hassell型招募种群模型的混沌动力学与混沌控制

抽象的

对于某些参数，hassell型招募种群模型的映射具有混沌吸引子。改进的OGY方法对控制参数随时间略有扰动。当映射点漂移到周期点的邻域时，控制参数被摄动。将混沌运动控制在周期为1点和周期为2的稳定周期轨道上，分析了不同控制参数范围对控制平均时间的影响。当选择的调节器极点不同时，用于控制稳定周期轨道上混沌运动的迭代次数不同。通过数值仿真验证了理论分析的正确性和控制方法的有效性。

1.介绍

莱斯利模型(1非线性的生育率和死亡率可能有复杂的动态行为。Ugarcovici和Weiss [2研究了Ricker模型。该模型由二维映射描述 ： 在哪里x和y代表第一岁组和第二岁年龄组的密度。一个和γ一该集团的初始生育率（一个，γ.> 0),b第一个年龄组到第二个年龄组的存活率是多少λ.为衰减指数，λ. > 0. In equation (1)，生育率作为总体人口规模的函数单调下降，生育率衰减为指数衰减。另一种模式是哈塞尔模式。它是用二维映射来描述的 ： 在哪里一个和γ一是这个群体最初的生育率，b第一个年龄组到第二个年龄组的存活率是多少β为衰减指数，β> 1。在方程(2)，生育率单调下降，作为总人口规模的函数，生育率下降是多项式的。

对于某些参数值，这些模型允许一个支持唯一物理概率测度的遍历吸引子。这种物理测量在最强烈的意义上满足了种群生物学家对其种群模型遍历性的要求。勒贝格测量盆地是整个平面 ；Hassell设计(3.]， Wikan和jølhus [4，以及乌加尔科维奇和韦斯[2表明Ricker映射和Hassell映射产生Hénon-like混沌吸引子。

在这里，我们提出了一个程序，以对抗混沌动力学的hassell型招募人口模型。作为一个在0到60之间，b= 0.7, ，哈塞尔映射显示了丰富的混沌动态行为。在生物学或生态学中，这种复杂的混乱行为显示了种群数量、出生率和存活率之间的关系，无论它是在平衡状态下生存还是使种群在无序或混乱中发展。本研究可为生物学或生态学的研究提供理论依据和帮助。例如，它被用于海洋捕鱼或自然界某一物种的繁殖和种群增长。

对混沌控制的研究始于20世纪80年代末。早期的研究思路是利用现有的动态控制策略，破坏混沌运动发生的条件。Ott等[5]提出了一种控制混沌的方法。控制混沌的基本思想可以通过考虑以下一维logistic映射来理解，它是研究得最好的混沌系统之一: 在哪里x限制为单位区间[0 1]和r为控制参数。周期轨道附近的logistic映射可以用围绕周期轨道展开的线性方程来近似表示。表示目标周期-米轨道被控制为x（我），我= 1, 2，…米,在那里x（我+ 1) =f（x（我)),x（米+ 1) =x（1）。假设n，轨迹落入组件附近我的时期,米轨道。分量邻域的线性化动力学(我+ 1) 偏导数在哪里求值x=x（我）和 ．为了使呆在附近x（我+ 1),让 ，这给了

等式（5)只有当轨迹x_n进入了一个小社区的时期-米轨道,也就是,当 ，因此，需要参数摄动是小。让小区间隔的长度定义周期的每个组件周围 -米轨道是 ．一般要求最大参数摄动成正比 ．自从可以选择任意小，也可以任意小。在轨迹进入目标周期性轨道附近之前的平均瞬态时间取决于(或 ）.当轨迹在目标周期轨道的邻域外时，不施加任何参数摄动，系统演化为标称参数值 ．因此,我们将当 ．参数摄动依赖于取决于和时间有关。

Pyragas [6， Shinbrot等[7], Pyragas [8]，以及科卡列夫和帕里茨[9[根据各种情况，提出了不同的改进措施，进一步开发了ogy方法，这为混乱的应用奠定了良好的基础。浮萍等。[10]采用系统控制中的极点分配技术进一步提高了ogy方法。在混沌吸引子中的高周期状态和高维动态系统的混沌由改进的ogy方法控制。

通过OGY方法，Guo等人[11，12]研究了二维Lauwerier映射的混沌控制 和一个分段线性的lozi mapping

方程的混沌运动(6)和(7)都是在周期-1和周期-2轨道上控制的。Guo等[13通过ogy方法研究了对二维自由度碰撞振动系统的混沌控制。研究了四维不连续系统。在周期-1和周期性-2轨道上控制混沌运动。

哈塞尔映射产生的混沌吸引子为一个= 31日b= 0.7, ．在周期性轨道上控制不稳定的时期-1点和不稳定的时期-2点。

2.哈塞尔招聘人口模型

Hassell招聘人口模型有两代[3.］．它是用二维映射来描述的 ： 在哪里x和y代表第一年龄组和第二年龄组的人口密度。一个和γ一是该群体在零时刻的生育率，b第一个年龄组到第二个年龄组的存活率是多少β为衰减指数，β> 1。当β=1，the case corresponds to the model of Beverton and Holt [14］．吸引子是不动点。

对于参数固定存活率b= 0.7时，初始生育率一个在0到35之间的变化，等式（8)生成复杂的特征，如图所示1(一)- - - - - -1 (e)．0 <一个< 0.455，(0,0)是全局吸引子。存在一个正不动点，该不动点在0.455 <一个< 7。为一个在7 ~ 10之间，第1龄和第2龄之间存在不稳定共存，混沌带的周期窗又窄又宽。随后，一个周期减半的级联如图所示1 (b)．为一个在10和15之间，系统经过一个准周期区域(Hopf分岔发生在一个=12．5，我ncluding frequency lockings which appear as a collapse of the invariant circle to a periodic orbit), beyond which equation (8)在较大的参数范围内稳定共存一个如图所示1 (c)）.系统再次进入准周期一个= 15。为一个在15和17之间，它又以不稳定的方式共存，混沌带有窄和宽的周期窗口。为一个在17和25之间，Hopf分岔再次发生(如图所示)1 (d)）.为一个在25和29之间，分岔图是一个具有周期吸引子的周期窗口，但它包含不明确的动态行为。多个吸引子同时存在于该区域(如图所示)1 (e)）.为一个大于31，出现混沌吸引子。Hénon混沌吸引子[15]与吸引不变的曲线共存（如图所示）2）.为一个在0到60之间，全局分岔如图所示1(一)．

最大的Lyapunov指数测量了相位空间中附近轨道的平均递送或收敛性的平均指数率或收敛性。每当附近的两个轨道移到太远时，其中一个轨道必须沿着分离线移动回到另一个轨道附近。对于混乱的吸引子，最大的Lyapunov指数必须是积极的。如果最大的Lyapunov指数是否定的，这意味着稳定的状态或周期性的吸引子。已经计算了Hassell映射的最大Lyapunov指数，并绘制了图中3.．当0 <. 一个< 15，最大Lyapunov指数为负。当15 <一个 < 30, the largest Lyapunov exponent can be negative or positive, and the system has Hopf bifurcation and enters quasi-periodicity and at last generates the chaotic state. When一个> 30，最大李雅普诺夫指数为正。动力学行为是混乱的。混沌吸引子LE max = 2.1392 2e^0．3．

3.控制混沌的极值分配技术

系统首先被写成离散时间的形式[10]：

F足够光滑一个为外部可调实参数。也就是说，它需要在某个时候，而且是一个额定值。假设有一个相混乱的等式引物（9) ．现在，目标是改变参数，使混沌吸引子包含几乎所有的初始条件，从而使系统的动态行为收敛到吸引子中期望的周期轨道。通过OGY方法，由于混沌动力学的遍历性，当状态轨迹进入待稳定的不稳定周期轨道附近时，采用反馈控制律控制轨迹移动到期望的不稳定周期轨道。

如果为不稳定不动点，由一阶泰勒展开，式(9)可以写成

找出矩阵的值一个和B在和 ，在哪里一个是的偏导矩阵吗F（z，一个)z， ，和B是的偏导矩阵吗F（z，一个)一个， ．时变控制参数一个是关于变量的线性函数形式吗

更换等式（11）进入（10）：

所以，只要矩阵是渐近稳定的，即，如果其特征值的模量小于1，则固定点是稳定的。以下关键问题是如何确定矩阵 ，它可以使混沌运动稳定在一个稳定的周期点上。极点配置根据[16］．矩阵是一个可控矩阵，秩是n：

给出了极点配置的解 ，在哪里 ，W是一个订单矩阵n： 在哪里 矩阵的特征多项式的系数是多少 ，也就是说, 和特征多项式的系数是多少 ，也就是说,

工作后获得的是与方程(12）.

4.哈塞尔映射的混沌控制

如图所示2(一个)和2 (b),因为 ，当一个= 31，则动态有周期1点和周期2点。映射的动态行为是混沌的 ．同时，有一个混乱的吸引子，这是鞍座点的不稳定歧管的关闭。并且在混沌吸引子中存在无限数量的不稳定周期性轨道。在混沌吸引子中嵌入不稳定的固定点，两个不稳定的时期-2点。

4．1.哈塞尔映射周期-1点的控制

让控制参数一个是接近额定值的变量在 ，通过 和 ，不动点是 ．将固定点带入矩阵和 ：

可控矩阵是具有等级2的矩阵

给出了极点配置问题的求解方法 ，在哪里 ， ，在哪里 矩阵的特征多项式的系数是多少 ．

所以, ．

特征根源也可以在固定点获得 是 ． 矩阵的特征多项式的系数是多少 ．假设的特征根被称为调整值，即，

根与系数之间的关系是

当 ， ；当 ， ；当 ， 根据数值的范围和由方程(22），如图中的阴影区域4．

理事长绪方从[16]和方程(9),矩阵并不是唯一的。只要矩阵的值和在三角形区域MNQ如图4，它可以生成矩阵是渐近稳定的，即，其特征值的模量小于1，所以我们可以采取 ．作为 ，我们可以获得

当找到了，获得的是与方程(12）.有一个宽度的区域 ，当是在这个区域，参数被控制;否则，不控制该参数。控制速率由下式给出: 在哪里为阶跃函数:

如图所示5，则得到图中三角形区域的不同值4．当我们选择 ，混沌运动可以控制在周期1轨道上n= 5760(如图所示5(一个)和5 (b)）.当我们选择 ，混沌运动可以控制在周期1轨道上n=3300 (as shown in Figures5 (c)和5 (d)）.当和与前面的值不同，方程(8迭代与控制混沌是不同的。

4．2.哈塞尔映射第2期的控制

通过迭代等式（8)，我们可以得到 在哪里

当 ，的点 和 周期二为(0.15,0.26)和(0.34,0.056)，可得: ．

根据 在哪里

带 和 在方程(29) - (33）：

可控矩阵如下获得： 和 矩阵的特征多项式的系数是多少 ， ．与此同时，特征根是 ．

给出了极点配置问题的求解方法 在哪里矩阵的特征多项式的系数是多少 ．根据价值观的讨论 ，我们拍摄 ，在哪里 ，所以 矩阵的特征多项式的系数是多少 ， ，特征根是 ．我们把 ，我们获得 ．控制速率可由下式给出:

如图所示6，我们在三角形区域中获得不同的值MNQ的图4．当我们选择混沌运动可以控制在周期1轨道上n=6554如图所示s6(一)和6 (b)）.当我们选择混沌运动可以控制在周期1轨道上n= 2700(如图所示6 (c)和6 (d)）.

5.结论

分析了哈塞尔招聘人口模型的动态复杂性。这些结果表明，繁殖率和由此产生的人口增长也可以作为一个强大的不稳定因素，导致丰富的动态行为。通过对OGY方法的改进，控制了哈塞尔映射的混沌控制，利用线性控制理论中的极点配置法选择控制参数的摄动量，将不稳定周期-1和不稳定周期-2控制为稳定周期轨道。同时，为了控制混沌，需要选择不同的调整值，不同的映射迭代次数。通过数值仿真，验证了该方法的有效性。本研究可为生物学或生态学的研究提供理论依据和帮助。根据研究结果，出生率一个,存活率b，或衰减系数β可以适当调整，以达到生态平衡。

数据可用性

没有数据支持本研究。

利益冲突

作者声明不存在利益冲突。

致谢

本研究得到了山东女子学院高水平科研项目培育基金的资助;基金资助:国家自然科学基金资助项目(no. 5130442);11471259)，并感谢他的学生宋兴浩帮助他做了一些数值模拟和手稿修改。

参考

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