文摘
在分数微积分,有两种方法来获取部分衍生品。第一种方法是通过迭代,然后定义一个分数阶积分利用柯西公式获得黎曼积分分数和衍生品。第二种方法是通过迭代,然后定义一个分数阶导数利用二项式定理获得Grunwald-Letnikov部分衍生品。在本文中,我们制定的三角洲和离散微分算符版本左右部分积分和衍生品代表了第二种方法。然后,我们使用离散版本的Q-operator和一些离散分数双重身份证明了分数差异和资金配合离散黎曼的描述第一种方法。
1。介绍和预赛
分数阶微积分(FC)在理论和应用方面发展非常快。因此,密集使用FC和在过去的几十年里成功来描述复杂系统出现的异常流程(1- - - - - -6]。最近,重要结果分数微积分及其应用领域的报道(见例如,[7- - - - - -10),在其中的引用)。现实世界现象的复杂性是一个伟大的灵感来源研究人员发明新的分级工具能挖多少七星到大自然的奥秘。历史演进的FC通过不同时期,它开始面对最近一个新的挑衅:如何正确地制定其离散同行(11- - - - - -24]。在这个阶段,我们需要强调这样一个事实:在经典的离散方程的根是基于功能的差分方程,因此,自然的问题是找到这些方程的推广到分数情况。换句话说,我们最终将与概括的基本运营商发生在标准的差分方程。预计,有几次试图这样做泛化以及应用这种新技术来研究一些复杂的动力学过程。近年来,离散相对应的分数Riemann-Liouville,卡普托,研究主要考虑如何应用技术从时间尺度计算分数运算符的表达式。尽管结果之美,一个简单的问题:我们可以获得相同的结果从一个新的角度更简单,更直观?所有上述认为记住我们要使用二项式定理为了得到Grunwald-Letnikov部分衍生品。之后,我们证明,获得的结果与那些获得的离散化Riemann-Liouville算子。通过这种方式,我们认为,它变得更清楚的分数差分方程带来新的相关描述复杂现象的描述。
对于一个自然数分段多项式定义为 在哪里表示特别的伽马函数和产品时是零对于一些。更普遍的是,对于任意的,定义 在部门的会议极收益率为零。考虑到前后不同运营商定义的 分别,我们定义迭代的运算符和,在那里是一种天然的号码。
这里有一些阶乘函数的属性。
引理1(见[13])。假设下面的阶乘函数是定义良好的。(我) 。(2) ,在那里。(3) 。(iv)如果,然后对于任何。(v)如果,然后。(vi) 。
同时,对于我们的目的,我们列出了以下两个属性,证明是简单的:
为了微分算符分数微积分,我们有以下定义。
定义2(见[25- - - - - -28])。(我)一个自然数,上升(上升)的阶乘被定义为
(2)对于任何实数,函数被定义为上升
关于阶乘函数上升,我们观察到以下几点:(我)吗? (2)吗? (3)吗?
符号:(我)对于一个真正的,我们设置,在那里是最大的整数不到。(2)为实数和,我们表示和。(3)为和真正的,我们表示 (iv)为和真正的,我们表示
下面的定义和属性之后可以在[29日)和引用。
定义3(见[29日])。让和分别是向前和向后跳运营商。然后(我)(δ)左部分的订单(从)被定义为 (2)(δ)的分数总和(结束)被定义为 (3)(微分算符)左部分的订单(从)被定义为 (iv)(微分算符)的分数总和(结束)被定义为
对于三角洲左部分款项,我们观察如下:(我) 地图上定义的函数函数定义在。(2) ,,满足初始值问题: (3)柯西函数消失在。
关于三角洲的部分款项,我们观察如下:(我) 地图上定义的函数函数定义在。(2) ,,满足初始值问题: (3)柯西函数消失在。
关于微分算符左部分款项,我们观察如下:(我) 地图上定义的函数函数定义在。(2) 满足阶离散初始值问题: (3)柯西函数满足。
关于微分算符正确的分数总和我们观察以下:(我) 地图上定义的函数函数定义在。(2) 满足阶离散初始值问题: 归纳证明可以做的。也就是说,假设它是真的,我们有 通过的帮助(9),它遵循 另一部分使用的约定是明确的。(3)柯西函数满足。
定义4。(我)12)(δ)分数的区别(从)被定义为
(2)(19)(δ)对分数的区别(结束)被定义为
(3)(20.)(微分算符)分数的区别(从)被定义为
(四)[29日,30.)(微分算符)对分数的区别(结束)被定义为
关于域名我们观察以下部分类型的差异。(我)三角洲左部分的差异地图上定义的函数函数定义在。(2)三角洲的分数不同地图上定义的函数函数定义在。(3)微分算符左部分的差异地图上定义的函数函数定义在。(iv)微分算符对分数的区别地图上定义的函数函数定义在。
引理5(见[15])。让,让被定义在。然后下面的语句都是有效的:(我) 为,(2) 为。
引理6(见[29日])。让被定义在。然后下面的语句都是有效的:(我) 为,(2) 为。
如果是定义在和然后。Q-operator生成一个双重身份的左型和右型部分资金和差异是相关的。使用变量的变化,(18)显示 ,因此, 的证明(27)是由(26)指出
同样,在微分算符的情况下 ,因此,
的证明(30.)是由(29日), 更多细节关于离散版本的Q-operator我们指29日]。
从微积分的区别或时间尺度微积分、自然和一个序列,我们回忆起
2。分数的差异与二项式系数总结
我们第一次给的分数阶的定义(32)在左和右。
定义7。(二)三角洲左分数差异和秩序为一个函数上定义是由(一)吗? (b)吗? 在哪里。
定义8。(二)微分算符左部分的区别和秩序为一个函数上定义,是由(一)吗? (b)吗?
类似地,在正确的情况下,我们可以定义以下。
定义9。(二)三角洲对分数差异和秩序为一个函数上定义是由(一)吗? (b)吗?
定义10。(二)微分算符对分数差异和秩序为一个函数上定义是由(一)吗? (b)吗?
我们接下来继续证明黎曼分数差异和资金配合上述二项的定义。我们将使用引理的双重身份5和引理6和离散的动作版的Q-operator遵循简单的证明和验证。在[20.),作者用δ莱布尼兹法则获得以下替代定义黎曼三角洲左部分差异: 接着长计算和显示,实际上,这
定理11。让在合适的领域和定义。然后,(1)吗? (2)吗? (3)吗? (4)吗?
证明。(1)是由(42)。
(2)通过离散Q-operator行动
部分和部分也是以类似的方式使用Q-operator完成的。
(3)双重身份的引理5(我)和(42),我们有
分数总和的部分可以用引理证明类似5(2)和(42)。
(4)证明可以通过(2)和引理6,或者(3)和离散Q-operator。
评论12。在类似于(41),作者(31日)使用微分算符莱布尼兹法则来证明
在[30.),作者用δ莱布尼兹法则证明以下公式微分算符正确的分数差异:
同样的,我们可以使用一个微分算符莱布尼兹法则证明下列公式对三角洲分数差异:
我们这里的话,最后的三个部分定理的证明11可以做另外的程序如(20.]从(49),(50)和(51)。另外,值得一提的是,混合和微分算符运算符定义δ和微分算符对黎曼分数差异是必不可少的程序,通过双重身份和离散Q-operator或三角洲和微分算符类型莱布尼茨的规定,本文得到的主要结果(29日]。
3所示。结论
分数阶微积分的影响纯粹和应用科学和工程学的分支开始大幅增加。迭代一个算子的主要思想,然后推广到任何订单(真实的或复杂的)开始使用在过去的十年中获得适当的离散化的部分运营商。我们提到,从时间尺度的理论观点,如何获取分数的运营商是一个自然的问题,这是众所周知的Grunwald-Letnikov方法无关。我们相信,最近获得的离散文学的部分运营商在Grunwald-Letnikov方法不同的报道。记住所有这些认为我们通过二项式定理证明了离散的运营商将会导致相同的结果的利用Riemann-Liouville运营商通过时间尺度的离散化技术。离散版本的令人印象深刻的双重Q-operator工具被用来证明相等。