非线性和混沌行为广泛而自然地出现在许多离散动力系统;其研究导致了巨大的多学科研究领域从自然科学(力学、化学、生物学、生态学、等)的社会科学(经济学、社会学等)和工程(电子、控制、通信、安全、等)。最近的进步动力系统理论和计算方法提供了新的方式来理解这种复杂现象通过新颖的工具和应用程序的离散非线性动力学。
这个特殊的问题包含十个论文,其中八个研究混沌行为在一些实用的模型从有趣的领域,比如Cournot-Bertrand双寡头博弈模型,灌溉用水的价格博弈模型,一个susceptible-infected-susceptible (SIS)模型,信用风险转移(CRT)市场模型中,肿瘤的生长模型,一个分数阶系统,神经网络,和矩形板。还有两个理论论文关注极限环的分岔周期轨道和全球解决方案的存在性和唯一性随机布西涅斯克方程,分别。
详细研究了两种游戏模式在这个特殊问题作为典型的离散时间系统。”复杂性分析Cournot-Bertrand双寡头博弈模型与有限的信息h . Wang和j·马提出了Cournot-Bertrand混合博弈模型,在线性需求市场已经和两家公司有相同的固定的边际成本,并显示复杂的动力学,如分岔的场景和路线混乱,以及参数盆地数值实验。”分岔和混沌的价格在沿海灌区灌溉用水”的游戏b .鑫和y李着重讨论了稳定和codimension-two倍周期(抛)分岔的价格博弈模型与数值bifurcation-based延续的方法,和0 - 1测试算法用于计算相关系数的中值表明混沌动力学。
数学模型在现实世界中往往时间连续系统或混合系统。研究非线性动力学,一个经常将它们转换为离散系统。一个常见的方法是用精心挑选的stepsize离散化的时间。”一个离散SIS模型的分岔和混沌行为j·李和n崔获得离散传染病模型和欧拉方法,并展示了丰富而复杂的动力学行为,如超临界分岔,翻转分叉,霍普夫分岔,和混乱。”信用风险传染的动力学演化CRT市场”t .陈等人介绍了一种非线性动力学模型来描述进化的动态行为特征的信用风险传染通过数值模拟和报告的一系列霍普夫分岔和混沌现象的过程中信用风险传染。”具逐段常变量建模肿瘤增长”f . Bozkurt构造两个模型的肿瘤生长,表明增加的人口增长率降低正平衡点的局部稳定性。”分数阶混沌系统与无限数量的平衡”p .周等人研究一个新的四维分数阶系统混乱,无限数量的平衡的点,也提出了一种混沌同步方案。
另一个常见的方法使离散时间连续系统利用庞加莱映射返回。”多脉冲heteroclinic轨道和混沌动力学的叠层复合压电矩形板“m .姚明和w·张演示了如何使用阶段的能量方法分析Shilnikov类型多脉冲heteroclinic高维非线性系统的分岔和混沌动力学在工程应用。”马蹄混乱3 d神经网络与不同的激活函数“通过f·杨等人研究一个小神经网络有三个神经元。尽管网络是一个简单的混合动力系统与子系统指数稳定,他们发现网络可以表现出非常复杂的动力学,如极限环和混乱,这意味着混乱与它的权重矩阵比激活函数的类型。
极限环,以及他们的数量和分布,是重要的理解状态空间的几何结构。”分岔的一类分段线性微分系统的极限环R4与三个地区”y程研究极限环的分岔周期轨道的四维系统的平均方法,并显示,当参数是足够小,最多六个极限环分叉从周期轨道在一个类的不对称分段线性摄动系统。
解的存在性和唯一性为每个动力系统的一个基本问题。”与乘性白噪声扰动的随机布西涅斯克方程”赵c·杨和x研究乘性白噪声的布西涅斯克方程摄动,并显示全球解决方案的存在性和唯一性。他们还得到唯一解的一些规律性的结果。
所选论文的主题在这个问题上当然不覆盖整个多学科领域。而是代表富人和电大的结果,我们与读者分享的乐趣。
因为大多数动力系统没有明确的解决方案,它通常是一个艰巨的任务,从理论上分析复杂的离散非线性行为。尽管数值方法适用于大多数系统,它是经常被批评,因为数值错误,增加计算成本。结合理论和数值研究,如上述论文的部分可能是一个强大的方法。区间算法在大规模的计算设备,非线性行为,如极限环,同宿/ heteroclinic轨道,甚至混乱,可以学习严格,和状态空间的复杂的几何结构,分析了参数空间也可能揭示机制背后的复杂的行为,这对科学和工程的目的是很重要的。
确认
我们想表达我们的感谢作者为其卓越的贡献和耐心的帮助我们。所有评论者在这些论文的基本工作也非常极大地承认。此外,李问:还想感谢中国国家自然科学基金(61104150)和重庆杰出青年科学基金(cstc2013jcyjjq40001)。
Qingdu李
蒂莫西·j·希利
Xiao-Song杨
现任廖