随机离散超混沌系统的Hopf分岔分析

摘要

研究了离散超混沌系统的动力学问题和随机离散超混沌系统Hopf分岔的振幅控制问题。对离散时间超混沌系统的复杂动力学行为进行了数值模拟。利用离散随机函数的正交多项式理论，将具有随机参数的随机离散超混沌系统转化为其等价的确定性系统。此外，通过等效确定性系统得到了具有随机扰动的离散超混沌系统的动力学特性。利用确定性离散系统的Hopf分岔条件，导出了等效确定性系统中Hopf分岔存在的具体条件。并详细讨论了随机强度的振幅控制。最后，通过数值仿真验证了该控制方法的可行性。

1.介绍

混沌系统的动力学及其分岔控制一直受到人们的广泛关注，并在化学、生物种群和电力系统中得到了广泛的应用。1，2]关于分岔的研究主要包括分岔的存在性及其控制，Hopf分岔在理论上得到了全面系统的研究[3.- - - - - -6]．分岔控制的目的是通过设计一个控制器来修正非线性系统的分岔特性，从而实现其他期望的动力学行为。关于分岔控制有一些总结，如延迟反馈控制[7，状态反馈控制[8]，以及洗脱过滤控制[9]．Wen等研究了离散时间系统存在分岔和Hopf分岔的条件。10，11]．混沌的研究已成为近年来的一个研究热点。与混沌系统相比，超混沌系统具有两个正的李雅普诺夫指数。因此，超混沌系统会比普通混沌系统具有更复杂的动力学行为。1979年，Rössler system首次报道了超混沌系统[12]．从那时起，超混沌系统在过去的几十年里受到了极大的关注[13- - - - - -15]．为了安全通信而提出的超混沌系统的研究比混沌系统更有意义。众所周知，混沌和超混沌系统的控制方法很多，如非线性反馈、状态反馈控制[16]、线性反馈及自适应控制[17，时滞反馈控制[18]．每种控制方法各有优缺点。基于第一次控制的混沌和超混沌控制由Ma和Yang在[19]．在实践中，大多数研究者主要关注于如何构造超混沌系统和如何设计超混沌电路[20.]．目前，关于超混沌系统的分岔和混沌等动力学行为的研究还很少。

然而，由于外部环境的不确定性、系统参数的不确定性、外部噪声的摄动等因素，随机系统能较好地准确地表示原始系统;因此，研究随机系统比研究确定性系统更有意义。目前，越来越多的研究者对具有随机参数的非线性系统的随机动力学研究表现出极大的兴趣。基于正交多项式展开理论的正交多项式逼近得到了广泛的应用。利用改进的方法研究了随机参数随机系统的动力学行为。21]．Ma等人研究了随机Hopf分岔[22- - - - - -24]．研究了基于非线性随机反馈方法的随机动态系统Hopf分岔控制[j]。25]从以往关于随机模型的研究来看，这些随机系统总是不可避免地受到系统参数的干扰。因此，具有随机参数的随机离散时间超混沌系统的动力学分析引起了人们的兴趣，而这方面的研究很少。

本文的其余部分安排如下。节2研究了离散超混沌系统的动力学问题，并利用正交多项式逼近方法将随机离散超混沌系统转化为其等价的确定性系统。然后，研究了Hopf分岔的存在性以及随机强度法的分岔幅度控制。本节给出了数值模拟3.及4．最后，在本节中得出结论5．

2.随机参数离散超混沌系统的正交多项式逼近

考虑Chen研究的二维确定性离散时间超混沌系统: 在哪里和是状态变量和系统参数，，,是真实的参数。让,不同的在范围内，系统(1)具有相应的分岔图，图中描述了Lyapunov指数1．

通过数值模拟，揭示了复杂的动力学行为，如周期轨道、Hopf分岔、混沌和超混沌。系统的相位图(1)如图所示2．这些结果揭示了离散模型比混沌系统更丰富的动力学。系统的Lyapunov指数和分岔图的数值计算1)可以进一步确定复杂的动力学行为。

众所周知，外部环境、制造、材料、安装等方面存在许多不确定因素;许多动态系统总是不可避免地受到一些随机扰动的影响，如系统参数的不确定性、外部噪声的扰动和随机输入。因此，随机系统准确地代表了原始系统，对随机系统的动力学行为进行分析将具有更重要的现实意义。这种模型的研究比确定性系统的研究更有意义。下面，我们考虑一个随机离散时间超混沌系统。让，,是确定性参数为随机参数。则随机离散超混沌系统可表示为: 在哪里统计参数为在系统(2),为随机扰动强度，随机变量是否定义在服从密度函数的非负集整数上．

根据Hilbert空间离散随机函数的正交多项式逼近和正交多项式的正交性[21- - - - - -25]时，随机参数离散超混沌系统的响应可以用傅里叶级数表示: 在哪里，，是正交多项式，并且表示多项式的最大阶数。用(3.) (2),我们有 多项式的循环递推公式如下: 在哪里，,是由不同种类的多项式决定的。

在本文中，我们假设随机变量服从泊松分布，参数为．与这个随机变量相对应，选择正交多项式作为查利尔多项式。因此，(5)，,．当，具有随机参数的离散超混沌系统严格等价于4)．为了便于本文的数值分析，我们选择和并近似得到具有随机参数的离散时间超混沌系统的等效确定性系统： 在哪里（)及（)可以通过MAPLE派生(参见附录)。我们可以得到数值解和的等效确定性系统(6)的有效数值方法。进一步，原始随机离散超混沌系统的近似随机响应可以表示为 和系统的总体平均响应(2)计算为 系统的初始条件(1)的确定性参数定义为和．本文取等价确定性系统的初始条件(6)详情如下:

3.霍普夫分岔分析

在这一节中，我们将研究随机参数离散超混沌系统的Hopf分岔。

定理1。随机离散超混沌系统(2)在强共振情况下在不动点发生Hopf分岔，当参数通过临界值．

证明。等效确定性系统的雅可比矩阵(6)在零不动点处为 用特征多项式 在哪里（)为等效确定性系统系数(6)，如下图所示: 通过简单的计算，可以直接得到以下结果: 经典的Hopf分叉准则（参见[11(C1)特征值赋值:离散时间系统的雅可比矩阵有一对复共轭特征值，和具有在和其他特征值（),；(C2)横截性条件:（）;(C3) nonresonance条件:；共振条件:（)．分岔解的类型和稳定性取决于条件(C3)和系统的非线性性质。
根据上述经典Hopf分岔判据，等价确定性系统(6)发生Hopf分岔当且仅当(C1) - (C3)保持。为了确保(C1)保持，字符多项式(11)必须作为一对共轭复数根存在，且参数必须满足以下条件之一： 为了满足(C1)条件的特征值模，我们取 通过MAPLE软件，得到分岔参数与随机强度之间的关系: 替换(的所有表达式16)转换为字符多项式(11)，各特征值分别为: 显然,因为和，对应于参数的特征值不满足Hopf分岔条件（C1）。但是，对应于参数的特征值可以满足Hopf分岔条件（C1），因此，只有一个表达式，满足Hopf分岔条件(C1)。同时，(C2)和(C3)写成 因此，(C2)和(C3)都成立。根据以上分析，当和时，Hopf分岔存在的所有条件成立。因为有一对纯虚数根在特征值中，系统(6)在1:4强共振情况下经历Hopf分岔。数值模拟用于研究等效确定性系统(6)．让，,，随机强度由下式给出：，参数是由，,,分别。阶段肖像和时间历史图显示在图中3.，4,5,分别。

4.Hopf分岔的振幅控制

提出了一种不需要系统控制参数可调的Hopf分岔幅值控制方法。我们在这里的目标是研究随机强度对等效确定性系统(6)．当参数和随机强度，分别为等效确定性系统(6)发生为Hopf分岔。随着随机强度的增加，等效确定性系统中极限环的幅值(6)变得越来越小;相位轨迹和时间历史图如图所示6．增加随机强度为，等效确定性系统中极限环的幅值(6)比图中的极限环幅值更小6；相位轨迹和时间历史图如图所示7.随着我们继续将随机强度增加到，等效确定性系统中极限环的幅值(6)比图中的极限环幅值更小7；相位轨迹和时间历史图如图所示8．

通过数值模拟可以发现，随机离散时间超混沌系统的振幅是通过改变随机强度来控制的，与确定性系统相比，随机强度明显影响其随机系统的分岔振幅，且分岔振幅随时间的增加而减小随机强度。数值模拟用于研究等效确定性系统(6)．在这里,我们把，,时，等效确定性系统在不动点发生强共振Hopf分岔. 图中描绘了随机离散时间超混沌系统的相轨迹和时程图6，7,8．

5.结论

本文通过数值模拟，用理论分析来说明我们的结果，并展示复杂的动力学行为。此外，还分析了随机离散时间超混沌系统Hopf分岔的振幅控制。随机离散时间超混沌系统发生强共振利用Hopf分岔理论，在一个固定点上实现了Hopf分岔.另外，对随机离散时间超混沌系统引入了一个随机强度控制律.通过改变随机强度，可以控制Hopf分岔的幅度.我们可以发现，随机强度对控制的影响数值模拟表明了分析结果的有效性。

附录

（)及（)在系统中(6)可以通过MAPLE派生，如下所示:

利益冲突

所有作者声明本论文的发表不存在利益冲突。

参考文献

1. 赵海涛，林耀平，戴耀新，“一个混合比例相关的三种群食物链的分岔分析和混沌控制，”应用数学与计算第218卷第1期5, pp. 1533-1546, 2011。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
2. 刘平，张秋林，“一类非线性传染病模型的分岔分析与跟踪控制，”应用数学模型:工程与环境系统的仿真与计算第36卷第2期4, pp. 1678-1693, 2012。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
3. J.古肯海默和P.霍姆斯，非线性振荡，动力系统和矢量场的分岔，施普林格，纽约，美国纽约，1986。视图:MathSciNet
4. 依陪审团,z变换方法的理论与应用1964年，美国纽约，威利。
5. y . a .“库兹涅佐夫”应用分岔理论的要素，斯普林格，纽约，纽约，美国，第二版，1998年。视图:MathSciNet
6. 哈萨德，卡萨里诺夫和温Hopf分岔的理论与应用，剑桥大学出版社，英国剑桥，1981年。视图:MathSciNet
7. 陈国栋，“离散时滞反馈控制系统的分岔动力学，”国际分岔与混沌学报，第9卷，第5期。1，页287-293,1999。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
8. 王浩宇，“动态系统的分岔和混沌反馈控制”，载非线性动力学和随机力学，第153-173页，华润出版社，美国佛罗里达州博卡拉顿，1995年。视图:谷歌学者
9. 吴志强，孙立明，“基于冲漏滤波器的Hopf分岔控制”，《物理学报》，第60卷，第2期5, pp. 1-5, 2011。视图:谷歌学者
10. 王志强，“基于Hopf分岔的地图识别方法研究”，《同济大学学报(自然科学版)》，物理回顾E第72卷第2期文章编号026201,4页，2005。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
11. “三维映射中退化Hopf分岔的控制，”混乱，第13卷，第2期2、2003年。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
12. O. E. Rössler，“超混沌方程式”，物理信，第71卷，第71期2-3，页155-157,1979。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
13. 王海霞，蔡国林，“一种新型超混沌系统的非线性反馈控制及其电路实现，”中国物理B第19卷第2期3、文章编号030509,pp. 1-8, 2010。视图:出版商的网站|谷歌学者
14. 李彦宏、唐文光和陈国强，“通过状态反馈控制产生超混沌，”应用科学与工程中的分岔与混沌，第15卷，第10期，第3367-3375页，2005年。视图:出版商的网站|谷歌学者
15. 关晓平，樊振平，陈昌林，混沌控制及其在安全通信中的应用，国防工业出版社，北京，2002。
16. 孙克勤，刘旭东，朱长虹，“正弦强迫简化Lorenz系统的超混沌与超混沌控制，”非线性动力学，第69卷，第2期3, pp. 1383-1391, 2012。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
17. 余辉，蔡刚，李勇，“一种新的超混沌金融系统的动态分析与控制，”非线性动力学，第67卷，第5期3, pp. 2171-2182, 2012。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
18. 李春，廖昕，k - w。应用于保密通信的超混沌滞后同步混沌，孤子和分形，第23卷，第1期，第183-193页，2005年。视图:出版商的网站|谷歌学者
19. Ma J. H.和Y. J. Yang .“超混沌系统的数值模拟与控制”，自然界和社会中的离散动力学文章编号980578,16页，2013。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
20. 邓国斌和余世明，“一个新的修正超混沌Lü系统的Hopf分支分析，”Optik号，第124卷。23, pp. 6265-6269, 2013。视图:出版商的网站|谷歌学者
21. 冷晓林，吴春林，马晓平，G.孟，方涛，“谐波激励下随机Duffing系统的分岔与混沌分析，”非线性动力学，第42卷，第2期2，页185-198,2005。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
22. S.-J。徐伟，李伟，“基于Chebyshev多项式逼近的随机Duffing-van der Pol系统的随机分岔与混沌分析，”中国物理，第15卷，第5期。6，第1231-1238页，2006。视图:出版商的网站|谷歌学者
23. 马世杰、徐文华、方志刚，“利用拉盖尔多项式近似分析双阱随机杜芬系统的倍周期分岔，”非线性动力学号，第52卷。3，页289-299,2008。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet
24. 马思俊，“具有有界随机参数的广义van der Pol系统的倍周期分岔”，非线性科学与数值模拟中的通信，第13卷，第2期10，页2256-2265,2008。视图:出版商的网站|谷歌学者
25. 徐勇，马S，张H，“具有非线性随机反馈方法的随机动力系统的Hopf分岔控制，”非线性动力学，第65卷，第5期1-2，页77-84,2011。视图:出版商的网站|谷歌学者|MathSciNet

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