李亚普诺夫函数和全局稳定性捕食模型的类

抽象

针对一类捕食模型，构造了一个新的李雅普诺夫函数。利用李雅普诺夫函数，可以建立这些系统正平衡态的全局稳定性。

1.简介

捕食者-食饵系统的动力学通常用连续表示时间的微分方程来描述。该模式的共通架构为[1- - - - - -3.] 在哪里和是猎物和捕食者密度，分别为猎物的生长速度，功能性反应，例如，一个平均单个捕食者的猎物消耗率，和。天敌的人均增长率（也被称为“捕食者数值响应“），这显然与猎物消耗率增加用于与捕食密度限制的数值响应的最广泛接受的假设如下： 在哪里是捕食者的人均死亡率食物的转换效率为后代，密度依赖性速率2]。和猎物生长速度的原型是logistic增长 在哪里是猎物的承载能力。

什么时候 在哪里为捕食者捕获猎物的效率，模型(1.1）被称为Ivlev型型捕食模型，由于原本Ivlev型[4]。和Ivlev型型功能性反应被分类至猎物依赖型;那是，与捕食者无关(2]。

生态学家和数学家都对ivlevi型捕食者-猎物模型感兴趣，该模型的研究已经取得了很大进展[5- - - - - -13]。其中肖[8]给出了下面的模型的全局分析：

但是，在文献[8]，作者给出复杂的过程，证明了正平衡点的全局渐近稳定性。

在本文中，我们将建立一个新的Lyapunov函数来证明模型的正平衡点的全局稳定性（1.5)。

我们的论文组织如下。在下一节中，我们将讨论正均衡的存在唯一性，并建立一个新的李雅普诺夫函数来建模(1.5)。节3.，我们会给一些例子，说明我们的Lyapunov函数的鲁棒性。

2.主要结果

首先，很容易验证模型(1.5具有两个平凡平衡(属于的边界)，即，在其中一个或多个群体的具有零密度或灭绝），即和。对于正均衡，集合 的收益率

我们关于积极均衡的存在以下引理。

引理2.1（见[8])。假设。模型(1.5)具有独特的正均衡如果下列不等式成立:（一世） ;（ⅱ） 和。

引理2.2。让,然后是吸引模型所有解的区域(1.5)在正象限的内部开始。

证明。让是模型的任何溶液（1.5)具有正的初始条件。请注意,，根据标准的比较论证，我们有 然后， 同样，由于,我们有 在另一方面，对于所有,我们有和。因此,是吸引力的区域。因此，我们将重点放在积极的平衡稳定性只有在该地区。

在下面，我们致力于正均衡的全局稳定性对模型(1.5)通过构建一个新的李雅普诺夫函数，该函数是由Hsu的工作激发的[3.]。

定理2.3。如果，正平衡模型（1.5）是全局的区域渐近稳定。

证明。对模型(1.5)，我们构造一个李雅普诺夫函数的形式 请注意,非负,当且仅当。此外，时间导数沿的解决方案（1.5)是 代的表达和中定义的(1.5）代入（2.7)，我们可以得到 定义 然后 所以， 然后，我们可以得到 如果 成立时，这相当于 集,我们获得和 并设置， 我们可以得到和
针对， 它遵循和在该地区。然后总是真。它遵循， 那是，。因此，在功能满足渐近稳定性定理[14]。因此,是全局渐近稳定。这样就完成了证明。

3.应用程序

本文构造了一个新的李雅普诺夫函数来证明模型的全局渐近稳定性(1.5)。新的Lyapunov函数不仅是有用到模型（1.5），也给其他车型。

在本节中，我们将举例说明李雅普诺夫函数(2.6)。以下机型的参数是积极的，并与模型的相同含义生态（1.5)。

例3.1。考虑以下纳入猎物庇护所的Ivlev捕食者-猎物模型(见[9): 在哪里是保护猎物的避难所我们可以选择一个李亚普诺夫函数如下:

证明与本节的证明相似2。

例3.2。考虑到与罗森茨韦格功能反应以下捕食模型（见[10): 在哪里是受害者的竞争常数。我们可以选择一个李亚普诺夫函数如下:

我们在这里省略了证明。

实施例3.3。考虑以下模式(1.1）具有Holling型功能性反应（见[11): 在哪里已知为的Holling II型功能，作为Holling type-III函数和作为具Holling IV型功能。我们选择一个Lyapunov函数： 有关详细信息，我们参考[12]。

实施例3.4。考虑以下扩散ivve型捕食者-猎物模型(见[13): 非负常数在哪里和是的扩散系数和,分别。利用二维空间中常用的拉普拉斯算子来描述布朗随机运动。

模型(3.7)在以下非零初始条件下进行分析 和零通量边界条件: 在上文中，是边界的向外单位法线矢量。

为了证明全局稳定性，我们构造一个李雅普诺夫函数: 在哪里

然后,区分相对于时间沿着模型的解决方案（3.7)，我们可以得到 利用平面上的格林第一个恒等式，考虑零通量边界条件(3.9），可以证明 其余的参数是相当类似定理2.3。

参考文献

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