文摘
本文研究了二阶线性矩阵方程的解决方案在时间尺度上。首先,存在的必要和充分条件介绍了特征方程的解;两个不同解决方案的应用特征方程来表达对时间尺度矩阵方程的通解。
1。介绍
在本文中,我们考虑下面的二阶线性矩阵方程的解决方案: 在哪里,,,三角洲衍生物,向前跳转操作符,,微粒态函数,是一个无限孤立的时间尺度,给出的是哪一个
作为工具,建立一个统一的框架,用于连续和离散分析,介绍了动态方程的理论测量链Hilger在他的博士论文11988年)。在许多情况下,有必要研究测量chains-time尺度的一个特例。在过去的十年时间尺度上的动态系统的调查涉及多有趣,包括相当多的领域,比如微积分理论,动态系统的振荡,特征值问题和边值问题,和偏微分方程在时间尺度上,等等(2- - - - - -5]。到目前为止,很少有关于时间尺度矩阵方程的结果。1998年,阿加瓦尔和bohn [6]研究了二次泛函,对时间尺度二阶矩阵方程;2002年,Erbe和彼得森(7]获得振动标准对时间尺度二阶自共轭矩阵微分方程的系数矩阵的特征值和微粒态函数。时间尺度上的动态系统理论是非常重要的理论意义和广泛的应用。
在相关文献的基础上,研究矩阵的差异或微分方程解的一些结果。1999年,Barkatou [8rational解决方案]提出了一个算法的特殊矩阵差分方程,并讨论了它们的应用程序;2003年,Freiling和Hochhaus [9]研究理性矩阵差分方程的解的一些性质;2004年,徐、张(10)研究的表示矩阵二阶齐次差分方程的通解;2011年,吴和周11)获得特定解决方案的一种二阶矩阵微分方程。由于连续和离散两种特殊情况的时间尺度,因此,我们研究二阶线性矩阵方程的解在时间尺度上。
本文组织如下。部分2介绍一些关于时间尺度的基本概念和基本理论。通过使用矩阵方程的特征方程的解决方案(1)了,它将在部分3。
2。预赛
在本节中,一些基本的概念和一些基本结果介绍了时间尺度。
让是一个非空的封闭的子集。定义向前和向后跳转操作符通过 在哪里,。我们把如果是无限的,否则。多粒的功能是由 让是一个函数上定义。据说(δ)可微的吗如果存在一个常数这样,对于任何,有一个社区的(例如,对于一些), 在这种情况下,表示。如果每一个(δ)可微的吗,然后据说(δ)可微的。如果是可微的,然后
为了方便起见,我们引入以下结果([3引理1]和[4第一章),是有用的。
引理1。让和。如果和是可微的,然后是可微的和
3所示。主要结果
在本文,我们假设是一个可逆矩阵。它遵循从引理1,(6)和(2),矩阵方程(1可以书面形式) 在哪里,,,是单位矩阵。
定义2。这个方程 在哪里,称为特征方程(8)。
定义3。的函数
被称为的特征矩阵和eigenpolynomial (8)。这样一个满足被称为一个特征值的。
为了研究矩阵方程的解决方案(8),我们现在介绍一些关于特征方程的结果(9)。
定理4。如果和存在这样,,然后特征方程(9)解决方案。
证明。让,。然后和的解决方案(9)。
备注5。一般来说,如果和,我们不能轻易得到。
例6。让 然后 很明显,。
定义7。让的特征值。然后 被称为特征子空间的对应于;非零向量的被称为特征向量对应。
定理8。存在特征方程的对角化的解决方案(9)当且仅当的维数特征子空间的总和n;也就是说,,在那里不同的特征值吗。
定义9。让,特征值。扩展向量组如下: 在哪里的多重性,被称为组件的。
定理10。特征方程(9)当且仅当存在一些组件的解决方案的设置在(14),它们是m线性无关的向量扩展。
在下面,我们将讨论的一般解矩阵方程(8)利用特征方程的解决方案(9)。
定理11。如果和是两个不同特征方程的解决方案(9),满足,是可逆的,然后 矩阵方程的通解(8)。
证明。自和有两个解决方案(9),然后 的演绎 因此,可逆性的,我们有 让。它遵循从那 替换和与和在矩阵方程(8),我们得到 让 然后(20.)可以写成 因此,一般的解决方案(21)如下: 在哪里。把到(21),我们可以得到通解(8):
定理12。如果和是两个不同特征方程的解决方案(9),是可逆的,然后 在哪里和矩阵方程的通解(8)。
证明。首先,我们证明(25)是一个解决方案(8)。把(25)(8),我们有
通过使用,,是可逆的,然后我们得到了什么
接下来,我们将证明所有的解决方案(8)可以写入的形式(25)。
显然,通过和,我们有,;然后和的形式(25)。假设的解决方案(8)可以书面的形式(25);也就是说,
然后,它遵循从(8),,的解决方案(9),
通过使用数学归纳法的方法,我们的解决方案(8)可以书面的形式(25)。
确认
这项研究受到了中国NNSF(批准号11071143和11071143),山东的NNSF(格兰特ZR2009AL003号、ZR2010AL016 ZR2011AL007),和山东省教育科学研究和开发项目部门(J11LA01)。