自然界和社会中的离散动力学
PDF<我米g alt="" class="sc-EHOje fEOMwM sc-bFADNz WmYxG" title="" role="presentation" src="data:image/svg+xml;base64,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" height="24">
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自然界和社会中的离散动力学/<一个class="sc-htpNat bUhGXt link sc-gacfCG inRqQX breadCrumb" href="//www.newsama.com/journals/ddns/contents/year/2011/" aria-label="2011">2011/<年代pan class="sc-dEfkYy cxVvOc">文章

研究文章|开放获取

体积 2011 |文章的ID 178483 | 9 网页 | https://doi.org/10.1155/2011/178483

更多关于三维有理差分方程系统

刘键控,<年代up>1 赵中建,<年代up>1 李Xiaorui,<年代up>1 和 李鹏<一个class="sc-htpNat bUhGXt link" href="mailto:" aria-label="Mail to Author Option">1

12 .华北水利电力大学数学与信息科学学院，河南郑州450045

学术编辑：易卜拉欣的契机
收到 2011年06月06
接受 2011年9月24日
发表 2011年12月15日

抽象

我们关注一种三维有理差分方程系统，由Kurbanli(2011)给出。给出了系统解的一个新的表达式，并描述了系统的渐近性态。同时，我们也考虑了一个不同的系统，得到了一些结果，扩展了这类差分方程的研究，并且该方法可以应用于其他系统。

1.简介

差分方程是一个热门话题，因为它们被广泛地用于研究数学模型中出现的方程，这些数学模型描述了诸如人口生物学、概率论和遗传学等现实情况。近年来，有理差分方程因其广泛的应用而受到越来越多学者的关注。详情请参阅[<一个href="#B1">1]。然而，关于二值或三值有理差分方程组的文献很少[<一个href="#B2">2------<一个href="#B8">8]。

在[<一个href="#B2">2， Kurbanli研究了一个三维有理差分方程系统<年代pan class="equation" id="EEq1.1"> + 1 = − 1 − 1 − 1 , + 1 = − 1 − 1 − 1 , + 1 = − 1 − 1 , − 1 ( 1 。 1 ) 其中初始条件是任意实数。他表示，将（<一个href="#EEq1.1">1.1）和研究的行为和计算了一些初始值。

以下定理引自[<一个href="#B2">2]。

定理1.1。让<年代vg height="11.0625" id="M2" style="vertical-align:-3.25793pt;width:13.975px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.975 11.0625" width="13.975" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 ,<年代vg height="10.9125" id="M3" style="vertical-align:-3.13504pt;width:21.4625px;" version="1.1" viewbox="0 0 21.4625 10.9125" width="21.4625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 ,<年代vg height="11.075" id="M4" style="vertical-align:-3.25793pt;width:14.8125px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.8125 11.075" width="14.8125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 ,<年代vg height="10.925" id="M5" style="vertical-align:-3.13504pt;width:22.3125px;" version="1.1" viewbox="0 0 22.3125 10.925" width="22.3125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 ,<年代vg height="11.2125" id="M6" style="vertical-align:-3.25793pt;width:14.0125px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.0125 11.2125" width="14.0125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 ,<年代vg height="14.375" id="M7" style="vertical-align:-3.13504pt;width:52.575001px;" version="1.1" viewbox="0 0 52.575001 14.375" width="52.575001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 ∈ ℝ 是任意实数，<年代vg height="11.075" id="M8" style="vertical-align:-3.25793pt;width:41.200001px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.200001 11.075" width="41.200001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 = ,<年代vg height="14.475" id="M9" style="vertical-align:-3.13504pt;width:48.200001px;" version="1.1" viewbox="0 0 48.200001 14.475" width="48.200001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 = ,<年代vg height="11.075" id="M10" style="vertical-align:-3.25793pt;width:41.474998px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.474998 11.075" width="41.474998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 = ,<年代vg height="14.475" id="M11" style="vertical-align:-3.13504pt;width:50.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.950001 14.475" width="50.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 = ,<年代vg height="11.2125" id="M12" style="vertical-align:-3.25793pt;width:40.362499px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.362499 11.2125" width="40.362499" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 = ,<年代vg height="14.475" id="M13" style="vertical-align:-3.13504pt;width:51.450001px;" version="1.1" viewbox="0 0 51.450001 14.475" width="51.450001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 = ,让<年代vg height="14.75" id="M14" style="vertical-align:-3.20526pt;width:70.474998px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.474998 14.75" width="70.474998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> { , , } 成为系统的解决方案(<一个href="#EEq1.1">1.1）。另外，假设<年代vg height="13.125" id="M15" style="vertical-align:-1.95624pt;width:40.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.950001 13.125" width="40.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≠ 1 和<年代vg height="13.125" id="M16" style="vertical-align:-1.95624pt;width:38.462502px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.462502 13.125" width="38.462502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≠ 1 ;随后的所有解决方案（<一个href="#EEq1.1">1.1） 是<年代pan class="equation" id="EEq1.2"> = ( − 1 ) , 我 年代 o d d , ( − 1 ) , 我 年代 e v e n , ( 1 。 2 ) = ( − 1 ) , 我 年代 o d d , ( 一个 − 1 ) , 我 年代 e v e n , ( 1 。 3. ) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ( − 1 ) 0 ( / 0 ) − 1 + ( − 1 ) 1 ( / 1 ) − 1 − 2 + ⋯ + ( − 1 ) − 1 ( / ( − 1 ) ) 1 0 + ( − 1 ) , ( / ) 我 年代 o d d , ( − 1 ) ( − 1 ) ( − 1 ) ( / 1 ) 1 0 + ⋯ + ( − 1 ) 1 ( / ) − 1 + ( − 1 ) 0 ( / 0 ) + ⋯ + ( − 1 ) ( / ) 0 0 , 我 年代 e v e n 。 ( 1 。 4 )

从(<一个href="#EEq1.4">1.4)，表示<年代vg height="11.15" id="M20" style="vertical-align:-3.20526pt;width:13.9875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.9875 11.15" width="13.9875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 如此繁琐。虽然解决方案中给出，我们这么累计算为大<年代vg height="7.1374998" id="M21" style="vertical-align:-0.10033pt;width:7.8874998px;" version="1.1" viewbox="0 0 7.8874998 7.1374998" width="7.8874998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 。

在[<一个href="#B2">2]，Kurbanli只考虑的渐近行为<年代vg height="11.0125" id="M22" style="vertical-align:-3.20526pt;width:14.775px;" version="1.1" viewbox="0 0 14.775 11.0125" width="14.775" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 和<年代vg height="11" id="M23" style="vertical-align:-3.20526pt;width:13.9375px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.9375 11" width="13.9375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 他没有办法去考虑那件事<年代vg height="11.15" id="M24" style="vertical-align:-3.20526pt;width:13.9875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.9875 11.15" width="13.9875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 自其表达式(<一个href="#EEq1.4">1.4）是太难对付。

在本文中，首先，我们给出的解决方案的更多结果（<一个href="#EEq1.1">1.1），包括一个新的和简单的表达<年代vg height="11.15" id="M25" style="vertical-align:-3.20526pt;width:13.9875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.9875 11.15" width="13.9875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 以及解的渐近性态。然后，我们考虑一个类似于(<一个href="#EEq1.1">1.1)并得出一些结论。

2.对系统的更多结果（<一个href="#EEq1.1">1.1)

首先，我们给出的另一种表达形式<年代vg height="11.15" id="M26" style="vertical-align:-3.20526pt;width:13.9875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.9875 11.15" width="13.9875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 。

事实上,(<一个href="#EEq1.4">1.4)可以改写为<年代pan class="equation" id="EEq2.1"> = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ( − 1 ) + ( − 1 ) ( − ) , = 2 − 1 , ( − 1 ) − + / ( 1 − ) , = 2 , = 1 , 2 , … 。 ( 2 。 1 )

从(<一个href="#EEq2.1">2.1），很容易检查以下内容：<年代pan class="equation" id="eq1"> 1 = = ( − 1 ) + ( − 1 ) ( − ) , − 1 2 = ( − 1 ) = − + ( / ( 1 − ) ) ( − 1 ) , − + 1 3. = ( − 1 ) 2 + ( − 1 ) 2 = ( − ) 2 , − 2 + 1 ( 2 。 2 ) 其与（1.17）一致[<一个href="#B2">2]。证明这里省略了有限的空间和一个可以看到在下一节类似的证明。

比较(<一个href="#EEq2.1">2.1）与（<一个href="#EEq1.4">1.4)，我们发现它不仅形式简单，而且在(<一个href="#EEq1.1">1.1）。

接下来，我们给出以下推论。

推论2.1。假设初值满足<年代vg height="13.4875" id="M29" style="vertical-align:-2.34499pt;width:38.375px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.375 13.4875" width="38.375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 和以下其中之一:<年代pan class="list">(我) 0 < < 1 ,<年代vg height="11.0625" id="M31" style="vertical-align:-0.30096pt;width:68.362503px;" version="1.1" viewbox="0 0 68.362503 11.0625" width="68.362503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 < < 1 ,（ⅱ） 1 < < 2 ,<年代vg height="11.0625" id="M33" style="vertical-align:-0.30096pt;width:68.362503px;" version="1.1" viewbox="0 0 68.362503 11.0625" width="68.362503" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 < < 2 。然后<年代pan class="equation" id="EEq2.2"> l 我 米 → ∞ 2 − 1 , 2 − 1 , 2 − 1 = ( ∞ , ∞ , ∞ ) , l 我 米 → ∞ 2 , 2 , z 2 = ( 0 , 0 , 0 ) 。 ( 2 。 3. )

推论2.2。假设初值满足<年代vg height="7.1875" id="M35" style="vertical-align:-0.13794pt;width:32.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 32.950001 7.1875" width="32.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 和以下其中之一:<年代pan class="list">(我) 2 < < + ∞ ,<年代vg height="11.325" id="M37" style="vertical-align:-0.51414pt;width:85.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 85.724998 11.325" width="85.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 < < + ∞ ,（ⅱ） − ∞ < < 0 ,<年代vg height="11.0625" id="M39" style="vertical-align:-0.30096pt;width:85.724998px;" version="1.1" viewbox="0 0 85.724998 11.0625" width="85.724998" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − ∞ < < 0 。然后<年代pan class="equation" id="EEq2.4"> l 我 米 → ∞ 2 − 1 , 2 − 1 , 2 − 1 = ( 0 , 0 , 0 ) , l 我 米 → ∞ 2 , 2 , 2 = ( ∞ , ∞ , ∞ ) 。 ( 2 。 4 )

推论2.3。假设初值满足<年代vg height="13.125" id="M41" style="vertical-align:-1.95624pt;width:58.037498px;" version="1.1" viewbox="0 0 58.037498 13.125" width="58.037498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = ≠ 0 ,<年代vg height="13.6125" id="M42" style="vertical-align:-2.34499pt;width:61.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 61.137501 13.6125" width="61.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = ≠ 0 和<年代vg height="10.875" id="M43" style="vertical-align:-0.15048pt;width:76.712502px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.712502 10.875" width="76.712502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = = 2 。然后<年代pan class="equation" id="EEq2.6"> l 我 米 → ∞ 2 − 1 , 2 − 1 , 2 − 1 = ( , , ) , l 我 米 → ∞ 2 , 2 , 2 = ( , , ) 。 ( 2 。 5 )

该等结果扩大了[<一个href="#B2">2]，其中的行为<年代vg height="11.15" id="M45" style="vertical-align:-3.20526pt;width:13.9875px;" version="1.1" viewbox="0 0 13.9875 11.15" width="13.9875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 无法从它的表达获得。证明在下一节类似，我们这里忽略它。

3.主要结果

通过启发[<一个href="#B2">2]和其他参考文献，如[<一个href="#B3">3.------<一个href="#B8">8]和引用的参考文献，我们认为以下系统：<年代pan class="equation" id="EEq3.1"> + 1 = − 1 − 1 − 1 , + 1 = − 1 − 1 − 1 , + 1 = − 1 − 1 。 − 1 ( 3. 。 1 ) 在这里，最后一个方程是从不同（<一个href="#EEq1.1">1.1）。

通过本文，我们假设初值为<年代pan class="equation" id="eq2"> 0 = , 0 = , 0 = , − 1 = , − 1 = , − 1 = 。 ( 3. 。 2 ) 在这里,<年代vg height="13" id="M48" style="vertical-align:-1.76814pt;width:83.462502px;" version="1.1" viewbox="0 0 83.462502 13" width="83.462502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> , , , d , 和<年代vg height="13.4875" id="M49" style="vertical-align:-2.34499pt;width:10.675px;" version="1.1" viewbox="0 0 10.675 13.4875" width="10.675" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 非零实数是这样的吗<年代vg height="13.125" id="M50" style="vertical-align:-1.95624pt;width:40.950001px;" version="1.1" viewbox="0 0 40.950001 13.125" width="40.950001" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≠ 1 和<年代vg height="13.125" id="M51" style="vertical-align:-1.95624pt;width:38.462502px;" version="1.1" viewbox="0 0 38.462502 13.125" width="38.462502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ≠ 1 。我们称这种假说<年代vg height="13.45" id="M52" style="vertical-align:-2.21957pt;width:18.975px;" version="1.1" viewbox="0 0 18.975 13.45" width="18.975" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ) 。

为(<一个href="#EEq3.1">3.1)与(<一个href="#EEq1.1">1.1)?下面的定理证实了这一点。

定理3.1。假设的假设<年代vg height="13.45" id="M53" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.174999 13.45" width="24.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 持有，并让<年代vg height="14.6875" id="M54" style="vertical-align:-3.20526pt;width:76.300003px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.300003 14.6875" width="76.300003" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( , , ) 成为系统的解决方案(<一个href="#EEq3.1">3.1）。然后，所有的解决方案（<一个href="#EEq3.1">3.1） 是<年代pan class="equation" id="EEq3.2"> = ( − 1 ) , = 2 − 1 , ( − 1 ) , = 2 , = ( − 1 ) , = 2 − 1 , ( − 1 ) , = 2 , = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ( − 1 ) + ( − 1 ) ( − ) , = 2 − 1 , ( − 1 ) − + / ( 1 − ) , = 2 ( 3. 。 3. ) 为<年代vg height="12.8875" id="M56" style="vertical-align:-1.76814pt;width:74.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 74.875 12.8875" width="74.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 1 , 2 , … 。

证明。首先,对于<年代vg height="12.8875" id="M57" style="vertical-align:-1.76814pt;width:50.125px;" version="1.1" viewbox="0 0 50.125 12.8875" width="50.125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 1 , 2 ，从（<一个href="#EEq3.1">3.1），我们很容易检查<年代pan class="equation" id="eq3"> 1 = , − 1 1 = , − 1 1 = − 1 0 − 1 = − 1 = − 1 , ( − 1 ) − ( − ) 2 = ( − 1 ) , 2 = ( − 1 ) , 2 = 0 1 0 = − 1 ( − 1 ) = − + 1 − 1 , − + ( / ( 1 − ) ) 3. = ( − 1 ) 2 , 3. = ( − 1 ) 2 , 3. = 1 2 1 = − 1 2 = − 2 + 1 , ( − 1 ) − ( − ) 4 = ( − 1 ) 2 , 4 = ( − 1 ) 2 , 4 = 2 3. 2 = − 1 ( − 1 ) 2 2 − 2 + ( − 1 ) 2 = ( − 1 ) 2 − + / ( 1 − ) 2 。 ( 3. 。 4 ) 接下来，我们假设得出的结论是正确的<年代vg height="10.7375" id="M59" style="vertical-align:-0.13794pt;width:8.6000004px;" version="1.1" viewbox="0 0 8.6000004 10.7375" width="8.6000004" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ， 那是， （<一个href="#EEq3.2">3.3.）举行。
然后,对于<年代vg height="11.325" id="M60" style="vertical-align:-0.51414pt;width:34.0625px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.0625 11.325" width="34.0625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> + 1 ，从（<一个href="#EEq3.1">3.1)和(<一个href="#EEq3.2">3.3.）， 我们有<年代pan class="equation" id="eq4"> 2 ( + 1 ) − 1 = ( − 1 ) + 1 , 2 ( + 1 ) − 1 = ( − 1 ) + 1 , 2 ( + 1 ) − 1 = 2 − 1 2 2 − 1 = − 1 ( − 1 ) + ( − 1 ) × 1 ( − ) ( − 1 ) / ( − 1 ) + ( − 1 ) = ( − ) ( − 1 ) + 1 + ( − 1 ) + 1 , ( − ) 2 ( + 1 ) = ( − 1 ) + 1 , 2 ( + 1 ) = ( − 1 ) + 1 , 2 ( + 1 ) = 2 2 + 1 2 = − 1 ( − 1 ) − + / ( 1 − ) × 1 / ( − 1 ) ( − 1 ) / − + / ( 1 − ) − 1 = ( − 1 ) + 1 / − + / ( 1 − ) + 1 , ( 3. 。 5 ) 其中完成证明。

由上述定理可知，(<一个href="#EEq3.1">3.1）将极大地帮助我们调查解决方案的行为。

推论3.2。假设的假设<年代vg height="13.6125" id="M62" style="vertical-align:-2.34499pt;width:73.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 73.1875 13.6125" width="73.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) , = ，以及以下其中一个hold:<年代pan class="list">(我) 0 < < 1 , 0 < < 1 ;（ⅱ） 1 < < 2 , 1 < < 2 。然后<年代pan class="equation" id="eq5"> l 我 米 → ∞ 2 − 1 , 2 − 1 , 2 − 1 = ( ∞ , ∞ , ∞ ) , l 我 米 → ∞ 2 , 2 , 2 = ( 0 , 0 , 0 ) 。 ( 3. 。 6 )

证明。首先,对于<年代vg height="10.8625" id="M66" style="vertical-align:-0.13794pt;width:41.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.875 10.8625" width="41.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 − 1 ，我们考虑以下两种情况。<年代pan class="list">(1)假设(i)成立;然后<年代vg height="11.0625" id="M67" style="vertical-align:-0.30096pt;width:106.8625px;" version="1.1" viewbox="0 0 106.8625 11.0625" width="106.8625" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 < − 1 < 0 ,<年代vg height="11.0625" id="M68" style="vertical-align:-0.30096pt;width:104.5375px;" version="1.1" viewbox="0 0 104.5375 11.0625" width="104.5375" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − 1 < − 1 < 0 。从(<一个href="#EEq3.2">3.3.）， 我们有<年代pan class="equation" id="eq6"> l 我 米 → ∞ 2 − 1 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ + ∞ , > 0 , 我 年代 e v e n , + ∞ , < 0 , 我 年代 o d d , − ∞ , > 0 , 我 年代 o d d , − ∞ , < 0 , 我 年代 e v e n , l 我 米 → ∞ 2 − 1 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ + ∞ , > 0 , 我 年代 e v e n , + ∞ , < 0 , 我 年代 o d d , − ∞ , > 0 , 我 年代 o d d , − ∞ , < 0 , 我 年代 e v e n , l 我 米 → ∞ 2 − 1 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) + ( − 1 ) ( = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ − f ) + ∞ , > 0 , 我 年代 e v e n , + ∞ , < 0 , 我 年代 o d d , − ∞ , > 0 , 我 年代 o d d , − ∞ , < 0 , 我 年代 e v e n , ( 3. 。 7 ) 最后一个方程来自哪里<年代vg height="13.4875" id="M70" style="vertical-align:-2.34499pt;width:37.412498px;" version="1.1" viewbox="0 0 37.412498 13.4875" width="37.412498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 。<年代pan class="list">(2)假设(ii)成立;然后<年代vg height="11.0625" id="M71" style="vertical-align:-0.30096pt;width:96.162498px;" version="1.1" viewbox="0 0 96.162498 11.0625" width="96.162498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 < − 1 < 1 ,<年代vg height="11.0625" id="M72" style="vertical-align:-0.30096pt;width:93.824997px;" version="1.1" viewbox="0 0 93.824997 11.0625" width="93.824997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 0 < − 1 < 1 。同样,我们有 l 我 米 → ∞ 2 − 1 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) = + ∞ , > 0 , − ∞ , < 0 , l 我 米 → ∞ 2 − 1 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) = + ∞ , > 0 , − ∞ , < 0 , l 我 米 → ∞ 2 − 1 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) + ( − 1 ) = ( − ) + ∞ , > 0 , − ∞ , < 0 。 ( 3. 。 8 ) 接下来,为<年代vg height="10.8625" id="M74" style="vertical-align:-0.13794pt;width:16.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.4125 10.8625" width="16.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ，我们总是有<年代pan class="equation" id="eq8"> l 我 米 → ∞ 2 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) = 0 , l 我 米 → ∞ 2 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) = 0 , l 我 米 → ∞ 2 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) − + / ( 1 − ) = 0 , ( 3. 。 9 ) 完成证明。

推论3.3。假设的假设<年代vg height="13.45" id="M76" style="vertical-align:-2.21957pt;width:70.087502px;" version="1.1" viewbox="0 0 70.087502 13.45" width="70.087502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) , = ，以及以下其中一个hold:<年代pan class="list">(我) 2 < < + ∞ , 2 < < + ∞ ,（ⅱ） − ∞ < < 0 , − ∞ < < 0 。然后<年代pan class="equation" id="eq9"> l 我 米 → ∞ 2 − 1 , 2 − 1 , 2 − 1 = ( 0 , 0 , 0 ) , l 我 米 → ∞ 2 , 2 , 2 = ( ∞ , ∞ , ∞ ) 。 ( 3. 。 1 0 )

证明。首先,对于<年代vg height="10.8625" id="M80" style="vertical-align:-0.13794pt;width:41.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 41.875 10.8625" width="41.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 − 1 ，鉴于(i)或(ii)，我们有<年代vg height="13.45" id="M81" style="vertical-align:-2.21957pt;width:75.199997px;" version="1.1" viewbox="0 0 75.199997 13.45" width="75.199997" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> | − 1 | > 1 ,<年代vg height="13.45" id="M82" style="vertical-align:-2.21957pt;width:72.875px;" version="1.1" viewbox="0 0 72.875 13.45" width="72.875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> | − 1 | > 1 因此<年代pan class="equation" id="eq10"> l 我 米 → ∞ 2 − 1 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) = 0 , l 我 米 → ∞ 2 − 1 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) = 0 , l 我 米 → ∞ 2 − 1 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) + ( − 1 ) ( − ) = 0 。 ( 3. 。 1 1 ) 现在,对于<年代vg height="10.8625" id="M84" style="vertical-align:-0.13794pt;width:16.4125px;" version="1.1" viewbox="0 0 16.4125 10.8625" width="16.4125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 2 ，我们考虑以下两种情况。<年代pan class="list">(1)假设(i)成立;然后<年代vg height="11.325" id="M85" style="vertical-align:-0.51414pt;width:113.525px;" version="1.1" viewbox="0 0 113.525 11.325" width="113.525" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 < − 1 < + ∞ ,<年代vg height="11.325" id="M86" style="vertical-align:-0.51414pt;width:111.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 111.1875 11.325" width="111.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> 1 < − 1 < + ∞ 。从(<一个href="#EEq3.2">3.3.）， 我们有<年代pan class="equation" id="eq11"> l 我 米 → ∞ 2 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) = + ∞ , > 0 , − ∞ , < 0 , l 我 米 → ∞ 2 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) = + ∞ , > 0 , − ∞ , < 0 , l 我 米 → ∞ 2 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) − + / ( 1 − ) = + ∞ , > 0 , − ∞ , < 0 , ( 3. 。 1 2 ) 最后一个方程来自哪里<年代vg height="7.1875" id="M88" style="vertical-align:-0.13794pt;width:34.3125px;" version="1.1" viewbox="0 0 34.3125 7.1875" width="34.3125" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 。<年代pan class="list">(2)假设(ii)成立;然后<年代vg height="12.8875" id="M89" style="vertical-align:-1.76814pt;width:257.72501px;" version="1.1" viewbox="0 0 257.72501 12.8875" width="257.72501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> − ∞ < − 1 < − 1 , − ∞ < − 1 < − 1 。同样,我们有<年代pan class="equation" id="eq12"> l 我 米 → ∞ 2 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ + ∞ , > 0 , - e v e n , + ∞ , < 0 , - o d d , − ∞ , > 0 , - o d d , − ∞ , < 0 , - e v e n , l 我 米 → ∞ 2 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ + ∞ , > 0 , - e v e n , + ∞ , < 0 , - o d d , − ∞ , > 0 , - o d d , − ∞ , < 0 , - e v e n , l 我 米 → ∞ 2 = l 我 米 → ∞ ( − 1 ) − + / ( 1 − ) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ + ∞ , > 0 , - e v e n , + ∞ , < 0 , - o d d , − ∞ , > 0 , - o d d , − ∞ , < 0 , - e v e n , ( 3. 。 1 3. ) 完成证明。

推论3.4。假设的假设<年代vg height="13.45" id="M91" style="vertical-align:-2.21957pt;width:24.174999px;" version="1.1" viewbox="0 0 24.174999 13.45" width="24.174999" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> ( ) 持有和<年代vg height="13.125" id="M92" style="vertical-align:-1.95624pt;width:58.037498px;" version="1.1" viewbox="0 0 58.037498 13.125" width="58.037498" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = ≠ 0 ,<年代vg height="13.6125" id="M93" style="vertical-align:-2.34499pt;width:61.137501px;" version="1.1" viewbox="0 0 61.137501 13.6125" width="61.137501" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = ≠ 0 和<年代vg height="10.875" id="M94" style="vertical-align:-0.15048pt;width:76.712502px;" version="1.1" viewbox="0 0 76.712502 10.875" width="76.712502" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = = 2 。然后<年代pan class="equation" id="eq13"> l 我 米 → ∞ 2 − 1 , 2 − 1 , 2 − 1 = ( , , ) , l 我 米 → ∞ 2 , 2 , 2 = ( , , ) 。 ( 3. 。 1 4 )

证明很简单，我们在这里省略。从这个定理，我们可以看到，<年代vg height="11.15" id="M96" style="vertical-align:-3.20526pt;width:47.1875px;" version="1.1" viewbox="0 0 47.1875 11.15" width="47.1875" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> = 用于这种初始值。

4。结论

这是流行研究各种差分方程。结果可分为两个部分。在一方面，通过线性稳定性定理，一个可以研究的解决方案的行为。这种方法被广泛地用于处理单个差分方程;参见[<一个href="#B1">1]。另一方面，给出了一些差分方程解的精确表达式。一般来说，很难得到这样的表达式并将其应用于其他系统。

在由两个或三个有理差分方程的系统，很少有文献。详情请参阅[<一个href="#B2">2------<一个href="#B8">8]和其中引用的参考文献。本文给出了解的精确表达式。

在本文中，我们展开[由Kurbanli得到的结果<一个href="#B2">2，并调查解决方案的行为。同时，我们考虑了一个类似的系统，并给出了一些相关的结果。该方法也适用于其它类型的差分方程。

参考

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