新配方乘法第一萨格勒布指数的树木和单循环的图表

文摘

第一乘法萨格勒布指数图被定义为产品的正方形顶点的度 。一个图的线图用并被定义为图的顶点集的边缘的两个顶点相邻当且仅当它们相邻 。第一乘法萨格勒布指数图的线图被称为新配方乘法第一萨格勒布指数吗 。给出了描述独特的图像达到最小或最大价值的新配方乘法班上第一萨格勒布指数(i)树的一个固定的顺序(2)连接固定秩序的单循环的图表。

1。介绍

数值量不变下图同构的图称为图不变。对于一个图 ,表示由和 ,它的顶点集和边集,分别。为一个顶点 ,表示由和 ,的程度和所有的顶点的集合相邻的 ,分别。的成员被称为邻居的 。为 ,与其end-vertices边缘和用和的程度被定义为 。在下面,我们将符号”“从”“每当考虑没有混乱的图。此外,在本文中,我们只考虑连接图。本文中使用的符号和术语,但没有定义,可以发现在标准(化学)图形理论书籍,如(1- - - - - -3]。

表示由的平方和的顶点的度 ,也就是说,

图不变 ,被称为第一萨格勒布指数,是1970年代出现在第一季度内化学建模研究[4]。第一萨格勒布指数可以被认为是研究最多的一个图不变量,特别是化学图论(5- - - - - -11]。

一个图的线图用并被定义为图的顶点集的边缘的两个顶点相邻当且仅当它们相邻 。第一个萨格勒布指数图的线图被称为新配方第一萨格勒布指数(12的 ,为简单起见,是表示 。因此,

新配方的数学特性的细节首先萨格勒布指数可以在找到13- - - - - -16]。

萨格勒布乘法版本的第一个索引定义(17,18]

第一乘法萨格勒布指数从研究者,也获得了相当大的关注,因此,许多调查这张图不变量进行;例如,参见[19,20.)和相关的引用包含在其中。这里,首先应该指出,乘法萨格勒布指数实际上是著名的平方Narumi-Katayama指数(21),例如,(22),对细节Narumi-Katayama指数。

本文关注图不变平方的乘积的程度的边缘 。我们所说的不变量随着新配方乘法第一萨格勒布指数,表示为了简单起见。因此,

在这篇文章中,当我们考虑一类图形相同的订单,我们假设所有成对nonisomorphic考虑类的图。图包含一个周期称为一个单循环的图。由一个 - - - - - -顶点图,我们指的是一个图表的顺序 。为 ,表示由所有的类 - - - - - -顶点树,让是类的 - - - - - -顶点连接单循环的图表。本文独特的图形有最大值或最小值的新配方乘法第一萨格勒布指数的特点是每个类和对于每一个固定的整数大于3。

2。新配方乘法第一萨格勒布指数的树木

本节涉及独特的表征图达到最大值或最小值的新配方乘法第一萨格勒布指数超过所有树的类的一个固定的顺序 。

一个一个叫一个悬而未决的顶点度的顶点。一个非凡的路径 在一个图据说是一个悬而未决的路径如果 和 ,和其他的顶点(如果存在)度2。两个下垂的路径有相同的顶点度大于2被称为邻悬而未决的路径。由一个( )图,我们的意思是一个图表的顺序和大小 。

引理1。如果是一个连接( )量图包含至少一对相邻悬而未决的路径,然后存在至少一个连接( )- - -图这样

证明。让和是两个相邻悬而未决的路径有长度和 ,分别。不失一般性,我们假设 。让是图推导出通过删除边和插入的边缘(见图1)。在这个证明, ,我们的意思是顶点的度 在 。通过新配方乘法第一萨格勒布指数的定义,存在一个正整数这样 在哪里 的不平等 (给 ,也就是说, )与方程(6),它遵循

定理1。在所有树的一个固定的顺序 ,路径独特的图形的最小值 。换句话说,如果任何树的顺序吗 ,然后 当且仅当与平等路径图同构 。

证明。让是一个树的最小值在所有树的一个固定的顺序 。我们声称是同构的 。相反,我们假设不同构 。然后,至少包含两个相邻悬而未决的路径,因此通过引理1,至少存在一个树这样 这矛盾的定义 。因此, 。

引理2。让是一个连接( )量图。让 是一个边缘,这样它不会躺在任意三角形的和 ,和 。如果图由吗通过删除边缘 和插入边缘 ,然后

证明。在这个证明 ,我们的意思是顶点的度 在 。通过新配方乘法第一萨格勒布指数的定义,存在一个正整数这样 自 ,右边的方程(12)是负的。

定理2。在所有树的一个固定的顺序 ,明星图唯一获得最大的价值 。换句话说,如果任何树的顺序吗 ,然后 当且仅当与平等同构的明星图 。

证明。让是一个树的最大价值在所有树的一个固定的顺序 。让最大程度的 。我们声称是同构的 。相反,我们假设不同构 。然后, ,因此通过引理2至少存在一个 - - - - - -顶点树这样 这矛盾的定义 。因此, 。

3所示。新配方乘法第一萨格勒布单循环的指数图

本节涉及的最大和最小值新配方乘法首先单循环的萨格勒布索引的类图的一个固定的顺序。

定理3。在所有连接单循环的图表的一个固定的顺序 ,这个循环图达到独特的最小值 。换句话说,如果任何连接的单圈图的顺序吗 ,然后 当且仅当与平等是同构的 。

证明。让是一个图达到的最小值班上的所有连接固定秩序的单循环的图表 。如果至少包含两个相邻悬而未决的路径,然后通过引理1,存在至少一个单循环的连接图的订单这样 这是一个矛盾的定义 。因此,没有任何两个相邻的悬而未决的路径,这意味着最大程度的最多是3。
我们声称的最大程度是2, 。相反,假设是一个悬而未决的路径 ,在哪里有学位3和度1。让的邻居不同于 。让图形成的通过删除边和插入的边缘(见图2)。在以下 ,我们的意思是顶点的度 在 。通过新配方乘法第一萨格勒布指数的定义,存在一个正整数这样 在哪里 自 ,它认为, ;结合方程(17)意味着 这又是一个矛盾的定义 。因此, 。

定理4。在所有连接单循环的图表的一个固定的顺序 ,图得到的明星通过添加优势达到独特的最大价值 。换句话说,如果任何连接的单圈图的顺序吗 ,然后 当且仅当与平等是同构的 ,在哪里从明星获得图吗通过添加一条边。

证明。让是一个图实现最大的价值班上的所有连接固定秩序的单循环的图表 。从引理2,它遵循的所有顶点的度1结果(顺序的循环3),也就是说,同构的图吗图中所示3。通过程序计算,一个 在哪里 。不失一般性,我们假设 。因此, ,因此, 。方程(21)等价于 与条件 。对于一个固定的整数 ,因为这个函数定义为 与 和 严格递减和 ,我们得出这样的结论:最大值获得当且仅当吗 。因此,同构的图吗 。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从作者要求。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项研究已经由科学研究院长职大学哈有,沙特阿拉伯,通过项目号码rg - 20050。

引用

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