文摘
我们证明复合超越整函数与某些差距没有无限的费托组件。
1。介绍
让是一个超越整函数。我们写,为为th迭代的。正常的费托组或组的包括所有的在复平面这附近有一个这样的家庭是一个正常的家庭。茱莉亚集的是。基本结果的理性和整个函数的迭代理论,我们参考的原始论文费托(1- - - - - -3),和茱莉亚4)和本Beardon (5],Carleson, Gamelin [6],米尔诺尔[7),和任8]。
让是一个连接的组成部分。然后,在那里是一个组件的。如果有一个最小的正整数这样,然后是周期的。特别是,如果,然后被称为不变。如果对于一些整数,是周期性的,而不定期的那么被称为preperiodic。如果是周期性的,然后贝克被称为域。如果所有的是不相交的,对吗,然后被称为域游荡。让是一个超越整函数。1981年,贝克(9提出是否每个组件如果增长是有界的是足够小。似乎是适当的增长条件,最小的类型。在[9),贝克指出,这种情况是最好在以下意义:对于任何足够大的正数,函数 的订单,意思是类型,和有一个无界的组件的包含一段正实轴,这样作为,局部一致。
据推测,如果订单小于最小的类型,然后每一个组成部分是有界的。还对流浪的开放领域,虽然有几个显著成绩徘徊域在满足增长的假设下,此外,一些正则条件;参见[10- - - - - -17]。
假设都是一个完整的功能与差距;也就是说,一些是零,在某种意义上。然后函数的形式。我们说Fabry差距如果作为,Fejer差距如果。
王(18]证明了每个组件的费托组整个函数与某些差距是有界的,通过使用整个函数的性质与这样的差距。王(18获得以下结果。
定理1。让整个函数。如果Fabry缺口,那么每个组件的是有界的。
Fejer差距,王18)提出了以下问题。
让是一个整函数与Fejer差距,, 是每个组成部分有界?
整函数的复合,乔(19]证明了下面的结果。
定理2。让是一个超越整函数,是整个函数与点菜了吗。然后每个nonwandering组件是有界的。
曹和王20.]证明了下面的结果。
定理3。让,在那里是非常数的全纯映射,每个订单小于1/2。如果有一个数字这样的低阶大于0,那么每个组件的是有界的。
辛格(21]证明了下面的结果。
定理4。让所有全功能的集合这样,对于给定, 适用于所有外一组对数密度0。让在哪里所有超越整函数的集合吗这样 如果,在那里,然后每一个组成部分是有界的。
2。预赛
我们使用的最大模量的标准符号、最小模量、订单的增长,低阶的增长的一个函数;也就是说, 简单地说,我们也表示最大模量和最小模量通过和。
让是一组在。对数测量一组被定义为。如果,表示的部分在这一期间,也就是说,,然后上对数密度的设置被定义为 对数密度较低被定义为 如果上下对数密度相等,他们共同的价值称为对数密度。
引理5(见[22])。让是一个超越整函数。然后存在这样,和所有,
引理6(见[23])。让是整个函数的有限阶Fabry缺口。然后对于给定, 适用于所有r外一组对数密度0。
引理7(见[24])。让整个函数 对于一些。然后对于给定, 适用于所有外一组对数密度0。
引理8(见[25])。如果满足间断条件,那么对于给定, 适用于所有外一组有限的对数测量。
引理9(见[26])。整个函数Fejer差距和,
引理10(见[9])。让是一个域和一个紧凑的子集。让是家庭的全纯函数g省略的值0,1,满足条件了吗在。然后存在常数和这样,每和每一个。
引理11。让是一个超越整函数的有限阶Fabry缺口。然后存在和这样,,存在令人满意的和。
证明。由引理6,因为任何,我们有,尽管外一组对数密度0。让。然后存在这样,,存在这样。如果不是,那么存在一个序列这样,每。因此。所以
矛盾。
集。存在这样。由引理6,
自,存在,在那里这样。这就完成了引理的证明11。
由引理9和相同的方法在引理的证明11,我们可以证明下面的结果。
引理12。让是一个超越整函数的有限阶Fejer缺口。然后存在和这样,,存在令人满意的和。
由引理7和相同的方法在引理的证明11,我们可以证明下面的结果。
引理13。让是一个超越整函数的有限的秩序 对于一些。然后存在和这样,,存在令人满意的和。
3所示。主要结果
2012年,作者证明了一些结果超越整函数的有界费托组件与差距;参见[27]。在本文中,我们调查综合整个函数的迭代与差距,获得以下结果。
定理14。让是一个超越整函数,有Fabry有限秩序的差距。如果 然后没有无限的组件。
证明。证明定理的概念3和4。自是一种超越整函数的有限阶Fabry差距,由引理11,存在和足够大,,存在这样和
自是一种超越整函数的有限顺序,必须是超越整函数。因此,存在一个数字这样对所有,有一个数字这样
对所有足够大。事实上,如果有一个序列往往这样
然后
所以
如果我们采取任何使一个矛盾。
鉴于,定义归纳
很容易看到,,
因此
和作为对所有。
取数足够大,通过引理11,存在这样
为。假设的定理14,(19),引理11,我们有
为;和
在相反的假设有一个无界的组件。不失一般性,我们可能认为0 1。因此每一个地图省略了值0 1。它遵循的无界性和连通性这存在这样满足了圈
对所有,。
我们选择一个值这样和注意,必须包含一个路径加入一个点在一定程度上。很明显,包含两个子集,这样连接来,包含和连接来。我们知道所以。也所以。因此加入一个点包含一个弧在一定程度上。类似的加入一个点包含一个弧在一定程度上。
重复这个过程归纳我们获得包含一个弧加入在一定程度上和加入一个点包含一个弧在一定程度上。
自和两个子集,接下去必须包含一个弧加入吗重要的是。现在用归纳法,加入一个点包含一个弧重要的是。
因此是一个组件的包含,在,至少需要一个值的模量和作为。因此,我们得出这样的结论:局部一致的。因此存在这样,,对所有。因此,家庭满足条件的引理10在,所以存在常数,这样对所有和所有。选择与这样和;我们有
对所有这与这一事实相矛盾吗是一种超越整函数和作为。这就完成了定理的证明14。
推论15(见[27])。让是一个超越整函数的有限阶Fabry缺口。如果 然后没有无限的组件。
备注16。如果满足,,然后,所以推论15是一个扩展的定理1。
由引理12和相同的方法中使用的定理的证明14,我们可以证明下面的结果。
定理17。让是一个超越整函数,Fejer缺口。如果 然后没有无限的组件。
由定理17,我们有以下。
推论18(见[27])。让是一个超越整函数与Fejer缺口。如果 然后没有无限的组件。
评论19。必然的结果18部分答案王在Fejer缺口的问题。
由引理13和相同的方法证明的定理14我们可以证明定理20.。
定理20。让是一个超越整函数,是整个函数gap-conditions 如果 然后没有无限的组件。
由定理20.,我们有以下。
推论21。让是一个超越整函数,是整个函数gap-conditions对于一些。如果 然后没有无限的组件。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作得到了国家自然科学基金(批准号11261002),中国云南省自然科学基金(批准号2012 fz167),中国云南省教育委员会(批准号2012 z121)。