文摘
在本文中,我们研究的伪微分方程的解决方案的类型在进现场,在那里是一个进部分伪微分算子。如果Bruhat-Schwartz函数,那么存在一个分布,一个基本的解决方案,这样是一个解决方案。我们还表明,该解决方案属于某个水列夫空间。此外,我们提供的连续性和唯一性条件。
1。介绍
近年来,进分析已经收到了大量的关注由于其在数学物理中的应用;见,例如,(1- - - - - -11)和引用。因此,出现了新的数学问题,其中,研究进伪微分方程;见,例如,(10- - - - - -16)和引用。在本文中,我们研究的解决方案进部分伪微分方程在索伯列夫空间类型。
一个进部分伪微分算子1992年被定义为苏(17),是一个操作符的形式 为,在那里和表示傅里叶变换和傅里叶反变换,表示Bruhat-Schwartz函数的向量空间进字段,是一个正实数。一个进部分伪微分方程是一个方程的类型 如果,然后有一个分布,一个基本的解决方案,这样是一个解决方案。
我们还将显示(2)有一个解决方案属于某个水列夫空间。此外,我们提供的连续性和唯一性条件。
2。预赛
我们使用Taibleson中的符号表示的书18]。让我们修复一个质数。这个领域的进数字定义为完成有理数的领域关于进规范,定义如下: ; 如果一个任意的有理数被表示为,在那里和整数和不整除。
的进规范满足三角不等式。
任何进数量可以作为系列独有的吗 收敛的进规范(规范的)。
定义加法和乘法的逐位运算在(从左到右,或不带),在当地是一个紧凑,非离散的、完整的、完全不连通拓扑领域。
表示由整数的戒指,。让表示哈尔测度归一化的条件。表示由 分别球和半径的球体中心的中心。很明显,,。
复值函数上定义如果任何被称为局部常数存在一个整数令人满意的 表示由所有本地常数的线性空间的功能。被定义为所有局部常数函数的线性空间紧凑的支持。
的收敛点有以下定义:,当且仅当对任何紧凑的子集,,持有一致。的收敛性具有以下意义:,当且仅当存在指数和不取决于什么,这样的功能支持的球和常数的陪集,,保持一致的。然后,和完成拓扑线性空间。同时,表示,Bruhat-Schwartz函数空间。
表示由Bruhat-Schwartz函数的空间分布空间。是一个完整的拓扑线性空间下双拓扑。的收敛点有以下定义:当且仅当,适用于任何。
的傅里叶变换被定义为下面的公式: 和傅里叶反变换通过 在哪里是一种添加剂的特点,价值在和。傅里叶变换和傅里叶反变换映射成。
傅里叶变换的分布标准定义的关系吗,。
1992年,苏17给了导数的定义进当地的领域,包括衍生品的部分订单和真正的订单。
让和。其所扮演的角色是伪微分算子的运算符这是定义为 为。很容易看到。与 定义的域可以扩展的空间。因此,我们也有与和。
定义1。如果,然后被定义为进阶导数的秩序在。如果,然后被定义为进积分的顺序在。如果,对于任何,然后被称为标识符。
在[19,20.),秋和苏构造卷积算子的内核。考虑
在哪里
在这里,指示性的函数集吗令人满意的,是一个分布定义为
3所示。水列夫的伪微分方程类型空间的解决方案
现在我们考虑下面的伪微分方程: 我们说是一个基本的解决方案(13)如果是一个解决方案。
引理3。如果是一个基本的解决方案(13),然后为任意常数,也是一个基本的解决方案。
证明。让是一个基本的解决方案(13),然后 因为常数函数,的域。
定理4。基本的解决方案(13)是
证明。我们使用的定义(8),然后
存在的一个根本的解决方案相当于一个分布的存在吗令人满意的
分布。由引理2,我们有
然后,。由(11),定理4是证明。
接下来我们将介绍一些相关的空间进字段(参见[20.])。
夹式空间,:(1)为,我们定义连续函数空间;(2)为,我们定义所有发行版与Littlewood-Paley分解关于以下规范:
因此,成为巴拿赫空间与上述标准。
水列夫类型空间,:
在哪里表示可测函数的集合在满足的条件。
引理6。对于任何和,映射是一个定义良好的连续的巴拿赫空间之间的映射。
证明。让。我们有 结果遵循的事实是密集的。
定理7。让 是一个进部分伪微分算子。让是一个正实数满足。然后,这个方程 有一个独特的均匀连续解。
证明。让,因为是密集的我们有
这样,我们的存在。由引理5,是均匀连续的。
最后,我们表明,是独一无二的。事实上,如果,然后
,因此,。然后,几乎无处不在,更不必说了几乎无处不在,和连续性的,对于任何。定理7是证明。
4所示。结论
在这部作品中,伪微分方程类型在进现场进行调查,是一个进部分伪微分算子。方程的基本解。和的连续性和唯一性的解决方案这属于水列夫类型空间得到的时候,使用显式计算的基本解决方案的方法。
确认
作者要感谢学术编辑Thabet Abdeljawad和所有匿名评论者的支持,帮助作者提高纸。这项工作是由中国国家自然科学基金支持下国家自然科学基金委重点学科11071109和11071109号和程序开发江苏高等教育机构(PAPD)。