文摘
生存问题是控制理论的一个重要的研究领域;相应的理论和实践研究具有深远的意义。在本文中,我们考虑一个仿射非线性混合系统的可行性和混合微分包含与subdifferentiable边界地区。基于非光滑分析理论,我们得到一个方法来验证可行性条件在一个点,当该地区的边界函数subdifferentiable及其次微分许多有限点的凸包。
1。介绍
混合动力系统已经用于描述复杂的动态系统,包括连续和离散系统。这种混合动力系统可以广泛应用于机器人、自动公路系统、空中交通管理系统、制造业、通信网络和电脑同步,等等。有重要的研究活动领域的混合动力系统在过去的十年中涉及多个领域的研究人员(1- - - - - -8]。近年来,系统是一个重要的研究课题的可行性;它已广泛应用于reach-ability和设计安全域。
在混合动力系统的研究,可行性的概念更为普遍。可行性的概念被首次引入奥宾(9]。生存能力属性提供了一个很好的理论框架混合控制器设计问题。许多研究人员认为是问题的可行性分析和混合动力系统的控制10- - - - - -14]。nonsampling生存能力问题研究了奥宾的开创性工作和同事10)用来描述混合脉冲微分夹杂物的行为。
混合动力系统的一个重要组成部分,研究可行性理论包括两个主题。一个是验证可行性条件对于一个给定的集合。另一个是设计一套可行的解决方案在一个可行的。生存条件线性控制系统研究了近年来广泛;参见[15,16]。必要且充分的可行性条件给出了微分包含在8,17),但这是一个艰苦的工作在大多数应用程序中直接检查条件。在文献[10),作者给生存能力的充分必要条件,但它仍然是非常困难的定量判断。高(18]讨论了仿射非线性控制系统的可行性歧视平滑区域;它连续系统给出了一些结果。有一定的局限性的应用文献[18]。的限制是该地区必须光滑;事实上大部分地区的边界非光滑。艾哈迈德认为可行性标准混合微分夹杂物在光滑区域(19]。高(20.]给出了可行性标准微分夹杂物在非光滑区域。
在这篇文章中,我们主要考虑的可行性条件混合微分包含与sub-differentiable边界地区。基于非光滑分析理论,给出方法检查的有效性可行性等情况下的集值映射的右手微分包含的是一个多面体,边界地区sub-differentiable的函数,及其sub-differential有限点集的凸包。
本文组织如下。部分2州的主要假设,定义和描述了混合动力。部分3克服这些限制在文献[18];我们处理的可行性标准混合系统与sub-differentiable边界地区。部分4认为混合微分包含的可行性。部分5显示了一个示例。
2。预赛
考虑到一般形式的非线性控制系统 在哪里表示状态变量,表示控制变量,,是一个李普希茨函数从是哪一个来。
定义1(见[8])。让是的一个子集,对于任何初始状态,如果存在一个解决方案的系统(1),这样对所有;然后我们所说的子集可行的系统(下1);解决方案被称为可行的解决方案。
定义2(见[8])。让是一个非空的子集;切锥的集合在由公式给出 在哪里点的距离吗集。
定义3。让是一个集值映射,它被认为是上半如果和每个,存在,这样意味着对所有;也就是说,。
定义4。让是一个集值映射;据说Marchaud如果下列条件:(我) 上半连续;(2) 是一个非空的凸紧集;(3) 是线性增长;也就是说,存在,这样 对所有。
定义5。让是一个集值映射,如果存在一个常数这样 对所有,然后据说是李普希茨,在那里是一个李普希茨常数。
定义6(见[10),混合微分包含)。一个混合微分包含一个集合,组成一个有限维向量空间,一套价值地图被视为一个微分包含,一套价值地图视为一个重置地图,和一组,视为一套强制转换。
定义7(见[10),混合微分包含运行)。一个混合微分包含的运行是一对组成的混合时间轨迹和一个地图满足:(1)离散进化:,;(2)持续发展:如果,是解决微分包含在时间间隔从,对所有。
我们使用来表示的一组混合微分包含的所有运行从一个国家。
定义8(见[10])。让是一个混合微分包含。一组被称为混合微分包含下可行吗,如果对所有,存在无限运行可行的在。被称为不变下混合微分包含吗,如果对所有,所有运行是可行的。
命题(见[98])。的闭集在系统(据说是可行的1),当且仅当满足以下公式: 对于任何内部点在一组,切锥,因此上述公式是满意。因此,如果我们想要判断上面的公式,我们应该只考虑边界点。
3所示。一个混合动力系统的可行性
讨论的问题,我们假设在接下来的论文。
考虑下面的混合动力系统, 在哪里和都是李普希茨功能。是一个凸集;它表示 在哪里()是凸函数。是一个重置地图,是一个被迫转型。
考虑以下地区: 和(sub-differentiable功能。此外,我们假设sub-differential是一个许多有限点的凸包。
混合时间设置,在那里时间间隔序列。为,它有,尽管。是离散的点转换,后点离散转换;也就是说,
另一方面,我们假设离散过渡并不发生在有限的时间内无限次。一组是一套强制转换;也就是说,离散的转变必须发生在每一个点。没有普遍性,我们假设包含强制转换和一组含有可数的过渡点。为了方便讨论,我们仍然表示()。此外,为了描述uncertainy混合微分系统和确定离散为每个点会发生转变在一组 我们假设 它可以防止系统死循环。显然,在点可能不会跳。
让 自点满足 相当于 因此,设置可以用以下公式: 因为()sub-differentiable,所以也是sub-differentiable;自许多有限点的凸包,sub-differential的也许多有限点的凸包,标记 定义矩阵。
在非光滑优化,两个常用的约束条件:约束条件(8]:存在,这样;约束条件(21]:,在那里
引理10(见[14,21])。如果一组满足约束条件1或约束条件2,然后。
命题11(见[20.])。假定约束资格1或2是满意的;然后,在那里,(),。
引理12(见[10])。考虑一个混合动力系统这样是Marchaud,上半闭域,和是一个闭集。一个闭集吗下是可行的当且仅当(1)
;(2)
,。
在我们国家定理13,我们构造以下不等式系统:
在哪里是一个变量。
定理13。上面的混合动力系统,如果 满足约束条件1或2,那么设置在混合动力系统是可行的吗当且仅当(1)离散转换(或跳)必须:,。(2)为每个定点连续部分:不平等系统(18)是可以解决的。
证明。在上述假设下,足以证明定理13(1)相当于引理12(1)和定理13(2)相当于引理12(2)。
在引理12(1),相当于以下声明:当离散转换(或跳)必须发生的对于每一个,然后转型后的点(或跳)必须在一组。基于上述假设,跳点包含在一组,我们只需要表明,仍将在后跳,。也就是说,()。自,()。因此定理13(1)相当于引理12(1)。
的引理12(2)就足以表明,变化是可能的连续部分过渡,当离散点(或跳点)将不后跳。一组满足约束条件1或2;然后。我们设置在命题9;然后一组在混合动力系统是可行的吗当且仅当满足以下公式:
在哪里是一个固定的点。考虑集合的表达式和;上面的表达式是等价的
显然,上述方程等价于后可以解决的系统:
在(22),我们设置代入;然后我们可以获得(18)。同时,我们可以获得(22),用到(18)。这表明系统(18)相当于系统(22)。这就完成了证明。
4所示。一个混合微分包含的可行性
混合微分包含可以描述一个混合系统在一个广泛的意义。
考虑下面的混合微分系统, 在哪里()功能。是一个重置地图,是一个被迫转型。
考虑以下地区: 在哪里(sub-differentiable功能。我们进一步假设功能sub-differentiable, sub-differential吗有限点集的凸壳。让吗 然后一组可以写成 自(sub-differentiable),sub-differentiable。因为是一个有限点集凸包,sub-differential的也是一个有限点集凸包,用吗
定理14。上述混合微分包含,如果 满足约束条件1或2,那么设置混合微分包含下面是可行的当且仅当(1)离散转换(或跳)必须:,;(2)连续部分:下列线性规划问题的最优值 是零为每个。考虑 在哪里。
证明。在上述假设下,足以证明定理14(1)相当于引理12(1)和定理14(2)相当于引理12(2)。
在引理12(1),相当于以下声明:当离散转换(或跳)必须发生的对于每一个,然后转型后的点(或跳)必须在一组()。基于上述假设,跳点在一组,我们只需要表明,后跳将仍在。也就是说,()。自,()。因此定理14(1)相当于引理12(1)。
在引理12(2),我们注意到,当离散过渡点(或跳点)后跳将不,改变是有可能的连续部分。自组满足约束条件1或2,
此外,
然后条件
以下问题的解决方案
是等价的,也相当于线性规划问题
的最优解是零。这就完成了证明。
引理15(见[10])。让混合微分包含这样是Marchaud和李普希茨,是一个闭集。一个闭集吗下是不变的当且仅当(1) ;(2) ,尽管。
定理16。 是一种混合微分包含如上;如果一组满足约束条件1或2,那么设置混合微分包含下是不变的吗当且仅当(1)离散转换(或跳)必须:,;不确定性部分:,尽管;(2)连续的部分:,,尽管。
证明。在上述假设下,足以证明定理16(1)相当于引理15(1)和定理16(2)相当于引理15(2)。
在引理15(1)验证,我们只需要表明,转型后的点(或跳)必须在一组,当离散转换(或跳)必须发生对于每一个。通过前面的假设,跳点包含在一组表明,点应该还在吗后跳。也就是说,存在(),这样();也就是说,()。此外,对于每一个在过渡(或跳)后,仍会在;也就是说,,。因此,定理16(1)相当于引理15(1)。
在引理15(2),相当于以下声明:如果连续进化是可能的吗的,那么所有的解决方案都在。一组满足约束条件1或2;然后
此外,
然后条件相当于(),完成定理的证明16。
5。例子
这里我们提供一个例子,更好的说明了混合动力系统的类,我们的理论框架是相关的。
考虑微分包含,在那里
我们可以很容易地得出结论是一个sub-differentiable函数,准备好了吗是单位圆的四分之一。(1)可行性的歧视在混合微分包含:通过sub-differential的定义和操作, 显然,点在设置,所以离散转换(或跳)必须发生。跳转后的点。它可以表明这一点在它的内部点集。因此,点在满足了可行性条件。(2)可行性的歧视在混合微分包含:显然,这一点在设置和边界点。可行性的歧视相当于下列线性规划问题(37)的最优解是零 我们可以获得sub-differential;因此,, 因此,线性规划问题减少 很明显,不是约束优化的最优值。因此不满足条件的微分包含的可行性。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。