确定式和存储式SIS分布式模型分析双重分布式假设和特定功能响应

抽象性

本文的目的是调查确定型和随机SIS流行模型的稳定性,并配有双重流行假设和具体的非线性发生率证明局部非药性稳定 等差确定型此外,通过搭建合适的Lyapunov函数,我们为无病均衡的全球稳定获取充分条件对随机模型而言,我们建立全球生存和实战求解之后,随机稳定无病均衡 几乎确定指数化 秒指数调查最后,提供数值示例

开工导 言

流行病学研究传染性疾病传播问题,目的是追踪造成或促成这些疾病的发生的各种因素。数学建模已成为分析传染病流行病学特征的重要工具,可提供有用的控制措施(例如见[见一号-5))

经典流行病模型中易感染者只能感染一种疾病在现实世界中,易感染者可同时受两种或多种疾病的感染,如HBV并发HCV和HDV并发HBV、HCV和TB最近,作者6-九九sIS模型调查(该疾病的感染不授予永久免重感染权,使那些幸存受感染者返回完全易感染者类10并有双重流行假设 由两种不同病毒引起的两种流行病论文中,我们考虑确定型SIS模型,并用下列差分系统描述双重流行病假设: 去哪儿 表示时易感数 , 并 受病毒感染者总数 并 时段 ,相继 表示人口招聘率 自然死亡率人口 治疗率由病毒引起的疾病 , 与疾病有关的死亡率 受感染系数 .发病率建模函数响应 ,去哪儿 饱和因子测量心理或抑制效果Hattaf etal介绍这一功能响应[11并在这里,它变成双线性复发率 ,饱和率 或 ,贝丁顿-德安吉利斯函数响应12,13if ,和Crowley-Matin函数响应14if , .

现实中,流行病系统不可避免地受环境白噪声影响因此,有必要研究噪声如何影响流行病模型因此,许多作者研究随机流行病模型,例如见[15-17..为此,我们考虑比率案例 高山市 )受随机波动影响,即 替换为 ,去哪儿 高山市 )独立标准Brownian运动 表示强度 For .相应的随机系统一号可用下文Itô方程描述 带 , .

本文其余部分组织方式如下内段2显示局部平衡分析 和无病均衡全球稳定分析一号)内段3证明随机模型2)有一个独特的全局积极解决方案, 我们为几乎确定指数稳定性和指数稳定性提供充足条件 瞬间指数稳定无病均衡数值实例将在C节中介绍4.最后,我们以简短结论结束论文

二叉确定型SIS流行模型

基于生物原因,我们假设系统初始条件一号)满足

系统类一号阳性18号...... ,并 面向所有 .事实上,通过2.1建议 in19号], we have

通过汇总系统方程一号),我们发现总人口规模 满足不平等 保证 if .标准比较定理20码可用推理

系统方程模型的可行解决方案集一号进区保留

建模一号正确搭建流行病学数学21号..即足以研究模型动态一号中) .

很容易看到系统一号)无病均衡状态 .基本复制号 去哪儿

我们提到表达式 并 也可以应用vandenDriesche和Watmough提供的下一代矩阵法获取22号..

现在,我们调查本地稳定 无病均衡 .Jacobian矩阵系统一号平衡点 显示如下:

三大值 系 , ,并 .正因如此均衡 局部性稳定 不稳定时 .

下定理讨论无病均衡的全球稳定 .

定理一if ,后免疾病均衡 数组一号)全局性稳定 .

证明等一等 Lyapunov函数定义 差分化 与 沿阳性解决系统一号),我们得到 有 自 函数并发 正在增加,然后 .正因如此 正因如此 保证 .假设 解决之道一号完全嵌入集 .接下去 .我们讨论四例案例

案例1if 并 ,并发 从二方程和三方程一号),我们有 ,表示依据15)中 .反之则解决一号内含平面 满足 ,意指 原封 .

案例2if 并 ,并发 并 接下去 隐含式 并随之 .假设 ;之后 .正因如此 ;之后 即自相矛盾接下去 .

案例3案例 并 类比前一例

案例4if 并 ,并发 中位数 , .正因如此 ,并用相同的分析案例2获取 .

依据Lasalle不变原理23号.........一号)初始条件 ,方法论 原封 .正因如此 位居全局稳定

if ,接二系统一号)无病均衡 , ,去哪儿 带 并

定理2if 并 ,后平衡 局部渐变稳定

证明Jacobian矩阵系统一号平衡点 由判定 去哪儿 很明显 igenvalu .自 因 和函数 正在增量 .正因如此 if .另二元值 由下方程判定 去哪儿 自 ,并发 并 .依鲁特-Hurwitz标准算出egenvalues 联想 负实部分均衡性 system系统一号)非瞬态稳定 并 .
况且,如果 ,接二系统一号)无病均衡 , ,去哪儿 带 并

定理3if 并 ,后平衡 局部渐变稳定

证明类比前一证明
接下去,我们调查系统局部稳定性一号并发均衡 .获取条件存在均衡 ,系统化一号重排列获取 并 提供 有 if For ,并 .此外 由下立方程提供 : 去哪儿 由德卡特斯法则帮助24码平方程26)有独有正实根 if下列任一控件i) 并 二) 并 三) 并 系统类一号)独有正均衡 if For ,条件之一 , ,并 守实并 .
Jacobian矩阵系统一号平衡点 由判定 去哪儿

定理4.局部均衡 本地静态稳定

证明Jacobian矩阵特征方程 可写为 去哪儿 注意 很容易显示 , , ,并 .按鲁特-Hurwitz标准,所有根 数组30码负实部分均衡性 system系统一号平时稳定

3级随机SIS流行模型

等一等 完全概率空间过滤 满足常用条件(即增长并右持续 内含全部 -无效集)我们考虑以下随机差分系统 去哪儿 , 表示初始值并 并 本地Lipschitz函数 . 算法 -维纳维纳维格进程定义

假设 面向所有 免得零 均衡点系统三十三)

定义一(见[25码))小点解题 system系统三十三传说几乎肯定指数稳定 ,有

表示出 家庭所有非负函数 定义日期 以持续双差 并有一次 .表示出 数学期望随机变量 .if 函数操作 ,并发 去哪儿 , ,并 .

通过Itô公式,我们有

莱马一号(见[26))假设存在函数 满足不平等 去哪儿 并 正常量并均衡系统三十三)是 瞬间指数稳定何时 ,常量稳定平均平方和均衡 位居全局稳定

3.1.存在和唯一全球正解法

下定理显示解析系统2)全局性积极

定理5面向初始值 ,有一种独特的解决办法 to(b)2开 ,并保持此解决方案 概率一

证明等一等 .系统总人数(系统总数)(系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/系统总数/2验证方程 if 面向所有 as.)后获取 归并后,我们有 接下去 as.),so 自系统系数2本地Lipschitz连续工作25码....... ,本地特有正解法 上 ,去哪儿 爆炸时间显示这个解决方案是全球性的, 我们只需要证明 as.)
等一等 中位数 .面向 ,定义停止时间 接下去 考虑函数 定义对象 通过 计算差分 沿求解轨迹系统2并使用Itô公式 并 ,获取 去哪儿 显示41号),我们有 面向所有 as.)正因如此 正因如此 去哪儿 整合两端48号从0到 接受双方期望后,我们获取 自 ,并发 去哪儿 指针函数 .注意有某些组件 等同 .正因如此 正因如此 通过合并50码)和(b)53号we get that, for all , 扩展 向0,我们获取所有 , .正因如此 .原位 ,并发 as)完成证明

3.2几乎确定指针稳定

本节的目标是为无病均衡几乎确定指数稳定设置充分条件 内 .为此,我们考虑

提案一 几乎肯定成倍归0

证明通过Itô公式,我们有 整合从0到 增量 去哪儿 , ,连续本地martingales .况且,我们已经 去哪儿 正常量大数强法则27号隐含 顺理成章 控件证明

取下下定理

定理6.if ,后免疾病均衡 随机系统2几乎肯定指数稳定 .

证明足以证明 指数化归0接下去,通过提案一号,它足以证明 通过Itô公式,我们有 自 有 集成 并 .接下去 自 , ,正因如此 正因如此 完全证明

3cm3运动感知稳定

本节调查 瞬间指数稳定无病均衡 内 随机系统2)

使用Lemma一号证明下定理

定理7等一等 .if 后免疾病均衡 随机系统2)是 瞬间指数稳定 .

证明等一等 并 .我们定义Lyapunov函数 详解如下: 去哪儿 正常量后确定通过Itô公式,我们有 杨氏不平等 ,有 接下去 去哪儿 现在,我们选择 足够小 .视图条件69),我们有 For ;因此,我们可以选择 等正 For .显示Lemma一号,证明完成

注释1从Lemma一号定理7和案例 ,we get that if 后免疾病均衡 随机系统2)全局性稳定 .

4级数值实例

本节举数例说明理论定理一号和定理6.

实例1确定型SIS系统带参数 , , , , , , , , , , , , ,并 .通过计算,我们已经 .因此,据定理一号免疾病均衡无损全球稳定,这意味着该疾病消亡

实例2例子中,我们认为SIS系统参数与例子中相同一号并 , ,之后,我们有 .从定理6,我们可以得出结论,免疾病均衡几乎肯定指数稳定
现在,我们选择 并 .之后,我们有 .条件定理6不满足因此,如果噪声强度 大度后,随机模型中的疾病会灭绝

5级结论

本文建议并分析一种新的随机干扰白噪模式,配有双重流行假设和特定功能响应第一,在无噪声下, 我们推导出足够的条件 实现局部均衡性非约束性稳定并证明全球稳定实现无病均衡接下去,我们已经建立全球存在 和现实化解决方案此外,我们为几乎可以肯定指数稳定性提供了充分条件 瞬间指数稳定模型无病均衡2)显示噪声强度 将对随机稳定性产生有效影响 .

数据可用性

未使用数据支持此项研究

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突