二阶中立型方程的非振动带强迫项

抽象

研究了具有强迫项的二阶中立型时滞微分方程的非振动性。利用压缩映射原理，建立了非振动解存在的几个充分条件。本文所得到的准则是对文献中几个已知结果的补充和推广。给出了一些例子来说明我们的主要结果。

1.简介

近二十年来，有很多关于中立型时滞微分方程解的振动性和非振动性的研究(见[1- - - - - -9])。对这类方程或系统的研究，除了它们的理论兴趣之外，对于包含无损传输线的网络的建模、对附着在弹性杆上的振动质量的研究以及对种群动力学的研究，等等都有一定的重要性(见[1,2,8,10]和其中引用的文献）。

在本文中，我们考虑与形式的强迫项二阶中立型方程 在哪里

让,在那里，是一个给定的功能，让是给定的恒定。通过以下步骤的方法（参见[2]），很容易知道（1.1)有一个唯一的解决方案在某种意义上说两次连续差分,满足(1.1),

按惯例，解决(1.1）被称为振荡，如果它有任意大的零，和否则是非振动。方程（1.1）如果它的所有解决方案都振动是振荡的。

什么时候并且强迫项,(1.1）简化为 在哪里和。(的第一个全局结果1.4） （关于)，这是所有值的非振动解存在的充分条件已审查了Kulenović和Hadžiomerspahić[4]。

最近，Parhi and Rath [7[]研究了一类受迫一阶中立型微分方程的振动行为 必要和充分条件，在各种范围为获得使得(的每一个解1.5)是振荡的或趋向于零或作为。

通过这一思想所驱动[4,7，在本文中，我们建立了关于(1.1）取决于各种范围。以下，我们假设以下条件成立:

(H1) 和。（H2）存在一个功能这样和。

2.主要结果

定理2.1。假设条件下和持有。如果属于下列范围之一: 然后(1.1）具有非振动解。

证明。根据的四个不同范围，这个定理的证明将分为四种情况。
案例（一）（)。选择一个足够大 在哪里和正常数是这样的吗
让是上的所有连续有界函数的集合与SUP规范。组 定义了一个映射如下：
很明显,是连续的。对于每一个和使用(2.3)和(2.5），我们得到 此外，从（2.4)和(2.5）， 我们有 因此我们证明。要应用收缩原理，我们需要证明是在压缩映射以来的一个有界、闭的凸子集是什么。
现在,对于和我们有 在这里我们使用SUP规范。从（2.2),我们得到，完成案例(i)的证明。
例2.2。考虑二阶中立延迟微分方程 在哪里这样以来作为,和，则充分条件-在情况（ⅰ）定理的2.1都满意。因此，方程有一个正解。事实上是该方程的一个正解。
例(2)()。选择一个足够大 在哪里和正常数是这样的吗
让设为情形(i)的集合 定义了一个映射如下：
很明显,是连续的。对于每一个和使用(2.14)和(2.16），我们得到 此外，从（2.15)和(2.16)我们有 因此我们证明。要应用收缩原理，我们需要证明是在压缩映射以来的一个有界、闭的凸子集是什么。
现在,对于和,我们有 在这里我们使用SUP规范。从（2.13),我们得到，完成案件(ii)的证明。
例2.3。考虑二阶中立延迟微分方程 在哪里这样以来作为,和，则定理的充分条件-在情形(ii)2.1都满意。因此，方程有一个正解。事实上是该方程的一个正解。
例(3)()。选择一个足够大 在哪里和正常数是这样的吗
让设为情形(i)的集合 定义了一个映射如下：
很明显,是连续的。对于每一个和使用(2.25)和(2.27），我们得到 此外，从（2.26)和(2.27）， 我们有 因此我们证明。要应用收缩原理，我们需要证明是在压缩映射以来的一个有界、闭的凸子集是什么。
现在,对于和,我们有 在这里我们使用SUP规范。从（2.24),我们得到，完成情况的证明（III）。
例2.4。考虑二阶中立延迟微分方程 在哪里。这个方程有一个非振动解由于充分条件-在情况（ⅲ）定理的2.1都满意。
例(iv) ()。选择一个足够大 在哪里和正常数是这样的吗
让设为情形(i)的集合 定义了一个映射如下
很明显,是连续的。对于每一个和使用(2.37)和(2.38），我们得到 此外，从（2.36)和(2.38）， 我们有 因此我们证明。要应用收缩原理，我们需要证明是在压缩映射以来的一个有界、闭的凸子集是什么。
现在,对于和,我们有 在这里我们使用SUP规范。从（2.35),我们得到，完成案例(四)的证明。
例2.5。考虑二阶中立延迟微分方程 在哪里。这个方程有一个非振动解由于充分条件-在情况（IV）定理的2.1都满意。

致谢

这项工作得到了山西省自然科学基金(2007011019)、大学博士学科专项科研基金(20060110005)、新世纪高校优秀人才培养计划(NCET050271)的支持。作者非常感谢审稿人提出的宝贵意见。

参考

1. j·黑尔函微分方程理论，第3卷应用数学科学《美国纽约施普林格》，第二版，1977年。查看在：Zentralblatt数学|MathSciNet
2. I. Gyori和G. Ladas，时滞微分方程的振荡理论与应用，牛津大学数学专着，克拉伦登出版社，纽约，NY，USA，1991。查看在：Zentralblatt数学|MathSciNet
3. H. J. Li和W. L.刘，“二阶中立微分方程解的振动，”数学和计算机模拟卷。22，没有。1期，第45-53，1995。查看在：谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
4. m . r . s . Kulenović和美国Hadžiomerspahić存在二阶线性中立型延迟方程的非振动解的解决方案,“数学分析与应用第228卷，不。第436-448页，1998年。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
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6. W.-T.李，“二阶非线性微分方程的正解，”数学分析与应用卷。221，没有。1，第326-337，1998。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
7. N. Parhi和R. N.拉特，“振动准则强制一阶中立微分方程变系数，”数学分析与应用卷。256，没有。2，第525-541，2001。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
8. “一阶实系数中立型时滞微分方程的振动性研究”，李建民著。国际数学和数学科学杂志卷。29，没有。4，第245-249页，2002年。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
9. J.Manojlović，Y. Shoukaku，T.谷川，和N.吉田，“二阶微分方程正负系数振动准则，”应用数学与计算卷。181，没有。2，第853-863，2006年。查看在：出版商的网站|谷歌学术搜索|Zentralblatt数学|MathSciNet
10. k . Gopalsamy种群动力学时滞微分方程的稳定性与振荡卷。74数学及其应用《科学》，克鲁维尔学术出版社，荷兰，1992年。查看在：Zentralblatt数学|MathSciNet

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