文摘
修改后的投影外同步两个不同的分数阶复杂动力网络不同节点动力学和不同拓扑结构研究。基于分数阶系统的稳定性定理,实现同步的自适应控制器和足够的标准给出了通过应用非线性控制。该方法也适用于修改投影外同步两个分数阶之间的复杂网络具有相同的拓扑结构。此外,还有更少的限制配置的耦合矩阵和inner-coupling矩阵。相应的数值结果与理论分析相吻合,这也表明,反馈强度和分数阶可以有效地影响同步性能。
1。介绍
因为佩科拉的开创性工作,卡罗尔与不同的初始条件(相同的混沌系统同步1),研究了各种同步场景为混沌系统(2- - - - - -4]。近年来,复杂网络的研究吸引了越来越多的关注由于其广泛的和潜在的应用在各个领域。复杂动态网络由一组相互连接的节点,这是动态系统与特定的内容。网络模型广泛存在于自然和社会,例如,万维网、互联网、社交网络、生物神经网络、食物网,蛋白质,交通网络,等等(5- - - - - -8]。随着房地产的发展和动态的复杂网络,已经成为复杂网络研究的混沌同步集中在安全通信由于其工程应用,神经网络,生物系统,并行图像处理,等等。因此,大部分的工作已经完成复杂网络的同步在文献[9- - - - - -12]。
上述研究结果为进一步的理论研究奠定了良好的基础和实际应用在复杂网络的同步动态。然而,现有的研究成果大多集中于整数阶复杂网络的同步(icn)的动力学描述的整数阶微分方程。事实上,分数阶系统提供一个很好的工具内存和遗传特性的描述各种材料和过程。此外,它们包括传统整数阶导数作为一个特例。这将是更好的,如果许多实际问题都被分数阶动力系统而非整数阶的。另一方面,由于有限的理论分析分数阶动力学系统,分数阶复杂系统的同步(FCNs)仍然是一个具有挑战性的研究课题和研究它仍然很少13- - - - - -16]。在[13),作者研究了星形网络的同步运动耦合的分数阶系统的主要元素是耦合的每个不相互影响的个人元素。在[14),陈等人讨论集群复杂动力网络的同步与分数阶动力学节点。只在一个社区的节点直接连接节点在其他社区都需要控制,导致降低控制成本。在[15),投影同步的复杂网络研究和识别功能的耦合连接节点。在[16),黄等人研究了健壮的分数阶复杂动力网络的同步和参数不确定性。基于克罗内克积的性质和分数阶系统的稳定性、鲁棒同步标准派生通过应用非线性控制。
单一网络的节点之间的同步被称为“内部同步”在上面的文献。在这种情况下,它已经表明,同步状态的稳定性取决于底层网络拓扑结构的细节。相比之下,相应的节点之间的同步两个耦合的网络被称为“外同步。“在现实世界中,有很多例子关于不同网络之间的关系,如原来的两个社区之间传播传染病,有益细菌和病原菌的平衡在我们的消化系统,和捕食者-猎物互动的生态系统。这些例子表明,它是必要的和重要的调查之间的动力学耦合网络。目前,外同步耦合icn也已经有了很广泛的研究(17- - - - - -19]。然而,我们所知,一些论文研究两个与分数阶复杂网络节点之间的同步,只有四个尝试是在[工作20.- - - - - -23]。设计了非线性控制器,吴邦国和陆首次报道外同步现象两个耦合FCNs [20.]。Asheghan等人也被认为是健壮的外同步两个FCNs之间耦合的open-plus-closed-loop计划(21]。最近,作者在22)解决全球外同步问题在drive-response配置两个FCNs之间耦合。特别是,对于一个给定的FCN Lur所组成的系统,与nonfragile observer-type反应网络输出反馈控制器。作者在23]提出一种新颖的射影外之间单向耦合同步不确定性FCNs通过标量信号传播。然而,在这些引用中,只有工作(23)认为射影两FCNs相同的节点之间的同步和相同的拓扑结构。因此,有必要构建一个更一般的投影两个耦合FCNs之间的同步方案。
在本文中,我们讨论了修改后的投影外同步(mpo)问题两个FCNs之间不同的节点动力学和不同的拓扑结构。通过使用自适应控制方案,设计了一种非线性控制器实现mpo。控制器也适用于两个FCNs的mpo相同的拓扑结构。基于分数阶系统的稳定性理论,基本标准格式的线性矩阵不等式(lmi) mpo建议。最后,设计控制策略的有效性和可行性mpo混乱drive-response FCNs证明了数值模拟。这些模拟表明,增加分数阶和反馈强度将加速外同步的速度。
2。模型描述和预赛
有几个部分衍生品的定义。卡普托导数是更受欢迎的在真实的应用程序24),它被定义为 在哪里是最小的整数比吗,表示卡普托分数阶导数的定义,是阶导数在通常意义上,和代表伽马函数。
现在,考虑一个类组成的复杂网络相同的耦合的节点,每个节点都是一个维分数阶混沌系统。标准的导数是取代了分数导数为以下: 在哪里的状态向量th节点,是一个连续可微的向量函数,描述了单个节点的动态,耦合强度,是一个inner-coupling矩阵满足吗,是配置的耦合矩阵代表耦合强度和网络的拓扑结构,在吗定义如下:如果有一个从节点连接吗到节点,;否则,。矩阵的对角元素被定义为
为了研究外两个不同网络之间的同步,我们认为(2)主网络和假设响应复杂动力网络包含动力学节点如下: 在哪里节点的状态向量,是一个连续可微的向量函数,描述了单个节点的动态,耦合强度,具有相同的含义,在(2),是配置的耦合矩阵作为矩阵具有相同的意思,节点控制器吗根据特定的节点动力学设计和驱动和响应拓扑结构的网络。在这里,配置的耦合矩阵和不一定是对称的或不可约。我们也不强加任何限制inner-coupling矩阵。
接下来,根据修改后的投影的定义两个混沌系统之间的同步,我们将mpo的定义之间的驱动器FCN (2)和响应FCN (4)。
定义1 (mpo)。为推动网络(2)和反应网络(4),据说要修改的射影外同步(mpo)对比例因子矩阵,如果存在一个控制器,这样 总是持有。
备注2。单向耦合FCN (2)和(4),我们可以看到来自定义1mpo意味着相应的节点状态向量和可以实现同步对比例因子无论内部网络的同步。因此,两个网络可能包含集群或孤立节点。耦合配置不可约矩阵不是必需的。
备注3。很容易看到,任意常数矩阵可调,实现各种外同步状态之间的行为吗和。例如,如果,我们可以观察到完整的外同步(COS);当,反相同步(代谢)。此外,我们还可以实现放大或衰减的振荡驱动FCN (2在响应FCN(相对于4)通过选择或,分别。
引理4(见[25])。对于一个给定的自治分数阶线性系统 在哪里,是一个状态向量,是一个常数矩阵,系统是渐近稳定的,如果且仅如果,在那里表示参数的特征值的。同时,系统(6)稳定当且仅当它是渐近稳定或满足的关键特征值有一个几何重数。
定理5(见[26])。针对一类分数阶非线性自治系统 在哪里,是一个状态向量,是一个持续的系数矩阵,其中包含状态变量。如果存在一个实对称正定矩阵这样,方程 总是适用于任何国家,那么简单的解决方案的系统(7)是渐近稳定的。
证明。很明显,是一个系统的平衡点7)。因为,我们有。表示,我们可以得出这样的结论:总是适用于。否则,如果,通过,必须存在状态,比如矩阵;因此,我们有,一个矛盾。因此,不平等总是适用于。
假设是一个矩阵的特征值和相应的非零特征向量;也就是说,。把左边的通过和它的权利。我们得出,
因为,我们可以获得。因此,我们有为。根据分数阶非线性系统稳定性理论的引理4,平凡解的系统(7)是渐近稳定的。
完成证明。
假设6(见[11])。正定矩阵在网络(2),存在一个常数矩阵这样
总是持有。
根据定义1,误差向量可以表示为。减去网络(4)(2)给出了误差动态网络
然后mpo的驱动网络问题(2)和反应网络(4)的稳定性问题转化为误差动态网络(11)。我们的目标是设计一些合适的控制器来实现。
3所示。mpo的自适应控制器
在本节中,我们将研究两个FCNs具有不同拓扑之间的mpo或相同拓扑通过使用自适应控制方法。我们首先提供以下主要定理之间的mpo两FCNs不同的拓扑结构。
定理7。正定矩阵在网络(2),假设满足的假设6,让。如果满足以下条件, 那么解决方案误差动态网络(11)是渐近稳定的控制器: 在哪里是维单位矩阵,矩阵的差异、反馈的优势正的常数,常数矩阵。
证明。考虑以下功能:
替换后(11)和(13),我们有
在哪里和。因为,很容易得出这样的结论:如果(12)是满意,解决方案误差动态网络(11)是渐近稳定的。
完成证明。
从定理7,我们可以得出结论,只要反馈的优势在反馈矩阵足够大,mpo之间网络(2)和网络(4可以实现)。
不同的拓扑结构作为一个特例,拖把两FCNs具有相同拓扑结构可以实现类似的自适应控制。在这种情况下,我们有和错误的动力系统
基于定理7,我们可以很容易地获得以下推论。
推论8。两个FCNs具有相同拓扑结构,假设满足的假设6,让。如果条件(12)是满意的,那么解决方案误差动态网络(16)是渐近稳定的控制器:
证明。当FCN的拓扑结构(2)和(4)是相同的,也就是说,差别矩阵变成了一个零矩阵。因此,控制器(13)变成描述的控制器(17)。而用(16)和(17)功能描述(14),其余的定理的证明过程是一样的7。
4所示。数值模拟
在本节中,说明性的示例验证理论的有效性标准在前一节中获得的。一些关于分数阶的影响进一步的分析和反馈强度在mpo被提供。为了这个目的,我们认为陈分数阶系统的节点驱动网络金融体系,并考虑分数阶反应网络的节点。
4.1。定理的验证7
著名的陈分数阶混沌系统(27)所描述的 当分数阶持有和参数选择陈,分数阶系统行为混乱。图1显示陈分数阶混沌系统的吸引子。
最近,财经报道的动态模型(28]。利率的时间变化,投资需求,价格指数在模型中被描述。分数阶混沌系统是由金融
金融系统的分数阶分数阶时是混乱的的变化和参数选择。分数阶金融混沌系统的吸引子如图2。
在下面,我们将陈分数阶混沌系统和分数阶金融混沌系统节点动力学mpo说明该方法。所有的模拟,让驱动和响应网络的部分订单。和预估(29日是选择解决分数阶微分方程。作为网络的大小。选择配置的耦合矩阵网络(2)和(4)如下:
为简单起见,选择inner-coupling矩阵。状态向量的初始值和选择任意的。选为比例因子矩阵。两个网络之间的mpo错误被定义为。
根据定理7条件(12)只是一个充分条件复杂网络之间的mpo (2)和(4)。在这里,我们提供一个选择的反馈矩阵为实现mpo的仿真结果如图3。见图3轨迹的同步错误接近零,这意味着网络之间的mpo (2)和(4)取得了自适应控制器(13)。
(一)
(b)
(c)
4.2。进一步的分析
研究结果表明,分数阶的值和反馈强度在同步的效果有很大的影响。一些关于同步效应的进一步的分析提出了在这一节中。
在这里,为了知道所有mpo错误的变化,标准被定义为总mpo的错误
很明显,当不再增加,两个分数阶网络实现全球mpo。
首先,我们认为反馈矩阵是不变的,只有分数阶是改变。同步错误的值分数阶的增加描述在图4。从图4,你可以很容易地发现同步效果变得更好的分数阶的增加。
(一)
(b)
(c)
第二,让控制增益被改变而分数阶保持相同的。为了简化问题,我们在当前的模拟。图5描述的时间演进mpo错误与分数阶而反馈强度增加从5到35。
(一)
(b)
从图5同步效果更好的反馈强度的增加。此外,即使一些降低为0,mpo减少的情况下仍然可以实现同步速度。当反馈选择优势和,mpo的时间演进错误与分数阶说明在图6。
(一)
(b)
如下面所提到的,不同的部分订单和反馈的优势将会导致不同的速率对同步。适当大的分数阶和反馈强度会导致快速外同步。此外,mpo也可以意识到的一些反馈优势等于0,虽然同步的速度会慢得多。
5。结论
总之,两个FCNs不同节点之间的mpo动力学和不同的拓扑结构进行了探讨。mpo政权,我们可以观察到不同的外同步模式,选择比例因子,例如,完整的外同步,antiouter同步和振幅死亡。基于分数阶系统的稳定性理论,利用非线性控制耦合方案,得到了一些充分条件,设计合适的控制器。的充分条件和控制器也适用于具有相同的拓扑结构。该技术已成功应用于两个分数阶复杂网络,由陈五个分数阶混沌系统和五个分数阶金融混沌系统。数字证据显示反馈强度和分数阶可以选择适当有效地调整同步的效果。分数阶和反馈强度越大,越快外同步实现。方法可以扩展到混沌系统的条件,部分订单驱动网络和响应网络不一致或混沌系统的复杂网络与不相称的订单。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项研究得到了国家自然科学基金(批准号61374178和61374178),中国辽宁省自然科学基金(批准号201202076),专业高等教育的博士项目研究基金(批准号20120042120010),辽宁省的博士启动基金,中国(批准号。20111001,20111001,20121002)。