文摘

为了研究动态风的影响的非线性飞驰的冰输电线路的特点,外部激励载荷被添加到控制方程的冰输电线路条件下稳定的风,和一个新的强迫自激系统已经建立起来。frequency-amplitude关系迫使自激系统的弱兴奋和强激励下通过使用多尺度的方法获得。主共振和超谐次谐波共振也被强迫自激系统的分析。结果表明,强迫自激系统强有力的激励下,当激励频率接近固有频率的积分和分数倍,更容易产生1/2阶次谐波共振,二阶超谐共振,3-order超谐共振。此外,数值方法提供不同的控制参数的分岔图,这是能够突出的影响同时存在的激励源。当控制参数(风速、激励振幅,调优参数,紧张,和杨氏模量)的变化,主共振的响应振幅和谐波共振multivalue,跳现象,硬化行为。控制参数可作为工程设计的参考。更重要的是,作为一个组合杜芬方程和瑞利方程,被迫自激系统还具有较高的理论研究价值。

1。介绍

传输线的横截面将改变从圆形截面新月或维形状截面复杂的气候条件如雪霜,雨夹雪和冻雨1,2]。因此,冰输电线路容易飞奔在风荷载下(2]。长期和持续的输电线路舞动会导致疲劳破坏的结构和构成重大威胁的安全性和可服务性这些结构(2,3]。在这种情况下,短路,频繁跳闸,断链或电线,和其他经常发生事故的可能性将传输线结构(4,5]。为了研究冰输电线路的飞奔,Den Hartog [6)提出了垂直飞驰的机制,表明主要发生在垂直方向飞奔。垂直飞驰的机制是基于线性理论,事实上,输电线路的跨度长度远远大于直径的输电线路,所以输电线路实际上属于电缆结构,这将显示明显的非线性行为,当他们受到重力和外部力量的影响7]。此外,如传输线,保持电缆的跨度比它的直径要大得多。因此,输电线路和电缆属于电缆结构。

近年来,许多学者研究了电缆在外部荷载作用下的非线性动力学行为。电缆在桥有一个固定端,另一端是受到谐波垂直激励。首先,通过实验和有限元的方法,李和珀金斯(8]发现纯粹的平面响应,内部共振空间的反应,和准周期响应。胡和派9)使用三维运动分析系统在这个实验中,和这个实验观察和研究了次谐波和超谐共振,倍周期分岔,硬化非线性效应,旅行和复杂振动的电缆。在平面和出平面谐波负载下,Gattulli et al。10)利用分析和有限元模型的模态交互电缆在平面和空间响应,验证了简化运动学分析中引入的假设模型。在[8- - - - - -10),电缆的非线性振动研究实验和有限元的方法。然而,没有定性分析的振动形式。接下来,通过摄动的方法和数值方法,尼尔森和科克加德11)获得了近似解的电缆受到平均超谐激励的方法。和尼尔森讨论了影响谐波和超低的影响电缆的振动特性,但他没有把电缆结构的曲率和小变形的影响考虑在内。Srinil和君威12]而浅非线性模态交互水平电缆与运动学上地noncondensed与浓缩的建模,在同步主要外部和内部的共鸣。和非线性动态配置和紧张也检查。倾斜的电缆受到谐波负载均匀分布;君威和Srinil13)解决偏微分方程,利用多模离散化和二阶多尺度的方法,发现混合模态交互进行的几种分岔和非线性现象以及有意义的过渡从周期、准周期和混沌响应。sidney和瑞丽14]分析了风流的影响与雨的同时保持电缆,研究了平面和出平面运动之间的相互作用通过分岔图。参数化的分岔和混沌动力学和外部兴奋暂停电缆也在调查15]。在[12- - - - - -15),一些学者研究了不同模式的非线性动态影响电缆,multidegree耦合振动的自由的电缆,电缆的分岔分析,电缆的拟周期和混沌响应。然而,电缆的动态响应,在非稳定风条件下,并没有被研究过。此外,一些学者也研究了气动弹性不稳定的保持电缆。和rain-wind-induced振动16)和干飞驰的(17)保持电缆属于气动弹性不稳定的问题。众所周知,相信这空气弹性变形的不稳定性问题的形成和振荡是由于水小河上电缆表面,从而改变有线空气动力学和吸收能量进入系统。签证官et al。18)证实,保持电缆的变形有显著影响结构的弯曲变形的不稳定性实验。黄等。19]解决了控制方程为暂停了斜拉桥的结构梁使用标准形式和保持电缆的多尺度方法,发现变形有显著影响结构的弯曲变形的不稳定。在[16- - - - - -19),一些学者研究了rain-wind-induced振动、冰飞奔,干燥的飞奔保持电缆和变形的影响保持电缆的电缆的空气动力稳定性。输电线路也是一个电缆结构由于输电线路很容易结冰,导致不规则截面形状。因此,冰输电线路容易飞驰的风荷载激励下的。然而,冰输电线路的非线性振动特性的影响下动态风很少研究。此外,瑞丽和sidney [20.,21)被认为是两个塔的动态接触非线性粘性湍流风和相关设备。他们表示风的稳定组件负责自励,在动荡的原因部分参数和外部励磁的在一个特定的共振条件。

基于的分析8- - - - - -19),很少有学者研究了动态风对输电线路的影响。基于动态风的影响在结构的动态响应(20.,21],本文系统地研究了影响非线性的动态风飞驰的冰输电线路的特点。输电线路是一个灵活和弹性悬索结构。和输电线路的控制方程包含二次和三次非线性项(22),二次项有关导体的初始曲率和立方项相关的轴向拉伸导线(23,24]。因此,动态风被添加到控制方程和二次立方非线性恢复力方面形成新的强迫自激系统。结果表明,弱激励下的主共振和风速或激励振幅的增加将提高硬化行为和非线性系统的特点,将多值和跳现象。此外,结果证明,适当增加紧张和杨氏模量可以降低主共振的共振峰值和谐波共振。本文得到的结论将有助于冰输电线路和非线性飞驰的分析也给实际工程参考。本文的组织结构如下:在部分2,我们提出一个数学公式的冰输电线路。在部分3和4主共振及谐波共振,分别讨论了利用多尺度的方法。一个详细的总结提出了部分结果5。

2。冰输电线路的动态模型

大多数的高压输电线路可以相当于等高输电线路在平原地区。因此,单拱桥等高输电线路和两个固定支持被认为是。单拱桥的力学模型建立了冰输电线路如图1,认为风是沿着z设在方向如图2。输电线路是假定为同质和线弹性扭转可以忽略不计,弯曲,剪切刚度。考虑输电线路有一个小的初始sag-to-span比率(小于1:8)和低静态应变相关的静力平衡输电线路的配置可以通过抛物线进行描述y=4d(年代/l−(s / L)²)(年代是曲线横坐标;l是跨度;和d凹陷)(25]。初始静力平衡重力下输电线路的配置ξ₁,当输电线路的静态均衡配置更改其他外部载荷的作用下,相应的动态均衡配置ξ₂。

图1的模型是singe-span等高输电线路,在图吗1,u(s t), 位移测量的动态平衡配置的x设在和y设在方向,分别是强迫激励载荷。

为了方便研究冰输电线路的气动载荷,它是假定冰输电线路是新月的形状。图2的模型冰传输线的横截面图吗2(一个)是传输线横截面的物理模型和图吗2 (b)是传输线横截面的受力分析模型;O₁z₂的对称轴是冰传输线的横截面,O₁z₁的方向是横向风作用于输电线路在振动过程中,O₁z水平轴,α风攻角,α₀是初始风攻角,α_t是相对风攻角,U水平风速,U₀是相对风速,是垂直飞驰的速度。

从图2,它可以获得

相对风作用于冰输电线路,导致空气阻力(F_D)相对风向和向上气升(F_l)相对垂直于风向26];因此,它可以获得

考虑到小变形,也就是说,sin (α)≈α和cos (α)≈1,方程(2)可以简化如下:

根据流体诱发振动理论的表达式F_l和F_D可以上市26]: 在哪里C_l气动升力系数,C_D气动阻力系数,ρ是空气密度,D输电线路的直径。

用方程(4)和(4 b)(3),基于泰勒的法律,空气动力系数y设在方向可以安装一个立方非线性曲线: 在哪里 , , ,和是待定系数相关的气动载荷。

根据方程(2)- (4)和(4 b),它可以获得

的连续激发下的意思是风,当输电线路的振动所产生的惯性力大于系统的粘性力,系统的能量将继续增加。当从外部输入的能量等于损耗的能量系统,输电线路将与恒幅自激振动。但是,在实践中,动态风是不稳定的。基于这个概念,意思是风(U)在图2 (b)被动态风( ),然后冰输电线路动态风很兴奋。实际上,动态风( )可以表示为平均风的叠加(U)和脉动风( ):

谐波叠加法可以用来模拟脉动风,和随机过程可以模拟脉动风谱分解。然后,它可以获得 在哪里振幅,是圆频率,相位差。

用方程(8)方程(6),动态风的纵向气动升力可以获得:

忽略高阶项的方程(后9),它可以获得

用方程(5)(10),它可以获得 在哪里

在方程(11),和D表示空气密度和输电线路的直径,分别;U表示风速;和 , , ,和相关的气动力冰输电线路,可以由实验决定。最初的风攻角和输电线路的形状保持不变,粉,采用准静态假设(27];然后, , , ,和是常数。自和D也是常数系数( )是一个常数。拟合系数( )不会改变风速(U),所以系数( )也是一个常数项。和系数( )与垂直飞驰的速度不会改变( ),所以系数( )相当于在冰输电线路添加额外的重量。和系数( )无关与架空输电线路导线的舞动的一代,所以我们可以忽略的系数( )。因此,系数( )和( )不考虑空气动力载荷的。

在方程(11),表达式( )是一个参数激励系统中的术语,表达( )是一个外部励磁系统中的术语。系数( )大于系数 , ,和 ,只有外部激励( )被认为是在接下来的论文。动态的稳定部分风注入输电线路产生自激振动,和不稳定的部分会导致外部激励(20.,21]。基于这个概念,自励项方程(11)可以简化为 因为它不考虑系数( )和( )气动载荷;此外,外部激励项方程(11)可以简化为 不考虑参数激励项;然后,动态风的纵向气动力

根据非线性振动理论,当响应包含次谐波和超低组件,恢复力之间的关系,系统是一个非线性的位移封闭曲线,它具有明显的非线性滞后特性。简化的纵向气动力 动态风包括外部激励 和瑞利阻尼项 。瑞利阻尼、二次和三次非线性恢复力方面构成了非线性滞后系统的力量。

Den Hartog发现横向振幅的冰输电线路距离远小于垂直振幅,表明主要发生在垂直方向飞奔。基于这个概念,只有在垂直方向飞奔冰输电线路被认为是。贝尼德天尼神父说,君子23),可以看出,动态风的作用下,垂直运动的控制方程的输电线路 在哪里H输电线路的张力,E输电线路的杨氏模量,年代传输线的横截面积。是垂直运动函数的一阶导数对吗x,是抛物型方程的一阶导数对吗x,和一阶导数和二阶导数的垂直运动函数关于时间t分别μ结构阻尼,米单位未拉伸长度是自重。

位移 在方程(14)可以写成 在哪里 的模态函数是冰输电线路。让n= 1,采用单模离散化(28),和研究主要是集中在一阶模式。此外,统一的分布式负载( )在垂直方向被认为是, 外部激励的模态函数,问(t)是时间函数。

基于伽辽金方法,方程(15)代入方程(14)获得非线性偏微分方程:

方程(16)是非线性飞驰的控制方程,包括气动载荷和外部激励。方程的参数(16) 在哪里

方程(16)三阶非线性阻尼项包含一阶和二阶和三阶非线性恢复力的问。系统中的气动载荷包括一阶、三阶项,这是符合瑞利阻尼项的函数(瑞利阻尼)。空气动力载荷的形式介绍了瑞利阻尼非线性飞驰的方程。此外,非线性恢复力项是符合杜芬函数(二次和三次计算)。因此,方程(16)可以被视为杜芬方程的组合形式和瑞利方程。此外,有一个外部激励( )在方程(16),激发强烈的冰传输线系统的共振。由于不同的外部激励频率,共振的形式可分为弱的主要共振激发和谐波共振的强有力的激励。

3所示。主共振的弱非线性系统

本节讨论被迫自激系统的主共振,激发频率的Ω等于固有频率ω。多尺度的方法用于获得的近似表达式frequency-amplitude响应弱激励下,由于包含二次和三次非线性项,空气动力系数的气动载荷系统还包括一阶和三阶项。人们普遍认为阻尼和非线性项对系统有什么影响。根据(10,20.),小的解决方案形式参数( )是 在哪里 , ,和新变量的系统。

为了使方程容易表达,问,μ,还用于表示 , ,和 。用方程(19)方程(16),它可以获得

讨论了多尺度的方法,问是设置为

偏微分算子符号和外部激励的频率

在方程(22),σ激励频率的调优参数,代入方程(21)和(22)方程(20.)和等同系数的权力εⁿ(n= 0,1)导致以下普通线性方程,分别为:

在方程(23个)和(23 b),D_k的偏导数是吗T_k和方程解(23个)是 在哪里一个(T₁)可以被定义为 在哪里一个(T₁),β(T₁),分别代表系统的振幅和相位函数。用方程(24)和(25)方程(23 b),它可以获得

用方程(25)方程(26),它可以获得

介绍 获得稳态解的振幅和相位方程(27了)和(27 b),让 ,并获得frequency-amplitude方程通过消除γ:

根据现场观察,新月形状的冰是一种常见的类型的糖衣飞奔。此外,冰输电线路的参数可以通过实验获得。为了便于分析和比较,如表所示1、几何参数、材料参数、以及相关的空气动力学参数引用(29日]。

需要验证的正确性frequency-amplitude方程的近似解之前讨论被迫自激系统的主共振。如图3、调优参数σ= 0,和激励振幅(p)响应振幅(一个)曲线的方程(28)是由数学软件枫。本文数据的曲线4和13也是由枫树。实际的单位响应振幅米和激励振幅的单位( )是N / m。值得注意的是,激励振幅(p)是通过用激励振幅( )方程(17)和(18)。和激励振幅的单位的定义(p, )和响应振幅(一个图与图一致。3,分别。此外,激励振幅(p= 2,4,6,8,10)代入方程(16),的最大点积极的振幅一个₁,一个₂,一个₃,一个₄,一个₅通过使用龙格-库塔在MATLAB函数(7]。

如图3,并给出了频率特性曲线,所以一些数字解决方案可以提供这些曲线显示良好的摄动解和数值之间的协议。响应幅度大于2时,误差的解析解和激励振幅的增加会增加。在图3当响应幅度大于2时,数值解和解析解之间的误差从2.98%增加 为5.42% 。然而,frequency-amplitude曲线仍然可以用于分析。

为了分析风速的影响,激励振幅,和紧张迫使自激系统的主共振的冰输电线路,frequency-amplitude曲线的方程(28)是由枫如图4- - - - - -7。在被迫自激系统中,激励频率的变化总是导致复杂的共振。然后,让激励频率Ω=ω在数据4- - - - - -7。为响应振幅方程(28)的形式一个²或更高的力量一个,响应幅度(一个)frequency-amplitude曲线轴对称关于调优参数(σ)。为了显示响应幅度的变化直观地说,只有地区(> 0)进行分析,本文frequency-amplitude曲线也需要(a > 0)的地区。在图4和数字6- - - - - -12,研究了稳态解和不稳定的解决方案。如果偏导数( )的曲线是正的,这意味着曲线是稳定的;如果偏导数( )的曲线是负的,这意味着曲线是不稳定的。和稳定的稳态解,实线表示,虚线表示不稳定的稳态解20.]。

图4(一)显示了主共振的响应幅度特征与激励振幅在不同风速度 。随着风速的增加,frequency-amplitude主共振曲线转向右边,显示一个明显的硬化行为;有多值和跳的现象;响应振幅峰值的增加P₄在U= 4米/秒P_20.在U= 20米/秒;frequency-amplitude曲线的不稳定的间隔也逐渐增加,从间隔₁与U= 8米/秒的间隔₂,年代₃,年代₄与U= 12、16和20 m / s,分别。从图可以看出4(一),随着风速的增加,共振区域变得更广泛,和曲线的区域多值增加;在一个给定的调优参数区域,从一到三稳态解的数量增加。由于非线性响应的多值曲线的意义从物理的角度,因为它会导致跳现象。这些结果表明,冰的行为与增加风速显著非线性传输线。

除了风速,激励振幅响应幅度上也有很大的影响。图4 (b)显示了激励振幅的影响frequency-amplitude曲线的主共振风速U= 4 m / s。共振曲线趋于扩大,和响应振幅峰值的增加激励振幅增加。

为了分析紧张和松弛的影响下被迫自激系统的主共振相同的线路参数和空气动力载荷,人物5提供frequency-amplitude曲线在不同的紧张(= 0.934 N / m;U= 4米/秒)。根据关系( )之间的凹陷和紧张(25),frequency-amplitude曲线与紧张H= 15000 - 70000 N在图5分别获得的枫树。如图5(一个)随着压力的增加,从15000 N, 30000 N, frequency-amplitude曲线扩展,和响应的峰值振幅增加。然而,如图5 (b)随着压力的增加,从30000 N, 70000 N, frequency-amplitude曲线出现向内收缩,以及响应的峰值振幅降低。

当紧张H变化从15000 N, 70000 N,凹陷d减少,传输线系统的结构刚度增加。然而,被迫自激系统的响应幅度先增加,然后降低。因此,在工程应用中,飞驰的冰输电线路将减少幅度适当有效地通过改变张力。

为了算出杨氏模量的影响下被迫自激系统的主共振相同的线路参数和空气动力载荷,人物6分析响应振幅的非线性特征在不同杨氏模 和U= 4 m / s。

如图6(一)杨氏模量,增加从9560.7 N /毫米²2390169 N /毫米²,frequency-amplitude主共振曲线的峰值减少,和共振区域明显减少。当杨氏模量在这个范围E= 239016 5 - 478033 N /毫米²,frequency-amplitude主共振曲线转向右边,显示硬化行为的非线性特征,还有多值和跳跃现象。

如图6随着压力的增加,从20000 N, 50000 N, frequency-amplitude曲线的峰值减少。紧张和响应幅度的增加,多值和跳跃现象的可能性增加。为此,在工程应用中,飞驰的冰输电线路将减少幅度增加冰输电线路的杨氏模量。除此之外,蔓延的振幅的冰可以有效地减少输电线路通过增加紧张和杨氏模量在同一时间。

图7(一)比较了非线性振动特征下的主共振响应幅度不同的风速度,调优参数σ是0.5。当风速U是8 m / s,响应幅度多值的现象。随着风速的增加,p- - - - - -一个主共振曲线转向左边,frequency-amplitude曲线的不稳定的间隔也逐渐增加。从图可以看出7(一)该地区的多值曲线随风速的增加,稳态解的数量从一个增加到一分之三给定激励振幅区域。此外,随着风速的增加,更容易产生跳跃现象的响应幅度小激励振幅(p)。

图7 (b)比较的特点下的主共振响应幅度不同的风速度和不同的调优参数。类似于图7(一),随着风速的增加,该地区的多值曲线在图7 (b)增加;稳态解的数量从一个增加到一分之三给定激励振幅区域。然而,共振振幅越大,越快平凡解的不稳定性的间隔增加调优参数的影响下。

风速度,激励振幅、张力和杨氏模量有很大的影响迫使自激系统的主共振的冰输电线路,甚至确定冰输电线路舞动的条件。

4所示。受迫振动远离主共振

方程(20.)是受迫振动接近主共振,因此它通常被认为是激发强迫项的振幅( )很小。然而,受迫振动远离共振,认为强迫项的激励振幅( )很大。因此,解决方案形式的小参数( )非线性飞驰的方程可以假设如下(30.]:

用方程(29日)方程(16),它可以获得

讨论了多尺度的方法,问、偏微分算子符号和外部激励的频率

用方程(31日)方程(30.)和等同系数的权力εⁿ(n= 0,1)导致以下普通线性方程,分别为:

在方程(32个)和(32 b),D_k的偏导数是吗T_k和方程解(32个)是 在哪里一个(T₁),B(T₁)可以被定义为

用方程(33)方程(32 b),它可以获得

根据方程(35),有次谐波和超级谐波在这个系统。当激励频率接近整数倍和部分固有频率的倍数( ),超谐共振和次谐波共振系统的输电线路的出现。此外,1/2阶和1/3-order次谐波或二阶3-order超谐共振也属于二次共振(31日]。

4.1。1/2阶次谐波共振

当激励频率( )被定义为系统的固有频率的2倍( ),该系统将产生1/2阶次谐波共振。让 在方程(35);响应振幅和相位的平均方程可以得到:

介绍 获得稳态解的振幅和相位方程(36个)和(36 b),让 ,并获得frequency-amplitude方程通过消除γ:

为了分析风速的影响,激励振幅,和紧张的1/2阶次谐波共振迫使自激系统的冰输电线路,frequency-amplitude曲线的方程(37在数据)是由枫树8和9。

图8讨论了在不同激励振幅响应幅度的特点,风速U= 4 m / s和紧张H= 30000 N。在图8(一个),当激励振幅 N /毫米²,响应幅度(一个)的1/2阶次谐波共振将0.400米。激励振幅的增加,峰值响应振幅将会增加。在图8 (b),当激励振幅 N /毫米²,响应幅度(一个)1/2阶次谐波共振会减少激励振幅的增加,共振区域和曲线的不稳定的间隔也减少,甚至消失。此外,激励振幅的增加,相对应的调优参数共振峰和不稳定点移动到积极的方向。的峰值响应幅度变化的正方向不断激励振幅的增加,这表明1/2阶次谐波共振的强迫自激系统显示硬化行为的特点。然而,随着激励振幅的增加,系统的硬化现象首先增加,然后逐渐减少。

为了分析张力的影响,风速,和调优参数的1/2阶次谐波共振冰雪覆盖的输电线路,迫使自激系统的数据9(一个)- - - - - -9 (d)比较的特点,响应幅度的1/2阶次谐波共振下不同的紧张关系,不同的风速度,分别和不同的调优参数。和杨氏模量E= 47803。3 N /毫米²在图9,紧张H在数据= 30000 N9 (b)- - - - - -9 (d)、调优参数σ= 0的数字9(一个)和9 (b)和风速U= 4 m / s的数据9(一个)和9 (c)。

如图9(一个)随着压力的增加,从15000 N, 70000 N,响应的峰值振幅的1/2阶次谐波共振不断减少;激励幅值的范围( )对应于共振先增加,然后降低。

如图9 (b)随着风速的增加,4 m / s 20 m / s,响应幅值的1/2阶次谐波共振不断增加;然而,响应幅度增加越来越多的与风速的增加缓慢;和激励振幅( )范围对应的共振区域响应振幅(一个)也扩大。

如图9 (c)的峰值响应幅度先增加,然后随调优参数的增加而减小。当调优参数σ从0 = 0.07,激励振幅增加,共振振幅是0,也就是说没有非平凡解;激励振幅增大到一定值时,出现第一个分叉点,和分歧点,右边有一个非平凡的共振的解决方案,这是不稳定的;调优参数的增加,相对应的激励振幅曲线的分岔点的增加,也就是说,这意味着共振峰和相对应的调优参数不稳定点横向轴上移动;和响应的峰值振幅增加,然后降低。

图9 (d)比较的响应振幅1/2阶次谐波共振在不同风速度和不同的调优参数。同样的,当调优参数σ= 0.5和风速U= 8 m / s,同样的现象,如图9 (c)出现在这里。当激励振幅继续增加,共振的数量从2比1解决方案变化,和共振的解决方案在这一点上是稳定的。此外,随着风速的增加和调优参数、曲线的峰值响应的振幅增加更快,和谐振峰值相对应的调优参数不稳定的点继续横坐标轴。与风速的增加和调优参数的同时,该地区不稳定的响应幅度不断增加。和响应的峰值振幅变化的正方向不断增加激励振幅。

4.2。二阶超谐共振

当激励频率( )被定义为固有频率的1/2乘以( )的系统,该系统将产生二阶超谐共振。让 在方程(35);响应振幅和相位的平均方程可以得到:

介绍 获得稳态解的振幅和相位方程(30.),让 ,并获得frequency-amplitude方程通过消除γ:

4.3。3-Order超谐共振

当激励频率( )被定义为固有频率的1/3倍( )的系统,该系统将产生3-order超谐共振。让 在方程(35);响应振幅和相位的平均方程可以得到:

介绍 获得稳态解的振幅和相位方程(40)和(40 b),让 ,并获得frequency-amplitude方程通过消除γ:

为了分析张力的影响,激励振幅,调优参数,并在超谐共振风速冰输电线路,迫使自激系统的超谐共振的frequency-amplitude曲线是由枫如图10- - - - - -12。

图10讨论了响应幅度的不同激励下超谐共振振幅U= 4米/秒,E= 47803。3 N /毫米²,H= 30000 N。图10 ()用获得的激励幅值吗= 1.868 - -22.416 N /毫米²在方程(39)。当激励振幅= 1.868 N /毫米²,响应幅度(一个)的二阶超谐共振将0.430米。图10 (b)用获得的激励幅值吗= 7.472 - -29.888 N /毫米²在方程(41)。当激励振幅= 7.472 N /毫米²,响应幅度(一个)3-order超谐共振将0.360米。此外,二阶的现象和3-order超谐共振是一样的主共振。的峰值响应振幅随激励幅值的增加。同样,峰值响应幅度不断转移到积极的方向和激励振幅的增加,硬化行为的非线性特征。和超谐共振峰地区的曲线也继续扩大激励振幅增加。

图11通过替换不同的风速度,不同的调优参数,不同的紧张关系方程(39)。和杨氏模量E= 47803。3 N /毫米²在图11,风速度U= 4 m / s的数据(11日)和11 (b)、调优参数σ= 0在图(11日),紧张H在数据= 30000 N11 (b)和11 (c)。

如图(11日),随着激励振幅的增加,响应振幅逐渐增加,和响应振幅趋于一个恒定的值。随着张力的增加从15000 N, 70000 N,二阶超谐共振的响应幅度不断减少。同样,响应的峰值振幅增加而增加的调优参数图11 (b)。和响应振幅趋于一个常数与激励振幅的增加价值。

图11 (c)比较了非线性二阶超谐共振的响应幅度特征在不同风速度和不同的调优参数。同样,与风速的增加和调优参数同时,响应的峰值振幅不断增加。另外,随着风速的增加和调优参数,平凡解的不稳定区间也继续增加。

鉴于杨氏模量E= 47803。3 N /毫米²在图12,风速度U= 4 m / s的数据12(一个)- - - - - -12 (c)、调优参数σ= 0的数字12(一个)和12 (b),紧张H在数据= 30000 N12 (c)和12 (d)。和图12通过用不同的紧张关系,不同的调优参数,不同的风速度方程(42)。

如图12(一个),随着激励振幅的增加,响应的振幅3-order超谐共振逐渐增加。当紧张H= 15000 - 30000 N,张力越大,越快响应振幅随激励幅值的增加。如图12 (b)激励幅值的增加,响应振幅3-order超谐共振也继续增加。此外,与张力增加从30000 N, 70000 N,右移的现象出现在图12 (b)。

如图12 (c)的峰值响应振幅增加而增加的调优参数。和响应振幅不断激励振幅增加而增加。

另外,图12 (d)比较了非线性特征的响应幅度3-order超谐共振在不同风速度和不同的调优参数。同样,与风速的增加和调优参数同时,响应的峰值幅度继续增加。此外,与风速的增加和调优参数,平凡解的不稳定性的间隔也继续增加。

4.4。1/3-Order次谐波共振

当固有频率( )系统的定义是激发频率的3倍( ),该系统将产生1/3-order次谐波共振。让 在方程(35);响应振幅和相位的平均方程可以得到:

介绍 获得稳态解的振幅和相位方程(42个)和(42 b),让 ,并获得frequency-amplitude方程通过消除γ:

给定的条件U= 4米/秒,E= 47803。3 N /毫米²,H= 30000 N,图13讨论了响应的振幅1/3-order次谐波共振在不同激励振幅。图13用获得的激励幅值吗= 54.172 - -112.080 N /毫米²在方程(43)。

如图13的激励振幅1/3-order次谐波共振几次主要的共振。,很难激发1/3-order冰传输线系统的次谐波共振。因此,的影响1/3-order次谐波共振在冰输电线路很小。一般的研究和设计,没有必要考虑1/3-order次谐波共振。

5。结论

自激系统已经制定一个新的被迫描述非线性动态风的影响飞驰的冰输电线路的特点。非线性飞驰的方程的解析解是通过多尺度的方法解决。弱激励下的主共振和强烈的激发下的谐波共振进行了讨论,分别为:(1)改变控制参数(风速、紧张、激励振幅,杨氏模量,和调优参数)有重大影响共振峰,共振区,动态行为的主共振及谐波共振。通过改变这些控制参数,可以改变系统的共振区域,和系统的振幅的解决方案可以从一个单一值变成multivalue,共振现象可以抑制或兴奋。(2)主要的共振,1/2阶次谐波共振,二阶和3-order超谐共振会影响飞驰的冰输电线路的特点。谐波激励条件下,所需的临界风速冰输电线路舞动较低,和冰输电线路舞动所需的时间更短;和响应的峰值振幅的输电线路的增加,响应幅度也显示了一个跳跃现象。谐波激励降低输电线路的使用寿命,所以主共振和谐波的影响应考虑结构参数的设计。设计师可以提高输电线路导线的舞动的条件,减少飞驰的振幅通过改变结构参数输电线路或采取措施防止飞奔。(3)强迫自激系统的主共振弱激励:随着风速的增加,主共振的响应幅度将多值现象,跳现象,和硬化行为;此外,平凡解的不稳定性的间隔将会扩大。被迫自激系统的谐波共振强激励下:当调优参数(σ)大于0,响应主共振的振幅,二阶和3-order超谐共振,和1/2阶次谐波共振将多值和跳跃现象;当调优参数(σ)大于0和风速的增加,主共振的不稳定的间隔将会更快,和谐波共振也将扩大。(4)被迫自激系统的谐波共振强激励下:当激励频率接近固有频率的积分和分数倍,更容易产生1/2阶次谐波共振,二阶超谐共振,3-order超谐共振。结果的影响1/3-order次共振在传输线上很小,没有必要考虑1/3-order次谐波共振的研究和设计。(5)主共振的共振峰值随杨氏模量的增加而减小。此外,随着张力的增加,主共振的共振峰值增加,然后降低。在工程应用中,适当增加紧张和杨氏模量可以降低主共振的共振峰值和谐波共振。

数据可用性

作者声明数据用于支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金资助(51507106和51507106),前沿项目重庆科委(cstc2017jcyjAX0246),研究生研究和创新项目重庆(cys19240)、中国博士后科学基金会(2720 m672238),成都国际科技合作支持资金(2720 - gh02 - 00059 hz),和技术研究项目重庆市教育委员会(KJ201600712182)。