文摘
一个新的四维分数阶混沌系统,无限的平衡分,介绍。无序的行为有其对应integer-order系统。我们获得的最大李雅普诺夫指数4 d分数阶混沌系统是0.8939和产生的混沌吸引子。提出了一种混沌同步方案4 d分数阶混沌系统。数值模拟验证了该方案的有效性。
1。介绍
因为混乱的(系统)的信号可以用在电子工程、通信、信息处理、材料工程等已经受到了人们足够的重视,有效地生成混沌和超混沌系统。许多混乱(系统)系统和分数阶混沌(系统)系统是近年来报道1- - - - - -14),如Lorenz混沌系统(系统)及其对应分数阶系统,和integer-order陈分数阶混沌系统(系统),integer-order和陆分数阶混沌系统(系统)。
然而,以前的所有integer-order和分数阶混沌(系统),许多系统有一个有限数量的平衡。例如,一些混沌系统有一个平衡点15- - - - - -17),一些混沌系统有两个平衡分18),和一些混沌系统有三个平衡分(1,2,5,6,9,10),所以自然和有趣的问题是我们能构建一个混乱(系统)系统具有无限的平衡分?此外,许多分数阶混沌和超混沌系统也为其对应integer-order系统拥有混沌吸引子,那么另一个问题如下:分数阶混沌和超混沌系统无序的行为为其对应integer-order系统?我们所知,一些结果报告上面提到的两个问题。
出于上述的讨论,提出了一种新的四维分数阶混沌系统。这个新的四维分数阶混沌系统有无限数量的平衡的点,和无序的行为为其对应integer-order系统。最大李雅普诺夫指数和混沌吸引子是产生新四维分数阶混沌系统。混沌同步方案提出了新的四维分数阶混沌系统。
2。一个新的四维分数阶混沌系统
现在,一项新的四维分数阶混沌系统构造,描述如下: 在哪里是分数阶,是真实的状态变量。
真正的平衡系统(点1)计算
显然,(,,,)= (0,0,)是真正的平衡系统(点1),是一个任何实数,所以系统(1)无限点真正的平衡。我们所知,这个结果是不同于以前的分数阶混沌和超混沌系统。这意味着我们产生一个新的四维分数阶系统,拥有无限的真正平衡的点。
雅可比矩阵平衡点 及其特征值,,,对所有。因此,在系统平衡分1)是不稳定的。
系统的动态行为1)其对应integer-order系统可以以其李雅普诺夫指数。其对应integer-order系统的李雅普诺夫指数是0,0,−0.779,分别和−12.724。因此,分数阶系统(1)无序的行为,是其对应integer-order系统周期轨道。图1显示了分数阶系统的周期轨道(1)其对应integer-order系统。
(一)
(b)
(c)
(d)
现在,我们讨论分数微分方程的数值解。众所周知,有直接时域逼近(Adams-Bashforth-Moulton数值算法的改进版本)和频域近似非线性分数阶系统(6]。然而,频域近似可能导致错误的后果(19),所以直接时域逼近6数值模拟是用来解决分数阶系统。让,)和初始条件,所以分数阶混沌系统(1)可以离散如下: 在哪里 和
这种近似的误差描述如下:
4 d分数阶系统的动力行为(1)可以表现为其最大李雅普诺夫指数。通过计算机仿真,我们可以获得分数阶系统的最大李雅普诺夫指数(1)是0.8939,所以4 d分数阶系统(1)是混乱的。在图所示的混沌吸引子2。
(一)
(b)
(c)
(d)
根据上述,我们获得一个新的四维分数阶混沌系统,具有无限的真正平衡点。此外,4 d分数阶混沌系统是其对应integer-order系统无序的行为。结果在我们的论文不同于以前的分数阶混沌和超混沌系统。
3所示。混乱的新四维分数阶混沌系统的同步
在本节中,混乱的新四维分数阶混沌系统同步(1)被认为是。基于非线性分数阶系统的稳定性理论20.- - - - - -24),一个同步方案提出,一些数值模拟。
现在,分数阶混沌系统的反应被认为是 在哪里反馈控制器,是真实的状态变量。我们的目标是选择合适的这样驱动系统(1)和响应系统(8)可以实现混沌同步。
同步错误定义。下面的定理1是为了实现分数阶混沌系统之间的混沌同步(1)和分数阶混沌系统(8)。
定理1。如果反馈控制器 分数阶混沌系统之间的混沌同步(1)和分数阶混沌系统(8)可以到达。
证明。结合分数阶混沌系统(1),分数阶混沌系统(8)和反馈控制器(9),我们可以得到以下错误系统
在矩阵
,。
让的一个特征值和是对应的非零特征向量,所以呢
在哪里H共轭转置,的共轭特征值。
根据(12),可以获得一个
因此
所以
这是
非线性分数阶系统的稳定性理论,使用一个能产生的误差系统(10)是渐近稳定的,所以
方程(17)表明,分数阶混沌系统之间的混沌同步(1)和分数阶混沌系统(8可以实现)。完成证明。
现在,数值模拟被认为是。计算结果如图所示3的初始条件传动系统(1),反应系统(8),分别。
(一)
(b)
(c)
(d)
4所示。结论
在这篇文章中,我们获得一个新的四维分数阶混沌系统,具有无限的平衡分和无序的行为为其对应integer-order系统。我们产量最大李雅普诺夫指数的新四维分数阶系统和其对应integer-order系统的李雅普诺夫指数。的新四维分数阶混沌系统的混沌吸引子和其对应integer-order系统的周期轨道。最后,我们意识到新四维分数阶混沌系统的混沌同步,和一些数值模拟。
确认
这项工作是支持的科学和技术基础项目重庆市教育委员会(KJ110525 KJ100513)和由中国国家自然科学基金(61104150)。