一种新方法找到超图的维纳指数

文摘

维纳指数被定义为所有成对的顶点之间的距离的总和在图或超图。models-graph-theoretical和hypergraph-theoretical-are用于数学化学定量研究古典和模有机化合物的物理和化学性质。在本文中,我们考虑hypertrees和树木之间的关系和超循环周期对维纳指数。

1。介绍

让是一个简单的连通图的顶点集和边集 。为 ,让 顶点之间的距离和在 ,,让 之间的距离之和和其他所有的顶点 。维纳指数是定义如下1]:

让是一个连接超图的顶点集和边集 ,在哪里非空的,每条边吗 是一个非空的子集的 。如果每个包含边缘顶点, ,然后一个超图被称为 - - - - - -制服。很明显,一个2-uniform超图对应于一个普通的图。的程度的一个顶点 的边的数量吗它包含顶点 。的顺序是它的顶点集的基数 。

为 ,一个路径来在定义的序列不同的顶点和边吗 这样 对于任何 ,在哪里 和 。对于任何 ,如果有退出的路径来 ,然后是连接。一个 - - - - - -统一超图与 和 ,在哪里 ,被称为统一的松散的路径和用 。一个超循环的长度在是一个序列 , ,不同的顶点(唯一的例外 )和不同的边缘,这样 , 。hypertree是超图没有互相连接。一个 - - - - - -制服hypertree与边正好有 顶点。对于一个 - - - - - -制服hypertree的订单 ,如果有一个不相交的分区 顶点集的这样 ,和 ,然后被称为- - - - - -制服hyperstar集中在和用 。特别是,是一个超图的一个顶点,是一个超图用一个优势。

让是一个 - - - - - -统一超图的顶点集 。为 ,之间的距离和在用 。维纳指数被定义为距离的总和在所有无序对不同的顶点 在 :

特别是从顶点距离的总和其他顶点用 。显然,我们有 。

超图理论发现应用化学(2- - - - - -7),显示精度高的分子结构,也就是说,模型的精度高和更大的多样性的行为的不变量。作为一个重要的分子结构描述符,维纳指数图也有许多应用程序(8- - - - - -13]。

在本文中,我们展示了维纳指数之间的关系hypertrees和树木和超循环周期对一些转换。让是一个 - - - - - -制服hypertree最多两个顶点的度不小于2的每条边 。以下公式证明了 - - - - - -制服hypertree和一个树的订单获得转换: 和一个 - - - - - -统一超循环和一个循环获得转换:

2。Hypertrees和树木

证明(3),我们需要额外的定义和符号。

让是一个 - - - - - -制服hypertree最多两个顶点的度不小于2的每条边 。任意两条边的最多有一个共同的顶点叫做联合顶点;否则,它叫做nonjoint顶点。

我们得到一个树从hypertree如下:(1) ,我们选择一个nonjoint顶点在每个悬而未决的边缘,选择所有联合顶点形成顶点集 ;(2)如果两个顶点在同一个hypertree边缘 ,然后我们连接的边缘 。一个4-uniform hypertree及其相应的树如图1。

下面的符号用于其余的纸。在 - - - - - -统一hypertree,联合顶点用 。nonjoint顶点的悬而未决的边缘在hypertree用 。nonpendent nonjoint顶点的边用 。图2说明了上面的符号。如果e是一个悬而未决的边缘,我们使用表示删除所有顶点的边缘除了联合顶点从 。

因为有nonjoint每个悬而未决的边缘和顶点nonjoint顶点nonpendent边缘,诱导树中顶点的数量是 。以下方程hypertree持有和诱导树 :

引理1。让是一个与联合hypertree顶点和nonjoint顶点在每个nonpendent边缘 , 。然后,下列方程是:

证明。通过感应边的数量,让 ;然后,要么是一个 - - - - - -制服hyperstar集中在顶点或是一个 - - - - - -统一的松散的路径长度为3的。
如果是一个 - - - - - -制服hyperstar集中在顶点 ,然后没有nonjoint顶点 ,因此我们有 如果是一个 - - - - - -统一的松散的路径长度为3的有两个共同的顶点和 。选择一个nonjoint顶点 ,由(5),我们有 让 ,然后我们选择任何悬而未决的边缘 连接到共同的顶点 ,并考虑 。我们也选择一个nonjoint顶点( )从nonpendent左边的边缘 。可以看出,有一个共同的顶点为每一个在相同的优势。然后,它有类似的右边(见图3)。
由于顶点和属于同一边缘和 ,它们有相同的质量增加维纳指数,这样 和 。通过归纳假设,我们 因此,我们获得

定理1。让是一个 - - - - - -顶点树从hypertree获得 。然后,

证明。超图的维纳指数的定义,我们有 然后, 由引理1,我们得到

推论1。让是一个 - - - - - -统一hyperstar秩序 。然后,

证明。通过 从定理1,我们有

推论2。让是一个 - - - - - -统一的松散的路径 。然后,

证明。它遵循从定理1并通过 。

3所示。超循环和循环

让我们考虑超循环与联合顶点 , 。如果和 , ,在相同的边缘吗 ,然后我们用优势和得到一个连接 - - - - - -顶点周期从超循环 。我们表示每条边nonjoint顶点 , 。下面的语句给我们维纳指数之间的关系和 。

定理2。

证明。如果是奇数,得到以下方程的定义维纳指数: 如果甚至,然后由(5)和(6我们有以下方程: 表1介绍了维纳指数 - - - - - -统一超循环和相应的周期 , 。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者李Yalan和Bo邓小平宣布没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是支持的NSFQH(号。2018 zj - 925 q, 2019 zj - 7012, 2017 - zj - 949 q,和2017 - zj - 790)和国家自然科学基金委(11701311和11701311号)。

引用

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