度,我们表示 从获得的图 通过替换路径长度的两个优势,画在图2。


图2
。

图表 实现的上界定理2方面,它分为三种类型 (国防部6), (国防部6) 分别(mod 6)。

为一个整数 (国防部6), 是一个偶数。让 树中每个顶点度1或3。很明显, 正好有 顶点的度1(叶)和 顶点的度3。让 图从识别每片叶子 顶点的度两个单独的 ,如图3。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
图3
极值图 的订单 获得的上界定理2,(一个) ,(b) ,和(c) 分别(mod 6)。

为一个整数 (国防部6),让 是一个立方图从图中获得 替换一个顶点的度三个(不属于任何 )一个三角形,如图3。

为一个整数 (国防部6),让 是一个立方图从图中获得 通过插入一个 到一个边缘 (不属于任何 ),如图3。

它可以检查 和 对于任何图 构造成以上。

2。定理1的证明

假设是不正确的,让结果 最低订购量是一个反例 ,也就是说, 和 ,但对于任何一个连通图 的订单 与 , 。

如果 , 。由命题1和2, 。因此, 。自 ,我们有 ,因此, 至少有两个街区。

权利要求1。每一个结束块 是一个集团的 。

证明。索赔1。如果不是,让 是一个块 。让 图得到 通过替换 与 的订单 。很明显, 和 。的选择 , 结合上面的事实中,我们得出结论 ,矛盾的选择 。

要求2。没有减少的顶点 属于至少两块的结束 。

证明。索赔2。让 和 两块的结束 包含相同的顶点 的 。让 。通过要求1, ,因此, 和 。的极小性 , 结合(9),这一事实 ,我们有一个矛盾:

要求3。让 是一个减少顶点躺在结束块 。如果 是一块包含 ,然后 。

证明。索赔3。这就可以证明 。
第一个假设 。让 图得到 和连接 每个顶点的 。很明显, 是一个连通图 。而且,通过索赔1, 。的极小性 , 结合(11),这一事实 ,我们有一个矛盾。 现在,假设 。让 ,在哪里 。自 和 ,每一个 是把顶点 。让 图得到 通过识别所有的顶点 。很明显, , ,和 。的选择 , 。因此, 矛盾的选择 。这证明了这一说法。
取一个最长路径 的 。让 是一个块 ,对应于一个终端的顶点 ,在哪里 独特的减少顶点 这属于 。通过要求3, 。接下来,我们考虑三种可能情况下的秩序 的 。

2.1。案例1:

让 图得到 和连接 每个顶点的 。很明显, ,和索赔1, 。的极小性 , 。自 ,我们有

2.2。案例2:

的选择 ,每一块 的 包含 是同构的 。此外,小块包含的另一端 是一片叶子 。自 ,有 这样结束块 ,每个连接 与优势。让 图得到 通过识别一个顶点的新秩序 与 。很明显, , ,和 。所以, 是一个矛盾。

2.3。案例3:

自 ,每个顶点的 是把顶点 。我们区分两个子用例 。

2.3.1。例3.1:

自 ,每个顶点 有一个邻居不 ,属于不同的块的 。让 图得到 通过收缩 一个顶点 。可以看出 , ,和 。所以,

2.3.2。例3.2:

让 和 ,在哪里 和 。自 ,对于任何 ,至少有 块包含 ,每个同构 ,如图4。

(一)
(一)
(b)
(b)
图4
(一) 和(b) 3.2。

让 图从加入每个组件 来 或 这样 为每一个 。此外,添加一个优势 如果 。请注意, 是一个连通图的顺序 与 和 。的极小性 , 。因此, ,矛盾的选择 。

定理的证明1就完成了。

3所示。定理2的证明

假设是不正确的,让结果 最低订购量是一个反例 。下面的事实是清楚的:(1) 必须包含顶点。因为没有立方图的顺序 有一个顶点, 。(2)此外, 。如果 ,不难检查 。

要求4。每一个结束块 是一个 。

证明。索赔4。如果不是,让 是一个块 。让 图得到 通过替换 与 。很明显, 是连接立方图的顺序 和 。的极小性 , 结合上面的事实中,我们得出结论 ,矛盾的选择 。
取一个最长路径 的 。让 是一个块 ,对应于一个终端的顶点 ,在哪里 独特的减少顶点 这属于 。自 是一个立方图, 。接下来,我们考虑三种可能的情况下。

3.1。案例1:

如果 是把顶点 ,然后 属于另一块是同构的 。此外,小块包含的另一端 是一片叶子 。我们可以假设 有 减少顶点除外 ,这属于 ,分别在哪里 。

让 图得到 通过识别 两个新顶点的度 。很明显, 是立方图的顺序 和 。归纳假设, 。因此,

3.2。案例2:

由此可见, 。每个顶点的 是减少顶点。让 是图获得的相同的操作如例1的证明。我们有 和 。因此,

3.3。案例3:

的选择 和 ,一个可以找到另一个最长路径 的 。让 从识别获得的图 的 两个新顶点的度 。请注意, 和 。归纳假设, 。因此,

完成证明。

4所示。结论和未来的工作

由一个最低反例的断言的属性图的主要定理和通过使用几种变换,我们到达一个矛盾,从而,我们给我们的结果。然而,上界 仍然是开放的,如果 是一个 - - - - - -正则图与 。的裁判结果的可能性,指出一些实际的应用程序和其他领域(见[10- - - - - -12例如])。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。