文摘

我们得出几个充分条件最终正解的单调性的一类二阶摄动非线性差分方程。此外,我们获得一些不存在的标准最终正单调解这个方程。提供例子来说明我们的主要结果。

1。介绍

差分方程理论及其应用得到了密集的关注。在过去的几年中,新的研究成果不断出现(见[1- - - - - -7])。其中,在3),猎隼考虑二阶非线性时滞差分方程

猎隼使用黎卡提微分变换技术来获得一些充分条件,保证每个解决方案(1)或振荡收敛于零。在[4),早期等人被认为是更一般的二阶方程

他们发现上述解决方案的必要条件方程的振荡或倾向于零。遵循这一趋势,本文涉及二阶摄动非线性差分方程 在哪里 是一个积极的序列, 是两个连续函数, 向前差分算子定义为 。

在[8),李和Cheng认为的特殊情况(3)

他们得到了充分条件渐近单调的解决方案(4)。开明的,8,9),在这篇文章中,我们得出几个充分条件最终正解的单调性(3),获得一些不存在的标准最终积极的单调的解决方案(3)。我们的结果改进和推广结果在8]。我们还提供了示例来演示我们的主要结果。

为了方便起见,这些基本条件中使用的主要结果如下: 存在一个连续函数 这样 对所有 ; 是一种可诱导的功能和 为 ; 存在两个序列 和 ,这样 和 为 ; , 是一个正整数,

在哪里 , 和 都是在(3)。

2。主要结果

我们第一次结果与正序和积极不减少的功能。它可以找到证据(8]。

引理1(见[8])。让 是一个积极的不减少的函数定义 。让 是一个真正的序列等 为 。然后

定理2。假设条件下 - - - - - - 持有, 和 满足下列条件: ;
对所有 。最终正解的3)最终单调递增。

证明。假设 是一个积极的解决方案(3),说 为 。如果结论不能保持,没有任何损失的通用性,假设 鉴于(3)和条件,我们有 通过总结(6) 来 ,然后
利用条件 ,我们知道 为 。加法(3),用 ,我们有
通过总结(8),然后我们看到 这与事实相矛盾 。证明已经完成。

例3。考虑到差分方程 在哪里 是任何函数 和 。通过 ,我们有
因此定理的条件2持有。由定理2,(10)有一个积极的单调递增的解决方案 。

定理4。如果条件 - - - - - - ,存在 和 为 这样
最终正解 (3最终单调递增或 。

证明。假设 是一个积极的解决方案(3),有 这样 为 。让 ,
如果 ,然后存在 和一些 这样 为 ;鉴于(7),我们得到
加法(14),并利用引理1,我们知道
通过 ,右侧(15)往往 作为 ,而左边是有限的。这一矛盾完成我们的证据。

例5。考虑到差分方程
通过 ,我们有 。因此定理的条件4持有。由定理4,(16)有一个积极的单调递增的解决方案 。

定理6。如果条件 - - - - - - 持有, 适用于所有 。最终正解 (3)最终最终单调递增或单调递减 。

证明。假设 是一个积极的解决方案(3),有 这样 为 。让 和 ,然后存在 这样
从(7),我们有
如果 ,然后存在 这样 。是没有害处的假设 为 。加法(19),我们得到 这是一个相反。证明已经完成。

例7。考虑到差分方程 在哪里 是任何函数 和 。通过 ,我们有
因此定理的条件6持有。由定理6,(21)有一个单调递减积极的解决方案 。

定理8。如果条件 - - - - - - 持有和 ; 对所有 。
最终正解的3)最终单调递增。

证明。假设 为 , 是一个解决方案(3), 。如果结果没有,没有任何损失的通用性,假设 。鉴于(7),我们看到
加法(23),利用引理1,我们知道
这是一个矛盾。证明已经完成。

备注9。在定理2和4、条件 是至关重要的;用积极的方面即系列 是不同的,但它不是必需的定理6和8。

备注10。最终正解定理4和8在增加并不一定在定理吗6。
接下来,我们将得到一些不存在标准最终积极的单调的解决方案(3)。

定理11。如果条件 - - - - - - 持有和
然后,(3最终)不能有任何积极的单调递增的解决方案。

定理的证明11是显而易见的。如果 最终是一个积极的解决方案,增加的条件下,(7)是一个相反。

定理12。如果条件 - - - - - - ,有一个非负序列和非简并 这样 适用于所有 。然后,(3)不能有任何最终积极不减少的解决方案。

证明。假设 是一个积极的解决方案(3),有 这样 和 为 。乘(7) ,我们有
所以我们获得
这是违反我们的条件。证明已经完成。

定理13。如果 和 持有, 是一个不减少的序列, 是一个不减少的函数,是一个非负序列 ,在那里 是有界的, 对所有 ; , 。
然后,(3最终)不能有任何积极的单调递增的解决方案。

证明。假设 是一个解决方案(3)和存在 这样 和 为 。乘(3) 和求和 来 再次,我们有
也就是说,
作为 是一个不减少的序列,我们得到了什么
因此
从(30.),我们得到 利用引理1和条件,我们有
通过让 我们看到左边(33)是有限的,这是违反我们的条件 。证明已经完成。

通过定理的证明13,我们得到

推论14。如果 , , 持有, 是一个不减少的序列, 是一个不减少的函数,是一个非负序列 , 是有界的, 为 。然后,(3)不能有任何最终正不减少的有界解。

推论15。假设 , , 持有, 是一个不减少的序列, 是一个不减少的函数,是一个非负nonincreasing序列 。然后,(3最终)不能有任何积极的单调递增的解决方案。

定理16。假设 , , 持有, 是一个不减少的函数,然后呢 对所有 ; 。
然后,(3)不能有任何最终积极不减少的解决方案。

证明。相反,假设存在 这样 和 为 是一个解决方案(3)。通过(3), ,我们得到 通过总结(35) 来 ,从而
作为 是一个不减少的函数,我们知道吗 ,所以
鉴于引理1,我们看到,
这一矛盾建立我们的断言。

通过定理的证明16,我们获得以下。

推论17。假设 , , , 持有, 是一个不减少的函数。然后(3)不能有任何最终正不减少的有界解。

确认

作者非常感谢裁判对她/他的宝贵的建议。这项工作是由美国国家科学基金会支持的中国(11271235)、山西省(2008011002 - 1),山西大同大学(2009 - y - 15, 2010 - b - 1),科技研究和开发项目在山西省高等教育机构(20111117,20111117),和山西省的国际合作项目(2010081005)。