具有渐近平均跟踪性质的系统遍历性的一个注记

摘要

证明了如果是连续的，李雅普诺夫稳定映射从一个紧的度量空间它本身是拓扑可传递的并且具有渐近平均阴影性质，那么是由一个点组成的。作为一个应用，我们证明了单位映射不具有渐近平均阴影性质，在哪里是一个至少有两点的紧度量空间。

1.介绍

众所周知，伪位跟踪特性是动力学系统中最重要的概念之一(参见[1- - - - - -4])。空白(5引入平均阴影性质的概念来刻画ansov微分同态(见[6])。杨(7证明了如果是连续的映射紧度量空间的具有伪比特跟踪特性并且是链传递的，那么它是拓扑遍历的。顾和郭[8讨论了流的平均遮蔽性与拓扑遍历性之间的关系，证明了具有平均遮蔽性的李雅普诺夫稳定流是拓扑遍历的。在最近的一篇文章中，作者[9引入了渐近平均阴影性质的概念，发现渐近平均阴影性质与传递性密切相关。最近，Gu [10证明了从紧度量空间到自身的每个李雅普诺夫稳定映射都是拓扑遍历的，只要它具有渐近平均阴影性质。然而，在本文中，我们将证明一个连续的，李雅普诺夫稳定映射从一个紧的度量空间它本身是拓扑可传递的并且具有渐近平均阴影性质，那么是由一个点组成的。作为一个应用程序，它表明了身份映射不具有渐近平均阴影性质，在哪里是一个至少有两点的紧度量空间。此外，我们指出，[10定理3.1]不可能是真的。

本文的组织结构如下。节2，我们回顾一些概念和有用的引理。主要结果在本节中建立3.．

2.预赛

首先，我们完成了一些符号，回忆了一些概念。

在本文中，我们所说的动力系统是指一对,在那里是连续的地图吗一个紧度量空间有度量吗．为,我们写．让表示集合的基数和．

一个子集称为正上密度，如果

对于任意两个非空集,我们写．显然,我们有．

一幅地图拓扑可传递如果是否非空，对于任何非空开集．

一幅地图拓扑遍历性是否为对任何非空开集有正的上密度．

一幅地图拓扑弱混合，如果拓扑可迁。

让做一个动态系统。为,一个序列点的被称为pseudoorbit的如果对所有．一个序列据说是由某个点追踪如果对于每一个．一个点是一个稳定点如果对任何,存在令人满意的,对于任何与和任何．

一幅地图叫做李雅普诺夫稳定，如果稳定点是．

一幅地图对于初始条件具有敏感依赖性，如果不是稳定点吗．

一幅地图表示具有伪doorbit跟踪属性，如果，对于任何，存在一个这样,每pseudoorbit的可以追踪到某个点．

一个序列点的被称为平均pseudoorbit如果存在整数对于任意整数和每一个整数，

一幅地图据说具有平均影子属性，如果有的话存在一个这样,每平均pseudoorbit的是平均被某个点遮蔽在,也就是说,

一个序列点的称为?的渐近平均伪位如果

对于给定的动力系统,一个序列点的被某个点渐近地平均遮蔽如果

一幅地图的每个渐近平均伪位，则具有渐近平均阴影性质是渐近的平均投影在某一点上．

我们从[9伪位跟踪特性不表示渐近平均跟踪特性，而渐近平均跟踪特性不表示伪位跟踪特性。

3.主要结果

下面的引理将用于定理的证明3.5．

引理3.1(见[10])。让是一个包含至少两点和的紧度量空间一个连续的地图。如果那么拓扑上是弱混合吗对初始条件有敏感的依赖性。

让和是动态系统带度规的积空间,在那里和分别是什么指标和．让地图被定义为．

引理3.2。让做一个动态系统。然后,渐近平均阴影性质是否当且仅当具有渐近平均阴影性质。

证明。假设具有渐近平均阴影性质。让的渐近平均伪位,也就是说, 这意味着 所以和渐近平均伪位是．因此，有两点这样 引理2.3 in [9)和(3.3.)，有一套零密度的 在哪里．类似地，有一个集合零密度的 在哪里．让．然后,是为零密度 在哪里．根据引理2.3 in [9),我们有 因此,具有渐近平均阴影性质。
同样，我们可以很容易地证明具有渐近平均阴影性质，那么也是吗．这样，证明就结束了。

引理3.3。从紧度量空间到自身的拓扑传递映射是满射映射。

证明。根据定义，证明很简单，此处省略。

我们不知道具有渐近平均遮蔽性质的紧致度量空间的连续自映射是否拓扑传递。然而，我们有以下引理来自[11］.

引理3.4。让是一个紧凑的度量空间。如果是等连续射影并且具有渐近平均投影性质，那么拓扑可迁。

在[10，证明了从紧度量空间到自身的每个李雅普诺夫稳定映射都是拓扑遍历的，只要它具有渐近平均的遮蔽性质。然而，我们得到以下定理。

定理3.5。如果是李雅普诺夫稳定映射从一个紧的度量空间它本身是拓扑可传递的并且具有渐近平均阴影性质，那么是由一个点组成的。

证明。让是紧度量空间的李雅普诺夫稳定映射，假设是拓扑可传递的，并具有渐近平均阴影性质。假设由至少两点组成，我们得出一个矛盾。首先，我们注意到每个李雅普诺夫稳定映射都是连续的引理是一个满射映射吗3.3.自拓扑可迁。自也有渐近平均阴影性质的引理3.2，拓扑可由引理传递吗3.4．因此,根据定义，在拓扑上是弱混合。因此,由引理3.1，对初始条件有敏感依赖性，所以呢不是李亚普诺夫稳定的。这是一个矛盾。

3.6的话。定理3.5显示(10定理3.1]不可能是真的。事实上,让是一个包含至少两点的紧度量空间，令是连续的李雅普诺夫稳定映射。假设具有渐近平均阴影性质。如果(10那么，定理3.1]是正确的拓扑是遍历的吗是拓扑可传递的。因此,通过定理3.5事实证明,必须由一个点组成。这是一种矛盾，因此，10定理3.1]不可能是真的。
证明[中的定理3.110，作者首先构造一个序列如下。
对于任意两个非空开子集和任何,选择与和．让，，，，，，，，为,为,在那里对于每一个和对于每一个．然后作者展示了这个序列伪比特的渐近平均是．最后，作者定义为正的常数对于任何，意味着对于每一个整数和 对于每一个证明了存在一个整数这样是什么导致了这个事实拓扑遍历性，在哪里上面的密度是集合吗．

3.7的话。事实上，对于一个给定的整数和任何,让,在那里最大整数是否小于或等于．然后，根据序列的定义,这意味着．因此，[中的定理3.1的证明10是不正确的。

作为应用，由[中的定理3.1得到如下定理12］.为了完整起见，我们现在给出一个不同的证明。

定理3.8。让是一个至少有两点的紧度量空间。然后是恒等映射不具有渐近平均阴影性质。

证明。显然是身份映射李雅普诺夫稳定。假设身份映射具有渐近平均阴影性质。由引理3.4，单位映射拓扑可迁。自是一个至少有两个点的紧度量空间，根据定理3.5，单位映射不具有渐近平均阴影性质。这样，证明就结束了。

3.9的话。定理3.8例5.1从[9，以及定理的证明3.8比[9］.

致谢

作者感谢(不知名的)论文仲裁人提供了许多有价值的建议，特别是对定理给出了清晰的证明3.5以及对备注的精彩描述3.6．本研究得到了广东省国家自然科学基金(批准号:20081010901)的资助。湛江市科技厅重点科技攻关项目(批准号:10452408801004217);2010 c3112005)。

参考文献

1. r·鲍文平衡态与公理A微分同态的遍历理论，施普林格，纽约，美国纽约，1975。
2. p•沃尔特斯伪轨道跟踪性质及其与稳定性的关系，第668卷数学课堂讲稿，施普林格，纽约，纽约，美国，1978。
3. R. S. Yang，《伪轨道追踪与混沌》《数学学报》第39卷第3期3，页382-386,1996。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
4. “伪轨道跟踪和完全正熵”，杨r.s.和沈绍林，“伪轨道跟踪和完全正熵”，《数学学报》，第42卷，第2期1, pp. 99-104, 1999。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
5. M. L. Blank，《混沌动力系统的小扰动》，俄罗斯数学调查，第44卷，第5期。6，第1-33页，1989。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
6. K. Sakai，“二维闭流形上具有平均遮蔽性质的微分同态”，《洛基山数学杂志》，第30卷，第2期3，页1-9,2000。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
7. R. S. Yang，“拓扑遍历图”，《数学学报》，第44卷，第5期。6, pp. 1063-1068, 2001。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
8. 郭文杰，“流动的平均遮蔽性质和拓扑遍历性”，混乱，第25卷，第2期2，页387-392,2005。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
9. R. B. Gu，“渐近平均阴影性质和传递性”，非线性分析，第67卷，第5期6，页1680-1689,2007。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
10. 顾小波，“关于具有渐近平均影性的系统的遍历性”，计算机与数学应用，第55卷，第55期6，页1137-1141,2008。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
11. 牛玉祥，“具有渐近平均跟踪特性的动力系统”，应用数学:高等学校学报:A辑第22卷第2期4，页462-468,2007。视图:谷歌学术搜索|Zentralblatt数学
12. M. Kulczycki和P. Oprocha，《探索渐近平均阴影特性》，差分方程与应用学报，第16卷，第5期。10, pp. 1131-1140, 2010。视图:出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学

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