在 - - - - - -独立组件树的数量

文摘

让是一个图, 是一个整数。一个子集一个图的顶点被称为 - - - - - -组件独立组如果每个组成部分有订单最多 。的 - - - - - -组件独立号码,用 ,是最大的一个顶点子集,诱导子图与最大组件订单最多 。如果一棵树,我们证明的订单 ,然后 。绑定是锋利的。另外,我们给一个线性时间算法寻找一个最大值 - - - - - -组件独立集的树。

1。介绍

让 是一个图, 是一个整数, 。我们使用的子图来表示引起的 。我们称之为一个 - - - - - -组件独立组如果每个组成部分有订单最多 。一个 - - - - - -组件最大独立集不包含大 - - - - - -组件独立集和最大如果不能扩展到更大的集合 - - - - - -组件独立集。独立分量数目,用 ,的基数是最大吗 - - - - - -组件独立组 。

相反, 被称为分顶点覆盖的如果是一个 - - - - - -组件独立组 。一个 - - - - - -组件顶点覆盖最低如果不包含小 - - - - - -组件顶点覆盖和最小的如果一组不能被包含在一个更小的 - - - - - -组件顶点覆盖。的分顶点覆盖数,用 ,是最低的基数 - - - - - -组件顶点覆盖的 。

由上面的定义,对于任何图的订单 , 在哪里和是普通的独立数和顶点数的 。

的分彩色数字的图 ,用 ,所需的最小数量的颜色吗分颜色顶点的颜色,颜色类 - - - - - -组件独立集。的符号和来自[1]。的概念 - - - - - -组件着色是第一个研究了jonkleinberg et al。2]。它在过去的二十年里得到了广泛地研究。3- - - - - -9]。我们指的是一个优秀的调查这个话题10]。

一个概念,接近 - - - - - -组件图的顶点覆盖,被称为的fragmentability的图,首次引入了爱德华兹和迈克迪米德(11)当他们正在调查图表的和谐色素。这是进一步研究[12,13]。

命题1。一般来说,决定是np难的图吗 。

证明。请注意, 对于任何图 。如果是由多项式时间算法,然后呢是由最多 额外的检查是否是一个独立的组,对每一个吗 与 ,在哪里 ,矛盾决定的民间传说是np难的图吗 ,一般来说。

在这个报告中,我们给一个线性时间算法寻找一个最大值 - - - - - -独立组件树的数量。

2。一个下界对于一个树

让是一个图, 。的顺序用 。我们使用表示的一个顶点的邻居的 。的程度 ,用 ,是边缘事件的数量在 。此外,两个符号只是用和 ,分别。的一个子集顶点集的的 , 表示的子图引起的 。

让树有根 。的水平 的一个顶点在路径的长度吗 。每个顶点的路径被称为一个祖先的 ,和每个顶点的是一个祖先,是吗后代的 。一个顶点的祖先和后代适当的如果不是顶点本身。最直接的一个顶点的祖先 是它的前任或父,表示 。让表示的子树的顶点集由组的后裔 。

引理1。让和两个整数的 。

对于任何树的订单 ,存在一个顶点这样有组件,每个订单最多 ,但至少他们订单的总和 。

特别是,每个重要的树有一个顶点这样所有邻国但叶子。

证明。把一个顶点 的根 ,从而和的对于每一个独特的定义 。让 。让 与 ,为每一个 。
定义一个加权函数 ,为每一个 。如果有一个顶点 这样 ,然后按我们的要求是顶点,。
否则, ,对于每一个顶点 。由此可见,有组件,每个订单最多为每一个 。定义 为每一个 。
如果有一个顶点 与 ,然后是一个顶点 ,当我们想要的。否则, ,对于每一个顶点 。由此可见,有组件,每个订单最多 ,为每一个 。定义一个加权函数 ,为每一个 。
重复上面的过程;自 是有限的,存在一个整数吗 这样存在一个顶点 与 。可以看出是我们要求的顶点。

定理1。让 是一个整数。对于任何树的订单 , 。同样, 。绑定是锋利的。

证明。我们使用感应 。如果 ,然后 ,结果非常适用。现在,假设 。由引理1存在一个顶点的引理的断言1。让 所有组件的这样 和 ,为每一个 ,在哪里 。归纳假设, 。所以, 绑定是通过路径的订单当是整除 。

通过 在上面的定理,我们有以下。

推论1。(见[14])。对于一个树的订单 , ;同样,存在一个顶点 这样,每一个组成部分有订单最多 。

vertex-colored图中的路径被称为无冲突如果有颜色上使用一个顶点。据说vertex-colored图无冲突图的连通,如果任意两个顶点相连的无冲突的道路。无冲突vertex-connection数,用 ,被定义为所需的最小数量的颜色无冲突顶点连接。李等人。15猜想,连通图的订单 , 。使用推论1,作者的14)能够证实上述猜想。我们指的是(16- - - - - -18),最近的结果,在无冲突vertex-connection图表。接下来,我们给一个线性时间算法(算法1)寻找k分量最小顶点覆盖的树。

3所示。线性时间算法

定理2。每一个返回的算法是最小的 - - - - - -组件顶点覆盖的 。

证明。我们证明它的感应 。
如果 , 返回的算法是空集,因此是最低 - - - - - -组件顶点覆盖的自 。
接下来,假设 。让 ,在哪里是第一个顶点添加到吗的算法。选择的算法,是一个顶点的属性描述的引理的断言1。让 所有组件的这样 和 ,为每一个 ,在哪里 。
归纳假设, 是一个最低 - - - - - -组件顶点覆盖的 。因此,是一个 - - - - - -组件顶点覆盖的 。
假设不是一个最低 - - - - - -组件顶点覆盖的 ,,让是一个最低 - - - - - -组件顶点覆盖的 。很明显, 。请注意, 是一个 - - - - - -组件顶点覆盖的 。因此, 。
自 , 。由此可见, ,一个矛盾。

在算法的执行,每个顶点探讨了最多一次检查 与否。因此,算法的运行时间 。

4所示。进一步的研究

鸡头(19)确定最大数量的最大独立集的树是,

可以找到更多的相关工作(20.- - - - - -22]。自然,一个问以下问题:(1)什么是最大(或最大)的最大数量 - - - - - -组件独立设置在树上 吗?(2)什么是最大(或最大)的最大数量 - - - - - -组件(或连接)图的独立集 吗?(3)什么是最大(或最大)的最大数量 - - - - - -组件(或连接)图的独立集顶点,边吗?

数据可用性

没有数据被用来支持这个研究的发现。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

作者的贡献

所有作者的贡献同样显著,开展这项研究工作和写作本文。

确认

这项研究受到了新疆重点实验室项目(2018 d04017),国家自然科学基金委(没有。12061073),新疆教育部门XJEDU2019I001。

引用

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