文摘
我们考虑外部的系统兴奋相同van der Pol-Duffing振荡器单向耦合在一个戒指。介绍了耦合时,每一个振荡器的轨迹是不同的吸引子。我们研究的变化动态耦合系数的增加。振荡器的研究阶段,我们计算得到的参数值反相滞后同步系统的为我们观察和分岔值定性已经同步系统的动态变化。我们提供证据,滞后同步耦合的多稳态系统的典型。
首先研究机械系统的同步可以追溯到17世纪,当克里斯蒂安·惠更斯看着两个摆时钟挂在梁。由于振动传播的光束从一个时钟,一段时间后,他们开始以相同的频率。科学的巨大发展,特别是非线性动力系统理论,造成膨胀的研究对不同类型的同步现象。今天,同步的概念已经应用在许多领域的科学。
在本文中,我们研究的现象称为滞后同步(1- - - - - -15]。我们有两个这种现象。在同相滞后同步,首先耦合系统在任何时刻的状态的时间是一样的第二耦合系统的状态,在那里是一个固定的滞后。反相滞后同步的情况更为复杂。以前描述的动力学相似,但第一阶段变量的值系统是相反的第二个这些变量的值。在我们的研究中,我们观察到第二种类型的滞后同步现象。滞后同步已经观察到的主要是在混乱的(1- - - - - -11和超混沌12,13耦合系统,但它甚至已经发现在nonchaotic动力学(15]。关于这一现象有很多报纸在Rossler系统(1,9- - - - - -12和各种类型的延时系统2- - - - - -5,13- - - - - -15]。论文(3- - - - - -8)包含有趣的结果这一现象的神经系统。工作(9,13]目前这种类型的同步如何转换成其他类型由于系统参数的变化。在我们的考虑,我们不关注这个问题的时候,如何耦合系统达到同步,而是它的行为在达到它。我们试图回答“如何同步多稳态振荡器的动力学变化当夫妻的强度会增加吗?”
作为一个例子,我们考虑外部强迫van der Pol-Duffing振荡器(16- - - - - -33),多稳,罕见的流动(16]。不确定性的现象由于初始位置的流动也被证明这个系统(17]。在[18- - - - - -22),考虑各种类型的分岔van der Pol-Duffing振荡器可以找到。大多数的研究与该系统的混沌行为(23- - - - - -26),但也有考虑周期和准周期的流动24]。的同步耦合van der Pol-Duffing与各种类型的耦合振子和时间延迟反馈中描述(19,25- - - - - -33]。这个属性的多样性可以确保每个研究这个系统提供了新的,有趣的结果和扩展非线性动力学的知识。
在这篇文章中,我们考虑十外部兴奋相同van der Pol-Duffing振荡器单向耦合在一个戒指。系统是由十个二阶常微分方程: 在哪里,,是常数。1日(之间的耦合)和10 ()振荡器涉及第一个方程。我们假设,,并考虑作为一个耦合系数。
在[16],它已经表明,单一van der Pol-Duffing振荡器是多稳,取决于参数的值不同类型的流动(即共存。、周期、准周期的和混乱的)。在[16),对这些盆地的吸引力吸引子也包含。在我们的例子中,,我们获得周期和准周期的轨道。
一开始,介绍了耦合时,假定初始条件的红点在庞加莱映射数据1(一)- - - - - -1 (j)。每个地图,点的轨迹对应的子系统之间的时间间隔连续值轨迹等于激励的周期。水平轴对应坐标,而垂直轴对应坐标()。在这种情况下,九子系统的周期轨迹和准周期的第十人。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(我)
(j)
我们专注于确定耦合系数的最小值对系统的振子(1)同步。我们还将研究该系统的定性的变化动态,当我们增加参数。要做到这一点,使用阶段的系统的概念。的子系统我们考虑相位函数,为我们假设或,这取决于的标志。在特殊情况下,我们假设。固定,如果点位于第一或第四象限二维笛卡尔坐标系统,那么上述函数定义了半直线之间的角度在飞机上吗和段开始和结束点。如果点位于第二或第三象限,那么该函数定义了半直线之间的夹角吗和前面描述的部分。
如果两个子系统的相空间轨迹是相同的,或者其中一个是对称的第二个(即。,的trajectories are on the same attractor or on attractors symmetrical across point的平均值),那么这些子系统的阶段是相等的。这一事实是非常有用的在检查分岔图和均值的阶段两个振荡器。这些图的重叠显示子系统的同步。然而,它应该只强调这个事实是这种现象的必要条件但不是充分条件。
在图2(一个)(用均值的变化阶段)1日子系统。在水平轴耦合系数的可能值区间和垂直轴的值。分岔点标记为,,,。在图2 (b)小间隔的变化显示了这种分歧。
(一)
(b)
子系统的动态变化在分岔点显示在庞加莱映射图3。的实际价值我们计算的参数上面的地图是他们每个人。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
当的波动,但在达到它在不断变化(除了分岔,,)。这种行为很常见的振荡器;即图计算出的所有子系统重叠。耦合系数等于,我们获得系统的同步。事实上,庞加莱映射代表混沌振子(图的行为31)但是后来的显示它们都在一个常见的准周期的同步吸引子。描述行为仍在继续。它改变为时常见的吸引子是破坏和两个对称的流动出现。为子系统是一个吸引子他们在两个圆环面组同样。这持续和我们获得另一个分支被称为环的两倍34,35]。此前,子系统在同样的吸引子和分组没有定性的变化动态。最后,在我们获得关键时刻当耦合系数很大,动力学是只能由外力引起的所以振子振动定期(激励的周期)。在图3,因为两个准周期的流动和共存我们获得一个点在庞加莱映射为每个子系统。从现在开始,不管多少将会增加,不改变系统的动力学。
它也值得一提,当振子同步的固定值的滞后同步它们之间可以很容易地找到的数值分析耦合子系统的立场的差异。在这里,我们考虑了功能,在那里一个振荡器和吗是时候时刻的子系统都是同步的。固定参数,该函数描述的价值最大区别的位置对应的振子在整个时间间隔。第一个振荡器是在时间的位置而第二个的位置。滞后值在同步参数的函数值是足够小。我们做了计算并得到以下结果:滞后的和;为滞后的和;为滞后的和;为滞后的和(理想的滞后同步)。
总而言之,通过耦合van der Pol-Duffing振荡器,妥善选择耦合系数的值我们观察的滞后同步振荡器。如前所述在预赛中,单一的动态系统是非常丰富的,这是简单的完全同步的主要原因不是获得。我们已经确定的临界值的现象发生()和检查的变化动态,同时增加耦合系数。常见的吸引子的所有子系统同步由于增加参数变化不仅定量定性。单一的环面,共同所有的振荡器,由于分岔发生,,转换成两个双圆环面,然后分成两单花床,最后进入周期轨道。观察到的现象是健壮的,因为他们可以观察到广泛的系统参数。
获得的结果表明,当耦合系统有类似的属性van der Pol-Duffing振荡器,的特征结构,夫妻应该非常仔细地选择子系统(例如,它可能是一个弹簧和弹性系数)。除了基本情况下当这个系数达到最小值的系统子系统的同步和一个足够大的价值开始振荡频率的外部力量,有一个范围的中间值的系数引起质的变化的动态同步系统。这个事实时应该考虑构造特定的力学模型。我们认为滞后同步耦合的多稳态系统的典型。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作已经由波兰的基础科学,团队项目,项目没有。团队/ 2010/5/5,由波兰国家科学中心,大师项目,项目没有。/ / ST8/00/780 2013/08。