小时_∞网络控制系统的滤波器设计：一种马尔可夫跳跃系统方法

摘要

本文提出了一种方法来设计小时_∞过滤器的网络控制系统（网络控制系统）与时间延迟和数据包丢失。基于马尔可夫跳变系统的特性，分组丢失被视为恒定的概率独立同分布的伯努利随机过程。因此，随机稳定性条件可以获取用于过滤误差系统，其满足一个小时_∞绩效指标水平γ. 结果表明，通过引入松弛矩阵的特殊结构，滤波器满足小时_∞利用线性矩阵不等式（LMIs）可以得到具有时延和丢包的NCSs的性能指标水平。最后，数值模拟实例验证了该方法的有效性。

一。介绍

作为新一代的控制系统，NCSs[1个–10]由于其广泛的应用，引起了越来越多的研究者的关注。与传统的控制系统相比，网络控制系统具有布线、安装、维护、扩展、可靠性和灵活性等优点，实现了资源共享。然而，网络也带来了一些新的问题，其中时延和丢包是两个主要方面，这不仅会对系统造成负面影响，甚至可能导致系统的不稳定。近年来，具有时延和丢包现象的网络控制系统成为控制领域的一个热点问题[11–13].

马尔可夫跳变系统（MJS）是指在实际工程中，由于马尔可夫跳变系统的多模过渡特性，使得系统具有多个模型状态，且系统在模式间的过渡符合马尔可夫链的性质。它可以用来模拟许多具有突变特性的系统，如制造系统和容错系统[14–24]. 在[25]，指数一_2个–一_∞研究了线性系统的滤波问题，该系统同时具有分布时滞、马尔可夫跳变参数和范数有界参数不确定性。在[26]，和小时_∞研究了分布式采样数据异步情况下连续MJS的滤波设计，并给出了系统的跳模时刻和滤波器的异步性。在[27]，采样系统的设计小时_∞对滤波器进行了研究。然而，许多结论只考虑了时延或丢包，这与网络应用的实际情况不太相符。另外小时_∞随着时间的延迟和丢包的网络控制系统的滤波器设计还没有被广泛认为。

在此基础上，研究了同时考虑时延和丢包的网络控制系统的稳定性。虽然分析过程比单独考虑时延或丢包更为复杂，但结论更具普遍性和通用性，并给出了系统滤波器存在的条件。通过仿真验证了该方法的有效性，相关结论更具实用性。分段2个利用马尔可夫模型给出了具有时滞的网络控制系统。设计了Bernoulli随机过程中丢包的两种概率。分段三，根据Lyapunov的稳定性定理小时_∞系统性能得到验证。分段4个，一个小时_∞设计了具有时延和丢包的网络控制系统滤波器。分段5个最后给出了数值模拟实例，验证了本文的结果。分段6个我们做一个总结。

记法：这是纸上的一些符号。上标“T型”指的是矩阵转置，并显示n个_十-维欧氏空间。我表示自适应维数的单位矩阵，0表示自适应维数的零矩阵。表示是实对称正矩阵，表示矩阵的范数是根据 ,其中，“TR”表示跟踪操作。表示常用的欧氏向量范数。探针代表事件发生的概率“·”。E类{十}以及代表对事件的期望十以及十条件是的，分别是。

2.问题制剂

首先，考虑下列离散时间线性系统[28]延时为 哪里指的是在植物中的状态向量;属于一_2个[0，∞），这表明所测量的输出;显示估计的预期信号；以及一个(右(千))指示系统参数取决于右(千).乙(右(千）），C类(右(千）），丁(右(千))，和一(右(千))有类似的情况。右(千）被假定为离散马尔科夫链，并且它的值是在一个有限集 具有转移概率矩阵 ;设置和 ,使系统模式变量右(千)满足 ,哪里和 ;小时已N个马尔可夫模式，以及 ,一个(右(千））由表示一个_我用合适的尺寸。乙_我,C类_我,丁_我，和一_我也有同样的情况。显示伯努利分布序列，其关系如下：

经过计算，另一个重要的期望如下：

备注1。对于网络丢包，考虑了伯努利分布和泊松分布。根据工业以太网、profibus等实际系统所采用的网络协议，本文采用Bernoulli分布对网络丢包进行建模更为实用。
过滤的数学模型描述如下： 哪里和是滤波器模式估计器的状态向量指示估计器的输出向量。一个_第一次,乙_第一次,C类_第一次，和丁_第一次要与兼容尺寸来确定实矩阵。合并（4个)以及(1个)，具有马尔可夫链的滤波误差系统可以表示为 哪里 显然，一个滤波误差系统(5个）是马尔可夫跳变系统数据包丢失。我们将在下面的必要步骤后使用一些重要的定义。

定义1。（见[29]）。一种过滤器系统错误（5个)当ω(千) = 0。在那里和 ,和下面的不等式存在：

定义2。（见[29]). 给出标量γ > 0，假设系统(5个)是随机稳定的，并且(5个)也可以遇到一个小时_∞零个条件对于所有非零下的性能指标水平γ 如果满足

三。主要成果及证明

基于先前已知的条件，随机稳定条件满足小时_∞绩效指标水平γ随着网络控制系统时延和丢包的发展。

定理1。如果存在对称矩阵第页_我和右_我 > 0，考虑带过滤器的NCS(5个）;什么时候ω(千) = 0，系统(5个）将随机稳定的，使得 哪里 .

证明。考虑Lyapunov函数的候选人如下： 下一个 哪里和 应用舒尔补定理以上 , 从定理三，我们可以 哪里λ_分（-∧）表示本征值的最小值ε = 信息{λ_分（-Λ）}是下界的λ_分（-Λ）;对于任何米 ≥ 1, we can obtain 因此，我们可以 因此，可以证明系统(5个)将是随机稳定的。证明已经完成。

定理2。对于NCS(5个），给一个标量γ > 0. For allω(千)  ≠ 0, if there are symmetric matrices第页_我,右_我 > 0满足下列矩阵不等式，且系统(5个)将随机稳定，满足小时_∞标准的性能水平γ:

证明。什么时候？ω(千) ≠ 0类似于定理三在证明过程中，我们得到以下方程： 哪里 , 在哪儿 通过Schur补语(19)相当于以下公式： 哪里 ,它可以得到 初始条件五（0） = 0和E类{五系统(5个)遇见小时_∞标准的性能水平γ，它可以清楚地看到， 证据是结束了。

四。滤波器设计

在这里，我们会去解决系统的过滤器。

定理3。考虑NCS(5个)用标量γ > 0. If symmetric matrix第页_1个我 > 0,第页_三我 > 0,问_1个我 > 0,问_三我 > 0,十_我 > 0，和是的_我 > 0和第页_2个我,问_2个我,Z轴_我,一个_Fi公司,乙_Fi公司,C类_Fi公司，和丁_Fi公司满足下列矩阵不等式，则 在哪儿

系统(5个)遇见小时_∞标准的性能水平γ，这是随机稳定的。然后，所需的γ通过计算 .

证明。松弛矩阵法可用于(17)通过设置 然后，我们有以下等式(26): 根据中的方程式(17)以及(27）， 我们可以得到 证据是结束了。

5个。仿真结果

考虑系统(5个)与

在模拟两种模式被设置为在这些数据（29). 在模型中，转移概率是初始值为0.5，初始条件设置为零。很容易观察到该方法是可行的，具有时延和丢包的系统变得随机稳定，满足小时_∞标准的性能水平γ.一些仿真结果显示在图1个–5个.

数字1个示出的时间响应右(t型).

数字2个是系统误差的参数变化 .从图中可以看出，随着时间的推移，从大波动到稳定状态的变化。

数字三显示的值和 .它可以从图中可以看出和大约20秒后保持稳定。

数字4个是过滤器状态的参数更改和 .从图中可以看出逐渐变得等于随着时间的推移，最终这两个值都保持稳定。

数字5个参数的变化和 .从图中可以看出，初始时间波动很大，而且往往是一致到底。

备注2。从系统状态图的纵坐标可以看出三图的滤波状态图4个时，两者之间的差为100倍，所以的变化似乎身材矮小5个.这也反映了从一个侧面表明，本文所设计的滤波器具有超调量小和更稳定的输出。

6。结论

本文研究了小时_∞具有时延和丢包现象的网络控制系统的滤波问题。数据包丢失被看作是一个与概率无关且分布一致的恒定Bernoulli随机过程。根据Lyapunov稳定性理论，系统(5个)会议小时_∞标准的性能水平γ已经证明了。通过引入松弛矩阵的一种特殊结构，得到满足小时_∞网络控制系统的使用时间延迟和丢包性能指标水平完成。最后，模拟结果给出证明新设计方案的有效性。

数据可用性

本文包含了支持本研究结果的数据。因为这是一个数值模拟的例子，所以读者可以使用Matlab的LMI工具箱和本文给出的定理得到与本文相同的结果。

利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

这项工作得到了国家自然科学基金（61403278和61503280）的资助。