在复杂的系统分析研究几何映射

文摘

我们主要讨论星形的函数的一个新的子类的属性,即几乎星形的功能复杂的秩序,在一个和几个复杂的变量。我们得到了增长和失真的结果几乎星形的功能复杂的秩序。通过函数的性质真正积极的部分,考虑到零,得到的系数估计近星形的功能复杂的命令在。我们还讨论的不变性星形的映射复杂的秩序莱因哈特域和单位球在复杂的巴拿赫空间。结论控制和推广了一些已知的结果。

1。介绍

增长、失真定理和单价的估计系数函数几何函数理论的一个重要的研究内容和一些复杂的变量。在一个复杂的变量,我们有以下增长和失真定理。

定理1(见[1])。让在单位圆是一个规范化的双全纯的函数在。然后 失真定理对单价的功能被Koebe介绍。在推广的过程中失真定理对单价的功能的单位球嘉当et al。2,3)发现失真定理并不适用一般双全纯的映射。嘉当等人建议限制几何属性的映射,如starlikeness和凸性。很多人开始讨论增长和失真定理双全纯的映射与特殊的几何性质。星形的映射和凸映射了大多数(4- - - - - -7]。当他们讨论了星形的映射和凸映射,他们介绍了一些子类的映射。此外,他们总是首先讨论这些新的子类在一个复杂的变量。增长和失真的结果(8为星形的功能是一样的定理1。我们有以下结果对凸函数。

定理2(见[9])。让是凸函数与和。然后 1936年,罗伯逊(10)获得了增长,覆盖定理和系数估计为星形的功能。

定理3(见[10])。让是一个星形的函数在。然后 1966年,博伊德(11)获得的系数估计星形的函数的订单,在那里和零订单吗的。1975年,西尔弗曼(12]讨论了失真定理和单叶解析函数的系数估计系数为负。1991年,斯利瓦斯塔瓦和Owa [13)获得了失真定理和系数估计的一个子类星形的功能。

最近,有很多不错的增长,结果失真定理,系数估计为星形的函数和凸函数的子类。很明显,我们希望在几个复杂的变量存在相似的结果。在讨论的过程中星形的映射和凸映射的子类的属性,我们需要映射的具体的例子。很容易找到这些新子类的具体的例子虽然它是非常困难的。

1995年,Roper和Suffridge [14]介绍了经营者 在哪里,,,,。他们证明了运营商保持凸性和starlikeness。格雷厄姆和Kohr [15]证明了Roper-Suffridge运营商保留布洛赫的属性映射。因此,我们可以建造很多凸映射和星形的映射通过相应的功能Roper-Suffridge运营商。所以Roper-Suffridge运营商中扮演一个重要的角色在一些复杂的变量。之后,许多人广义Roper-Suffridge算子在不同领域和不同的空间,构造双全纯的映射与特定的几何性质在一些复杂的变量。因此,我们可以讨论在几个变量最好双全纯的映射的属性。近年来,有许多关于广义Roper-Suffridge运营商的结果(如[16- - - - - -18])。

在本文中,我们主要讨论几乎星形的功能复杂的秩序在一个和几个复杂的变量。在部分2和3,我们将讨论经济增长、失真定理和系数估计近星形的功能复杂的秩序在,分别。节4,我们将讨论的不变性星形的映射复杂的秩序莱因哈特域和单位球在复杂的巴拿赫空间。因此,我们几乎可以建造很多星形的映射复杂的秩序在一些复杂的变量通过近星形的功能复杂的秩序在。结论推广了一些已知的结果。

得到的主要结果,我们需要以下定义。

定义4(见[19])。让是一个有界的星形的和圆形域闵可夫斯基的功能是除了一个低维流形。让是一个规范化的本地双全纯的映射。让在哪里和。然后几乎就是一个星形的映射复杂的顺序在。
为条件的定义4减少到

定义5(见[19])。让是一个规范化的本地双全纯的单位球上的映射在复杂的巴拿赫空间。让在哪里和。然后几乎就是一个星形的映射复杂的顺序在。

设置,在定义4和5,我们获得的定义几乎星形的映射。

2。增长和扭曲的结果

引理6(见[20.])。 表明循环的中心是的半径是,在那里

定理7。让几乎是一个星形的功能复杂的秩序在与,。然后

证明。自几乎是一个星形的功能复杂的订单在,然后它遵循让因此。让。我们有和。让然后和。施瓦兹引理得到它遵循为然后,通过(14),我们得到它遵循由引理6我们得到是一个圆的中心是什么的半径是,在那里所以我们获得通过直接计算同样,我们可以得到在哪里让马上,我们有在哪里它遵循。因此是单调递增的。所以在哪里,。由(19)我们有。因此集成的两端(26),我们获得因此自设置在(28),我们有因此很明显为。因此。所以我们获得同样,由(19)我们可以得到

定理8。让几乎是一个星形的功能复杂的秩序在与。然后

证明。由(14)我们有它遵循。因此为我们有类似于定理7,我们得到让;我们获得。因此。

设置在定理7和8,我们得到下面的推论。

推论9。让几乎是一个星形的函数。然后

定理10。让几乎是一个星形的功能复杂的秩序在与,。然后

证明。由(17)我们有自然后我们有它遵循另一方面,我们也有导致因此然后,通过定理7我们获得所需的结论(39)。

设置在定理10,我们得到下面的结果。

推论11。让几乎是一个星形的函数与。然后

3所示。系数的估计几乎星形的功能复杂的秩序

引理12(见[21])。让是一个全纯函数与。然后。

引理13(见[22])。让全纯在。然后当且仅当

定理14。让几乎是一个星形的功能复杂的秩序与,在。然后

证明。自几乎是一个星形的功能复杂的订单,然后让。然后我们有和和。让。然后由引理12。为,(51)之前因此所以由(52),我们得到通过数学归纳法,我们获得所需的结论。

定理15。让几乎是一个星形的功能复杂的秩序与,在,让零的秩序的。让。然后

证明。自,类似于定理14,(51我们获得它遵循因此由(52)我们得到所需的结论。

定理16。 几乎是一个星形的功能复杂的订单与和在当且仅当

证明。让。自几乎是一个星形的功能复杂的订单,然后全纯在和和。由引理13我们得到了它遵循为,我们有导致预期的结论。

评论17。设置在定理14- - - - - -16近星形的函数,得到相应的结果。

4所示。的不变性星形的映射复杂的秩序

在本节中,我们主要讨论几乎的不变性星形的映射复杂的秩序莱因哈特域和复杂的单位球巴拿赫空间在某些广义Roper-Suffridge运营商。

引理18(见[23])。让完全是一个有界和莱因哈特闵可夫斯基功能的域是除了一个低维流形。然后,我们有

定理19。让几乎是一个星形的功能复杂的秩序在与和。让完全是一个有界和莱因哈特闵可夫斯基功能的域是在。让在哪里,,。然后几乎是一个星形的映射复杂的顺序在。

证明。为我们已经立即因此然后由引理18我们得到了自几乎是一个星形的功能复杂的订单,然后因此,通过引理18我们获得因此几乎是一个星形的映射复杂的顺序在通过定义4。

定理20。让几乎是星形的功能复杂的秩序在与和。让是一个有界的星形的和圆形域闵可夫斯基的功能是在。让圆盘的半径其中心是零。让在哪里,,。然后几乎是一个星形的映射复杂的顺序在。

证明。让它遵循。然后。通过直接计算得到自几乎是星形的功能复杂的订单在,然后因此然后。很明显,和,所以是一个规范化的本地双全纯的映射和让(77年)之前也就是说,。为,(76年),(79年),引理18我们获得导致因此几乎是一个星形的映射复杂的顺序在通过定义4。

类似于定理20.,我们可以得到以下结论。

定理21。让几乎是星形的功能复杂的秩序在与和。让在哪里,,,的单位向量是复杂的巴拿赫空间呢。然后几乎是一个星形的映射复杂的顺序在单位球在复杂的巴拿赫空间。

定理22。让几乎是一个星形的功能复杂的秩序在与和。让在哪里,,,,是线性无关的,这样,,为。然后几乎是一个星形的映射复杂的顺序在单位球在复杂的巴拿赫空间。

证明。从[24我们得到是一个规范化的双全纯的映射和自几乎是一个星形的功能复杂的订单,然后因此导致预期的结论的定义吗5。

类似于定理22,我们可以得到以下结论。

定理23。让几乎是一个星形的功能复杂的秩序在与,。让在哪里,,,,为。然后几乎是一个星形的映射复杂的顺序在。

备注24。设置在定理19- - - - - -23,我们几乎得到相应的结果对星形的映射。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是由中国NSF(不支持。U1204618)和河南省教育部科学技术研究项目(14 b110015号和14 b110016)。

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