分形维数的茱莉亚组分析控制Brusselator模型

文摘

分形理论是非线性科学研究的一个分支,其研究对象是自然界中不规则的几何形式。的分形集的复杂性,传统的欧几里得维度是不再适用和分形维数的测量方法是必需的。在众多的分形维数的定义,计盒维数描述了茱莉亚组自计盒维数的计算的复杂性相对可行的。摘要茱莉亚组Brusselator模型一类反应扩散方程讨论了从分形动力学的角度,和茱莉亚的控制是由反馈控制方法,研究了最优控制方法,分别和梯度控制方法。同时,我们的计盒维数计算茱莉亚组控制Brusselator模型在每个控制方法,用于描述的复杂性茱莉亚组和系统控制。最终我们展示了每种控制方法的有效性。

1。介绍

为了识别的本质一些极其复杂的现象,研究人员试图找出存在这些现象背后的规律和统一,这样他们可以更好的控制和预测它们。在20世纪早期,提出了混沌与分形的基本理论。这个理论解释了确定性与随机性的统一和有序和无序的统一。它被认为是科学的第三个主要革命后相对论和量子力学(1,2]。

分形理论,首次提出在1970年代,来自于非线性科学的研究。它的主要研究对象是性质和非线性系统的几何形式,这是复杂的,但某种自相似和规律性。1977年,曼德布洛特,哈佛大学的数学教授,发表了具有里程碑意义的工作分形:形式、机会和维度(3]。它标志着分形几何,成为一个独立的学科。随后,他发表了另一个工作大自然的分形几何(4),这暗示分形理论已经基本形成。

如今,随着一些新的数学工具和方法的出现,特别是分形理论研究和计算机的结合,理论已经发展迅速。此外,研究人员不仅不断建立和完善分形的理论,而且在各领域的应用,如扩散过程和化学动力学在拥挤的媒体,在生物医药、蛋白质结构和复杂的血管分支机构动力系统和流体力学物理,和地貌演化和地震监测5- - - - - -16]。即使在社会和经济活动,分形的理论也有很多应用程序(17- - - - - -19]。

考虑分形集的复杂性,传统欧几里德几何尺寸无法准确地描述他们的几何形式。数学家提出许多noninteger维度的定义和使用不同的名称来区分它们。例如,德国数学家提出的豪斯多夫维数这是豪斯多夫在1919年有一个严格的数学定义。建立了豪斯道夫测度的基础上,可以定义大多数分形集,所以数学更容易处理20.]。此外,维维是使用最广泛的维度之一。它的受欢迎程度在很大程度上是由于其相对轻松的数学计算和经验估计。除此之外,其他分形维度,如类似的尺寸,能力维度,和李雅普诺夫维度,也有自己的应用程序(在相应的字段21- - - - - -24]。

Brusselator模型(25- - - - - -27]是一种反应扩散方程描述的变化过程中化学元素的化学反应(28]。它是重要的研究非线性微分方程的混沌和分形行为。研究人员研究了Brusselator模型从不同方面,证明了它的一些性质29日- - - - - -33]。这些研究模型的非线性数学的发展作出了重要贡献。如今,随着研究的发展,人们应用的一些属性模型的各种学科和社会生产活动,取得了丰硕成果。

值得注意的是,在非线性系统中,系统的茱莉亚组是一个重要的非线性特性。根据客观要求,我们通常需要限制大小的非线性有吸引力的领域。有时要求系统具有不同或相似的行为和性能符合实际需求的技术问题。因此,如何有效地控制茱莉亚组尤为重要。

基于茱莉亚组Brusselator模型、反馈控制方法,最优控制方法,梯度控制方法(34)控制的Julia集模型。和茱莉亚的一组控制的计盒维数Brusselator模型计算在每个控制方法来描述系统的茱莉亚组的复杂性。

2。基本理论

茱莉亚加斯顿,在1918年,一个著名的法国数学家,发现了一个重要的分形理论中分形集,当他研究复杂的迭代函数,这名叫茱莉亚。他注意到复平面上的简单功能,与一个复杂的常数,能增加分形奇异的外观。茱莉亚组的精确定义是下面35]。

取一个多项式的学位复杂系数,。写为倍的作文,所以是th迭代的。如果我们称之为一个固定的角度,如果对于一些整数我们称之为一个周期的;至少这样被称为段。我们称之为一段时间轨道。让是一个周期的,,'表示复杂的分化。这一点被称为superattractive,如果;有吸引力的,如果;中性的,如果;和排斥,如果。

定义1。让是一个多项式的学位;茱莉亚组被定义为被排斥的关闭时间点吗。

在分形理论中,分形维数是最基本的概念之一。目前,分形维数的定义有很多,包括豪斯多夫维数、维维、相似性维度。在各种各样的分形维数的定义,豪斯多夫维数是分形理论的基础。它甚至可以被认为是分形几何的理论基础。然而,豪斯多夫维数只是适用于分形理论的理论分析,和只有一个小类相当坚实的数学规律的分形图形,可以为他们的豪斯多夫维数计算。很难计算的分形维数,提出了实际应用。因此,人们提出计盒维数的概念。它的受欢迎程度在很大程度上是由于其相对轻松的数学计算和经验估计。事实上,在实际应用中,维度通常称为计盒维数。计盒维数的精确定义如下。

定义2(见[35])。让是任何非空的有限的子集,让的最小的数套直径最多它可以覆盖。的较低的和上框- - - - - -计算尺寸的((1),(2)),分别被定义为

如果这些都是平等的,我们指的是常见的价值盒子- - - - - -维数的(3):

3所示。茱莉亚组的控制Brusselator模型

Brusselator模型是一个最基本的模型在非线性系统中,和动态方程如下: 在哪里,表示反应物浓度的过程中化学反应。表示初始反应物的浓度。

Brusselator方程被答:图灵在1952年首次发现(36),然后i Pigogine Leefver做了系统的研究。他们指出,Brusselator方程是最基本和必要的数学模型描述了生物化学的振荡。他们证明了,当方程有稳定和独特的极限环。当,不存在极限环(37]。它可以知道反应物初始浓度的系统上有重要的影响。在分形理论,茱莉亚组是一组初始点的系统满足某些条件。相同的思想,我们定义了茱莉亚组Brusselator模型。让。

定义3。集称为了茱莉亚组Brusselator模型。了茱莉亚的边界设置定义是茱莉亚的Brusselator模型;也就是说,。

研究结果表明,加上一个分段恒值控制函数,我们可以控制极限环的大小(4)[36]。从茱莉亚组的定义,我们发现有密切关系的有界性迭代轨道和茱莉亚的结构集合。如果我们想控制茱莉亚组Brusselator模型,如何控制系统的有界性迭代是至关重要的。我们认为尤其是Brusselator模型的不动点的稳定性,并通过设计控制器不稳定不动点变成稳定不动点有效地控制迭代轨道的有界性。茱莉亚组的控制可以实现。

就像上面提到的,考虑到系统的不动点的稳定性5),我们试图找到控制器使系统稳定的不动点。让Brusselator模型控制在哪里和表示设计控制器。

3.1。反馈控制方法

取,,控制参数和控制系统

定理4。让,,,,在那里表示不动点的控制系统(6)。如果的定点系统是有吸引力的。

证明。写。的雅可比矩阵控制系统(6)是及其特征矩阵和特征方程当模量特征值,雅可比矩阵的定点小于1,不动点吸引人: 也就是说, 由定理4可以控制的,我们知道Brusselator模型选择的价值满足的条件,然后在茱莉亚的控制可以实现。
例如,以,,在系统(6)和初始Julia集如图1;然后我们得到。由定理4的值的范围是。
六个仿真图是选择对应的值从0.06到0.45在图2,我们发现茱莉亚组的变化的趋势是显而易见的。在图3控制的计盒维Julia集计算控制方法。
在相同的控制,选择六个仿真图对应的值从图0.22−−14说明Julia集的变化反馈控制方法。在图5控制的计盒维Julia集计算控制方法。
在反馈控制方法中,左派的收缩和下部分的速度比是正确的和上层部分的间隔控制参数在0.06和0.45之间。此外,茱莉亚的边界设置的复杂性大大降低,下部迅速合同。当控制参数的区间−1和−0.22之间,茱莉亚的边界设置的复杂性大大降低,和茱莉亚组倾向于集中对称的。一般来说,和的绝对值逐渐增加,茱莉亚集合同中心。
从计盒维数的变化,角度的绝对值增加,改变通常显示一个单调递减的趋势。特别是当控制参数间隔从0.16到0.37和0.9−−0.4,维维的单调变化明显,这表明了该控制方法的有效性在茱莉亚组Brusselator模型。

(一)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(一)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

3.2。最优控制方法

取,,在那里是控制参数。然后控制系统

定理5。让,,,,在那里表示不动点的控制系统(12)。如果的定点系统是有吸引力的。

证明。写。的雅可比矩阵控制系统(12)是及其特征矩阵和特征方程当模量特征值,雅可比矩阵的定点小于1,不动点吸引人: 也就是说, 由定理5可以控制的,我们知道Brusselator模型选择的价值满足的条件,然后在茱莉亚的控制可以实现。
例如,我们把系统参数的值,这部分是一样的3所示。1。的值的范围是。
六个仿真图是选择对应的值从0.64到2.6在图6为了说明的变化Julia集最优控制方法。在图7控制的计盒维Julia集计算控制方法。
在最优控制方法,有效的控制区间从−1到190.6。但当的间隔从0.64到2.6,该方法的控制效果最好。在这个区间内,绝对的值逐渐增加,茱莉亚集合同的中心几乎相同的速度,也没有重大变化的整体形状Julia集出现。
从计盒维数的变化的角度来看,维维Julia集通常显示一个单调递减趋势的绝对值增加。的原因,茱莉亚组的复杂性可以通过计盒维数描述,当茱莉亚组的复杂性和的绝对值减少增加,这表明该控制方法具有重要的控制有效性。

(一)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

3.3。梯度控制方法

取,控制参数。因此控制系统

定理6。让,在那里表示不动点的控制系统(18)。如果的定点系统是有吸引力的。

证明。写。的雅可比矩阵控制系统(18)是及其特征矩阵和特征方程当模量特征值雅可比矩阵的定点小于1,不动点吸引人: 也就是说, 由定理6,我们知道可以控制的Brusselator模型选择的价值满足的条件,然后在茱莉亚的控制可以实现。
例如,我们把系统参数的值,这部分是一样的3所示。1。的值的范围是。
六个仿真图是选择对应的值从0.0005−−0.02图8说明Julia集的变化梯度控制方法。在图9控制的计盒维Julia集计算控制方法。
在相同的控制,选择六个仿真图对应的值从0.0005到0.02在图10说明Julia集的变化梯度控制方法。在图11控制的计盒维Julia集计算控制方法。
在梯度控制方法中,我们考虑两组参数的区间。值得注意的是,左边的收缩和较低的部分的茱莉亚组快于权利和上层部分的间隔控制参数从0.0005−−0.02,而权利和上层部分的速度比左边较低部分的间隔控制参数从0.0005到0.02。一般来说,绝对的值逐渐增加,茱莉亚集合同中心,和茱莉亚的边界的复杂性降低。
从计盒维数的变化,角度的绝对值增加,茱莉亚的计盒维集通常显示一个单调递减的趋势。特别是当控制参数在范围从0.016−−0.0075和从0.0075到0.016,计盒维数的变化显然是单调的,这表明该方法的有效性在茱莉亚组Brusselator模型。

(一)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(一)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

4所示。结论

分形理论是非线性科学研究的一个热门话题。描述化学反应过程中化学元素的变化,Brusselator模型中,一个重要的一类反应扩散方程,是重要的混沌和分形行为研究的非线性微分方程。在技术应用中,通常要求系统的行为和性能可以有效地控制。

摘要反馈控制方法,最优控制方法,和梯度控制方法来控制茱莉亚组Brusselator模型,分别计算和茱莉亚的计盒维。在每个控制方法,控制参数的绝对值增加离散,茱莉亚的计盒维数减少和茱莉亚集合同逐渐到中心。计盒维数的减少几乎是单调,这表明茱莉亚组的复杂性系统的逐渐下降。因此,当控制参数被选中时,茱莉亚的Brusselator模型控制。最重要的是,这三个控制方法有结论的一致性和有效性。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是由中国国家自然科学基金(61403231和61403231号)和中国博士后科学基金会(没有。2016 m592188)。

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