adnascente - type博弈模型的复杂动力学

摘要

本文提出了两个寡头垄断公司的非线性离散博弈模型，它们的产品是新生的。（在生物学中，新生的术语只有一种含义，“生长到或生长在其他东西上”，例如，“苔藓是新生的植物。”见C.g.Merriam Co.于1913年出版的韦氏修订版未桥接词典，由诺亚·波特编辑。）利用Schwarzian导数和范式理论分析了其Nash平衡点的分岔，利用最大Lyapunov指数、分形维数、分岔图和相图证明了其复杂动力学，最后研究了该系统的分岔和混沌反控制。

1.介绍

经济思想对生态理论的发展产生了重大影响[1.］.(沃斯特声称，达尔文在发展物种进化论时受到了马尔萨斯观点的影响。)相反，许多科学家，比如马歇尔[2.]和洛特卡[3.]，表示生物学可以成为经济学的灵感来源。（马歇尔）[2.认为“经济学家的麦加在于经济生物学而不是经济动态;”洛特卡(3.他说:“人类的工业活动只不过是一种高度专门化的、很大程度上是普遍的生物生存斗争的形式。因此，当生物学和经济学都采用竞争、互惠主义和附生关系等概念时，可以发现两者之间的进一步类比。这些观点极大地影响了许多经济学研究者，例如Barnett和Glenn [4.]调查了早期电话公司之间的竞争和互惠关系;母鸡和Schenk-Hoppé [5.]研究了不完全市场下投资组合规则的演化稳定性;莱文(6.比较了生态系统和工业系统的产品和生产。

此外，经济学中还有许多现象是与新兴关系相关的，例如，汽车钥匙圈与汽车是新兴的。本文将新兴关系的定义应用到经济学中，研究一个新的两寡头垄断企业博弈模型和,产品公司的附属物是产品吗公司的，以及产品的输出是由产品的产量决定的吗，但反之则不然。

1838年，古诺提出了经典寡头博弈模型。1883年，贝特朗重新设计了古诺的双寡头博弈模型，使用价格而不是数量作为战略变量。1991年，Puu [7.将混沌和分岔理论引入双寡头博弈模型。在过去的十年中，许多研究人员，如Tramontana等[8.]、艾哈迈德和阿吉扎[9和Ahmed等人[10， Agiza和Elsadany [11， Bischi等人[12], Kopel [13]和Den Haan [14都非常关注游戏的动态。

如上文所述，如果将生物学中的物种和经济学中的产品进行类比，很容易发现不同产品之间的一些关系是可替代的或寄生的，而其他关系是支持性的或附属性的。但是上面提到的所有模型都是基于这样的假设:所有参与者(企业)生产的商品都是寡头市场中的完全替代品。在本文中，我们假设两个参与方的产品关系是不可替代的，而是相邻的。

本文组织如下。节2.，给出了一个非线性离散邻接型对策模型。节3.，研究了该系统纳什均衡的局部稳定性。节4.用Schwarzian导数和正规形式理论研究了分支。节5.采用非线性反馈反控制技术，考虑了模型的分岔和混沌反控制问题。节6.采用最大李雅普诺夫指数、分形维数、分岔图和相图对模型的复杂动力学进行了数值模拟。

2.一种邻接型动态对策模型

2．1．假设

该模型基于以下假设。

假设2.1。有两家异质企业和生产新产品。企业的生产决策Y必须依靠公司，但反之则不然。

假设2.2。每个公司都垄断自己的产品市场。

假设2.3。企业有各自的非线性可变成本函数[15]和非线性逆需求函数[16］.(线性代价函数或通常在古典经济学中采用。事实上，二次代价函数在许多应用中经常遇到(见[17–19]))。

假设2.4。公司X能否仅靠价格竞争，然后做出其产量决策，这对企业有影响吗Y．

假设2.5。企业在每一时期都以最大的边际利润为目标进行最优产量决策。

2．2.命名法

以下是将在论文中使用的表示法。

(我) 是企业的产出和时期，并且对于任何．(2) 是非线性逆需求函数[16)的公司和时期分别在哪里．(iii) 是非线性可变成本函数[15)的公司和时期分别在哪里非线性可变成本函数可由柯布-道格拉斯型生产函数导出(见[19–21]))。(iv) 是公司的单一利润吗和时期分别地（五） 企业各自的产量调整参数是否相同和，表示两家企业产出决策的波动。一般来说，这两个参数应该很小。

２．３．模型

与假设2．5)，即企业的边际利润和时期分别是由

求纳什均衡的方法之一是让(2．1)等于0。由此可以得到企业的反应函数，即最优产出和．在假设(2．1)及(2．4)，邻接型游戏的动态调整可写如下: 有界理性参与者的博弈模型具有以下非线性形式： 注意模型有一个特殊的形式，它是一个所谓的三角形映射，这是一类映射，其中一个动态变量是独立于另一个的，这就是类型,，而另一个，，很大程度上取决于前者。这类映射的一个特点是相平面上任意点的特征值都是实的，并且通过一维映射解释了许多分岔．

3.系统的纳什均衡及其局部稳定性(2．3)

纳什均衡是以约翰·纳什的名字命名的，它是一个涉及两个或更多参与者的博弈的解决方案，没有参与者有动机单方面改变自己的行动。换句话说，如果任何一方的策略改变会导致他(她)赚的钱少于他(她)保持当前策略的情况，那么玩家就处于均衡状态。

系统(2．3)是一个二维的不可逆方程，它依赖于八个参数。系统的纳什均衡点(2．3)为下列代数方程组的解: 请注意，系统(3．1)并不依赖于参数和通过对上述代数系统的简单计算，发现存在一个有趣的正纳什均衡，如下所示： 在哪里

系统的雅可比矩阵(2．3)的纳什均衡有以下形式:

因此它的特征值可以表示为和．然后条件总是满足于持有如果 和条件总是满足于持有如果 因此，以下命题成立。

提议3.1。的纳什均衡被称为
(我)一个水槽如果和，因此汇是局部渐近稳定的；(2)来源如果和，因此汇局部不稳定;(iii)马鞍和或和；(iv)三如果或．

4.分岔分析

由于地图是三角形的，变量的稳定性独立于另一个变量，因此该变量的分岔分析可以很容易地用一维映射进行这是一个立方体，利息只在正的部分。

最著名和最流行的射影微分不变量是Schwarzian导数[22)是 很明显对于，因此所有翻转分岔都是超临界的[23］.

超临界翻转分岔的一个例子将用标准形理论呈现如下。

一般来说，对于特定的公司和,他们的参数,是不变的，它们的输出调整参数和下面，为了便于研究分叉参数和，我们让,,,,,．那么我们可以得到以下系统:

然而(4．2)存在一个纳什均衡点哪个与参数无关和．雅可比矩阵是 显然，它的特征值满足(i)如果(ii)如果．因此系统(4．2)可能在点处发生翻转分叉或．

引理4.1(翻转分岔的拓扑范数形式[24])。任何通用、标量、单参数系统有在不动点与，在原点附近局部拓扑上等价于下列规范形式之一:

下面的系统可以用,

命题4.2(翻转分岔的临界范数形式)。系统(4．4)可以写成以下翻转分叉的临界范式： 在哪里．

证明。为了计算标准形式的系数，我们将坐标原点转换为纳什均衡通过变量的变换 这改变了系统(4．2)与参数成 这个系统可以写成 在哪里 以及多重线性函数和也分别被定义为
对于系统(4．7）， 矩阵的特征值是和．
让是特征向量对应的，分别为： 满足和．
所以系统正规形式的系数(4．7)可由下列不变公式计算:
证明了这一命题。

分岔类型由纳什均衡在临界值处的稳定性决定。根据上述命题4．2，用于系统(4．7)，关键参数，纳什均衡的翻转分岔是超临界的。

5.分岔与混沌反控制

一个政府可能会关注游戏系统的混乱和控制。其动机如下。混沌对初始条件具有很高的敏感性，其表现为初始条件下扰动的指数增长。结果表明，两公司的反受控混沌博弈系统的决策行为具有随机性。因此，它至少可以削弱过度垄断的负面影响。此外，黄[25证明了，在某种意义上，混乱不仅对所有寡头企业有利，对整个经济也有利。

分岔和混沌的控制或反控制方法有很多种，如脉冲控制[26，自适应反馈控制[27]、线性及非线性反馈控制[28–30.]在本节中，非线性反馈技术将用于反控制系统(4．4).如上所述，系统(4．4)是一种邻接型博弈模型，即企业博弈必须依靠公司，但反之则不然。也就是说，企业的生产决策是独立的。自公司系统的(4．4)经历分歧和混乱，一个可能仅仅是反控制公司．考虑到简化和可操作性原则，可以选择企业广义非线性反馈反控制器(如生产退税)如下: 其中，由于线性部分只影响线性化系统的雅可比矩阵，利用反控制器中的线性项来改变系统的平衡点和分岔的位置，利用非线性项来改变分岔和混沌的性质。但是，除非想保持原有体系的所有平衡，否则就没有必要采取过多的组件。在本文中，由于不需要保持系统的所有平衡，反控制器可以大大简化为 则反控制系统可表示为 对于系统(5.3)，就很容易得到纳什均衡 和雅可比矩阵 如上所述，系统(4．4)发生翻转分叉和．像系统(5.3)，后面是反控制器这件衣服穿得很结实系统的(4．4),公司是公正的。因此，在系统中(5.3),当和时，纳什均衡处反转分岔的两个条件可表示为:

6.数值模拟

在本节中，一些数值模拟被提出，以证实上述分析结果，并演示添加的复杂动力学行为。为了做到这一点，我们将使用最大的李雅普诺夫指数、分形维数、分岔图和相位图来展示有趣的复杂动力学行为。

在系统(4．2)、最大李雅普诺夫指数、分形维数和两参数分岔图和如图所示1.．

数字1（a）是企业的产出分岔图与参数和．输出时调整参数增加，企业的产出呈现如下复杂的动态。其输出从纳什均衡到分岔直至混沌。显然输出调整参数的公司对公司没有影响，它只是验证了公司之间的附生关系和．

数字1（b）是企业的产出分岔图与参数和．很明显，图中不存在分岔和混沌1（b）．

数字1（c）是系统最大的李雅普诺夫指数图(4．2)使用参数和动力系统的李雅普诺夫指数是表征无穷小闭合轨迹分离速率的一个量。正李雅普诺夫指数通常被认为是系统混沌的一个标志[31］.

数字1（d）是系统的分维图(4．2)使用参数和．用分形维数作为判断系统是否混沌的判据。分形维数的定义有很多，但没有一个是普遍的。本文采用分形维数的定义如下[32］. 在哪里李亚普诺夫指数和K哪个是最大的整数．如果对所有然后．如果对所有然后．

在系统(4．4),公司有超临界翻转分岔在如图所示2（a）,而公司既没有分叉也没有混乱。

在系统(5.3)，当一个人修复，他可以得到最大的李雅普诺夫指数和分岔图如图所示2（b）混沌吸引子画像如图所示3.．显然,公司和同时发生分岔和混沌通过改变反控制参数，政府可以反控制分岔与混沌的同步．

7.结论

摘要给出了一个具有两寡头垄断企业的非线性邻接型博弈动力学模型，并着重讨论了该模型的纳什均衡、分岔、混沌及其反控制等复杂动力学问题。用最大李雅普诺夫指数、分形维数、分岔图和相图对其复杂动力学进行了数值模拟。对于该系统，在今后的工作中还将考虑其他复杂的反控制理论和方法。

致谢

作者感谢国家自然科学基金(批准号:200810930923)部分资助。60641006)。他们也对匿名推荐人提出的宝贵建议和意见表示衷心的感谢。

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