文摘
本文研究了布西涅斯克方程摄动由乘性白噪声和显示全球解决方案的存在性和唯一性。也得到了一些规律性的结果独特的解决方案。
1。介绍
热工水力的布西涅斯克方程是一个数学模型,由布西涅斯克流体方程和温度的近似。研究了确定性情况下系统由许多作者(例如,看到1- - - - - -3])。然而,在许多实际情况下,小的不规则性必须被考虑。因此,有必要增加方程随机力,一般一个时空白噪声,被许多作者视为最近其他方程(见[4- - - - - -11])。布西涅斯克方程的随机吸引子与乘法噪声调查(12]。在本文中,我们将研究随机布西涅斯克方程的摄动与乘性白噪声。
我们将考虑以下随机二维布西涅斯克方程摄动的乘性白噪声Stratonovich形式:
由流体域占领,,规范化的基础吗。未知的,,的速度矢量,温度和压力,分别。顶部的温度,,而下面的温度边界,。固定的数字,,与通常的普朗特、格拉晓夫和瑞利数。
是双面的维纳过程在概率空间吗,在那里,是波莱尔紧开拓引发的代数拓扑的,是一个维纳的措施。
我们补充(1)和边界条件如下:
当一个初值问题是,我们补充这些方程
紧凑的随机吸引子的存在及其分离,研究了分形维数估计(12]。我们将解决pathwise (1)- (3)。通过使用Faedo-Galerkin近似和先验估计,证明全球解决方案的存在性和唯一性,表明解连续依赖于初始值。我们也得到了一些规律性的结果的解决方案。
2。数学背景和基本的估计
让 和改变来;然后(1)可以写成 让这个过程 然后,如果我们让 我们得到新的方程(没有随机微分出现) 与边界条件 和初始值条件
解决(8)- (12),我们考虑到希尔伯特空间与标量产品()和规范,在那里和 我们也考虑到子空间的,在那里函数的空间吗消失在和和周期性的方向。是一个标量产品和常态的希尔伯特空间吗 和。我们也表示,和规范化标量产品和规范和。
双线性形式 决定了一个线性同构从成从到双空间,定义为 与,在那里 四个空格,,,满足 和所有嵌入人口连续注射。众所周知,自伴的和积极的吗一个紧凑的自伴的在吗。
我们也考虑到三线的形式在定义为 包含三条线的形式上是连续的甚至在。我们交往形式双线性连续操作符这地图成和成,定义为 最后,我们定义了连续的运营商在 现在,我们可以设置(8)算子的形式。如果的解决方案(8),一个测试函数在吗,我们用(8)和(9),积分,并添加生成的方程。我们发现压力项消失之后,简化 可以重新解释为哪一个 注意,这个方程不同于确定的情况下,在确定情况下,家庭运营商是独立的时间。初始条件(12可以重新解释 解决(23)- (24),我们也需要一些水列夫规范双线性估计和运营商和。
引理1。双线性运算符和连续和满足(我) ,对所有 ,(2) ,对所有 ,(3) ,对所有 ,,(iv) ,对所有 ,,
在哪里 ,,合适的常数, , 。
证明。证明是一样的确定性情况(见[10])。
引理2。线性连续的运营商和满足
证明。由(21),我们有 这意味着由庞加莱不平等吗 (25)适用。自,它遵循从(25),(26)适用。
引理3。双线性形式在满足
3所示。存在性和唯一性
在本节中,我们将证明的存在性和唯一性的全球解决方案(23)- (24),相当于(8)- (12)或(1)- (3)。我们几乎肯定工作了。
定理4。假设,那么存在一个独特的解决方案(23)- (24),这样 和映射是连续的H成D(一个),为所有。
证明。自是自伴的紧凑的运营商,它遵循经典谱定理存在一个序列和一个家庭的元素这是完全正交的这样
为每一个我们寻找一个近似解下面的形式:
令人满意的
和初始条件
在哪里投影仪的(或张成的空间)。自和上下班,相当于上述方程
在哪里
针对线性的。
的存在在任何有限区间遵循标准的结果的常微分方程的解的存在性是这些结果的结果,下面的先验估计:
实际上,乘以(34),总结这些关系注意的是,(通过引理1),我们发现
这意味着通过引理2,(29日),年轻的不平等
也就是说,
在哪里定义在(29日),是一个合适的常数。使用古典Gronwall引理,我们发现
积分(41)从0到和使用上述估计
在哪里和是独立的。因此,我们已经证明(38)。
我们还声称,
事实上,它遵循从引理1那用适当的常数c一起,(38),意味着因此仍然有界。因为两个运营商和是连续的(前题2和3从(),它是38),因此仍然有界。因此,通过(36),
仍然有界证明(44)。
弱紧性,它遵循从(38)和(44),存在一个,尽管子序列仍然用,这样
我们通过限制在(34),发现
这意味着满足(23)。特别是,。这意味着,10,引理II.3.1]从[几乎等于一个连续函数到。因此初始条件(24)是由通道的限制(35)。遵循从[10引理II.3.2]和事实和。此外,如果我们表明,独特性,那么这一事实,尽管,意味着。
证明的连续依赖性和独特性在(在),我们让的解决方案(23)- (24),这样。类似于(39),必须满足能量平等吗
通过使用前题1- - - - - -3Gronwall引理,我们得到以下类似的估计:
这证明了连续的依赖。的独特性,我们让有两个解决方案(23)- (24),。然后也是一个解决方案。因此,(49)意味着,也就是说,。
4所示。规律的结果
在本节中,我们将考虑进一步的规律性结果唯一解。主要结果是,,因此提供了初始功能。更准确地说,我们有以下。
证明。让近似解(33在定理的证明4。我们第一次声称
实际上,乘以(34),总结这些关系和使用(32),我们发现
由引理1(iv)和年轻的不平等,我们发现
为通过引理2,(25),和年轻的不平等,我们有
注意的是,
和,我们发现从(52)和所有上述估计
由(38),是有界的。加之引理3,意味着(56)可以写成
对于一些合适的常数。Gronwall引理,它遵循从(57)和(38),
这意味着通过引理3再次,仍然有界。积分(57)来,我们有
这证明了第二个参数(51),因此(51)持有。
把限制在(51通过弱紧性)(),然后我们发现是在。我们也需要证明你是连续的成。这是证明如下。
自和人口连续注入,它遵循从[10,引理II.3.3]是弱连续;也就是说,是连续的,每。类似的是连续的,每。因此,通过限制在(52)和应用10引理II.3.2],我们获得一个平等类似于(52):
拥有分布意义上的。自,它遵循从引理1和引理2那
因此,这意味着,10,引理)函数是连续的。因此,自是一个标准相当于(通过引理3),它遵循为规范拓扑是连续的。
承认
这项工作是支持的科学和技术基础项目重庆市教育委员会(KJ100513)。