文摘gydF4y2Ba

本文处理的非线性微分方程解的有界性四阶。利用柯西公式与常系数非齐次微分方程的特解,我们证明解决方案及其衍生物三个是有界的。gydF4y2Ba

1。介绍gydF4y2Ba

在本文中,我们研究四阶非线性微分方程解的有界性:gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba及其一阶导数是连续函数根据参数显示。此外,该功能gydF4y2Ba和gydF4y2Ba振荡在下列意义:为每个论点吗gydF4y2Ba,存在数字gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba要么是gydF4y2Ba或gydF4y2Ba,gydF4y2Ba要么是gydF4y2Ba或gydF4y2Ba,所有恢复的根源gydF4y2Ba是孤立的。gydF4y2Ba

应该注意,存在许多论文处理某些非线性微分方程解的有界性,第三和第四阶在文献[gydF4y2Ba1gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba15gydF4y2Ba]。四阶非线性微分方程,Afuwape和AdesinagydF4y2Ba1gydF4y2Ba)使用的频域方法讨论解的稳定性和周期性,而Tunc和Tiryaki [gydF4y2Ba11gydF4y2Ba,gydF4y2Ba12gydF4y2Ba]使用内在的方法来研究解的有界性和稳定性。在同一时间,Tunc [gydF4y2Ba13gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba15gydF4y2Ba)使用李雅普诺夫第二方法调查方案的稳定性和有界性性质的某些四阶非线性微分方程。此外,其他报纸在这个连接包括安德烈斯(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba],Ogundare [gydF4y2Ba6gydF4y2Ba],Omeike [gydF4y2Ba7gydF4y2Ba,gydF4y2Ba8gydF4y2Ba),柯西公式应用于评估解决特定的有界性与振荡恢复第三和第四阶非线性微分方程,并迫使条款。gydF4y2Ba

这项工作的目的是扩展和改进之前的研究做出一些贡献文献只有少数论文四阶微分方程的解的有界性与振荡恢复,并迫使条款(见[gydF4y2Ba6gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba8gydF4y2Ba])。这里应该注意的是,方程考虑,(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba),包括和延伸的Ogundare [gydF4y2Ba6gydF4y2Ba]和Omeike [gydF4y2Ba7gydF4y2Ba,gydF4y2Ba8gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

2。初步结果gydF4y2Ba

我们需要以下引理的证明我们的主要结果。gydF4y2Ba

引理1。gydF4y2Ba假设存在一个正的常数gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba下列条件适用于所有gydF4y2Ba和gydF4y2Ba:gydF4y2Ba(我)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(2)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(3)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba(iv)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
然后,每个解决方案gydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)满足gydF4y2Ba 前提是gydF4y2Ba
注意,常量gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba确保辅助方程满足条件gydF4y2Ba 有负的实际根源。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba替换gydF4y2Ba我们从(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba),gydF4y2Ba 解决方案的形式gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba是一个任意常数和gydF4y2Ba是一个伟大的足够的数量。让我们假设的假设(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)举行。因此,通过引理的条件gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,因为gydF4y2Ba,我们没有gydF4y2Ba 但也gydF4y2Ba
这就完成了引理的证明gydF4y2Ba1gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

引理2。gydF4y2Ba除了引理的假设gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,假定下列条件之一:gydF4y2Ba(我)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(2)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba是一个合适的常数。然后,每一个有界的解决方案gydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)满足的关系gydF4y2Ba 或存在一个根gydF4y2Ba的gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba震荡。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba让gydF4y2Ba是一个固定的有界解(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)。用这个解决方案(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)和整合的结果gydF4y2Ba来gydF4y2Ba(gydF4y2Ba——伟大的足够的数量),我们获得以下:gydF4y2Ba
通过注意的假设(2)的引理gydF4y2Ba1gydF4y2Ba解的有界性gydF4y2Ba因此,存在一个常数gydF4y2Ba为gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba
现在让我们假设gydF4y2Ba不收敛于根吗gydF4y2Ba的gydF4y2Ba,也就是说,gydF4y2Ba 同时,gydF4y2Ba
然后,gydF4y2Ba 显然是一个由单调函数与一个有限或无限的限制gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
自(gydF4y2Ba13gydF4y2Ba)意味着“发散”可以无视,然后它遵循从(gydF4y2Ba15gydF4y2Ba),不仅gydF4y2Ba 但也gydF4y2Ba 持有,否则如果(例如,gydF4y2Ba)(gydF4y2Ba15gydF4y2Ba)一起的根源这一事实gydF4y2Ba是孤立的收益率gydF4y2Ba 这是一个矛盾(gydF4y2Ba17gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba
因此,估计(gydF4y2Ba14gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba18gydF4y2Ba)暗示gydF4y2Ba 因此,存在这样一个序列gydF4y2Ba和一个常数gydF4y2Ba这样(在下面,gydF4y2Ba表示之间的距离gydF4y2Ba和gydF4y2Ba)gydF4y2Ba(gydF4y2BaαgydF4y2Ba)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(gydF4y2BaβgydF4y2Ba)gydF4y2Ba
持有。因此,估计gydF4y2Ba 意味着gydF4y2Ba 或gydF4y2Ba
然而,根据引理的断言gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,这种情况下是不可能的,这就是为什么gydF4y2Ba一定振荡。剩下的部分引理gydF4y2Ba2gydF4y2Ba从断言之后吗gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba是一种天然的数量和gydF4y2Ba。这就完成了证明。gydF4y2Ba

引理3。gydF4y2Ba除了引理的假设gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,假定下列条件之一:gydF4y2Ba(我)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(2)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(3)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba(iv)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba是合适的常数。然后,对于每一个有界的解决方案gydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba),存在一个根gydF4y2Ba的gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba震荡。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba如果引理gydF4y2Ba3gydF4y2Ba根据引理不持有,那么gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,(gydF4y2Ba11gydF4y2Ba)持有和第五的导数gydF4y2Ba满足gydF4y2Ba
因此,假设的前题gydF4y2Ba2gydF4y2Ba和gydF4y2Ba3gydF4y2Ba,我们有gydF4y2Ba
因此,的有界性gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba因此,存在一个常数gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba 根据(gydF4y2Ba24gydF4y2Ba),给下面的估计:gydF4y2Ba 或gydF4y2Ba 这是一个矛盾gydF4y2Ba。这就完成了引理的证明gydF4y2Ba3gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

我们现在给本文的主要结果。gydF4y2Ba

3所示。主要结果gydF4y2Ba

定理4。gydF4y2Ba或许有人认为,存在积极的常量gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba这样,对于gydF4y2Ba和gydF4y2Ba持有下列条件:gydF4y2Ba(我)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba(2)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba(3)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba(iv)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba(v)gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba
在哪里gydF4y2Ba是根gydF4y2Ba与gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,gydF4y2Ba表示的两个相邻的根源gydF4y2Ba。然后,所有的解决方案gydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)是有限的,对每个人来说,存在一个根gydF4y2Ba的gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba震荡。gydF4y2Ba

证明。gydF4y2Ba让我们假设,相反,gydF4y2Ba是一个无限的解决方案(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba),也就是说,gydF4y2Ba。然后,引理gydF4y2Ba1gydF4y2Ba意味着大量的存在gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 与gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,足够小的常数。gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba最后一点gydF4y2Ba(gydF4y2Ba甚至)和gydF4y2Ba第一点,gydF4y2Ba。如果我们把(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba来gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,我们来gydF4y2Ba
因此,在替换gydF4y2Ba和gydF4y2Ba与gydF4y2Ba和gydF4y2Ba分别为gydF4y2Ba,我们有gydF4y2Ba。乘(gydF4y2Ba31日gydF4y2Ba)gydF4y2Ba,我们获得gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba是一个任意常数,小矛盾gydF4y2Ba。其余的部分定理遵循从引理gydF4y2Ba3gydF4y2Ba;因此,我们忽略的细节证据。证明已经完成。gydF4y2Ba

例5。gydF4y2Ba考虑微分方程gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba与gydF4y2Ba和gydF4y2Ba,因为gydF4y2Ba,振荡和方程gydF4y2Ba 有负的实际根源。一个简单的计算(符号)早些时候给gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba。的条件(gydF4y2Ba)的定理,因为gydF4y2Ba,然后的根源gydF4y2Ba是gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba和gydF4y2Ba是相邻的两根的gydF4y2Ba。gydF4y2Ba
因此,gydF4y2Ba
自gydF4y2Ba,那么所有定理的条件感到满意;因此,所有的解决方案gydF4y2Ba上述微分方程及其衍生品订单三个是有界的,对每个人来说,存在一个根gydF4y2Ba的gydF4y2Ba这样gydF4y2Ba震荡。gydF4y2Ba