文摘
最优图嵌入代表图在低维空间的方式保留了原文的结构和性能图表。这些技术已经广泛应用于机器学习、数据挖掘、网络分析。我们有小最小(如果可能) - - - - - -连接图的属性顶点有一个最长路径避免所有这些吗?Zamfirescu这个问题(1972)是第一位变体Gallai的问题(1966):完成所有最长路径连通图中共享一个共同的顶点?一些好例子回答Zamfirescu的问题是已知的。2001年,他要求调查几何格的家人对这个属性。2017年,Chang和元证明这样的图在阿基米德瓷砖的存在。这里,我们证明张所呈现的图元并不是优化等构造图足够小的订单。的问题找到nonconcurrent阿基米德镶嵌最长的路径是指寻找路径在晶格的路径不互相重叠或交叉,只要是可能的。嵌入图像的复杂性仍然是未知的。这个问题可能是一个挑战,因为它需要找到路径长和不相交,可困难由于晶格结构的约束。
1。介绍
图嵌入的过程是指代表顶点(节点)在一个图形在一个低维空间,这样的结构和节点之间的关系保存在嵌入。做到这一点的方法之一是使用一个图布局算法,这是一个位置的节点图的算法类型在一个二维或三维空间的方式反映出图的结构。图布局算法可以用来构造图的嵌入将低维空间中的节点根据它们之间的关系。手工构建嵌入的另一种方式是使用领域知识来设计功能,捕获节点之间的关系图,然后使用这些功能嵌入低维空间的节点。这种方法需要深入了解的图的结构和性能,可以用于构建嵌入专用应用程序或者小图形。更多细节和嵌入应用程序,我们指的是(1,2]。
一个图形的路径被称为最长路径如果在我们没有任何其他路径严格了。1966年,Gallai [3]问:所有最长路径连通图中顶点的共同点吗?第一个答案是负的,由沃尔特(4)建造了一个1-connected平面图没有在所有顶点的顺序25最长路径。最好的Gallai负面回答的问题是一个非平面的图12,独立发现的沃尔特和沃斯(5]和Zamfirescu [6),如图1(a)。这个图的最优被Brinkmann验证(使用电脑)和Van Cleemput [7]。纳迪姆等人证明了图的空交叉点的存在周期最长的子图阿基米德格(8]。结果,我们指的是(9- - - - - -15]。
(一)
(b)
1972年,Zamfirescu [16问另一个问题:有 - - - - - -连接图的小(如果可能的话最小)秩序,任何选择顶点,最长路径失踪的?同样的问题是平面图形。连接3和图 是已知的。最著名的平面图与nonconcurrent(没有共同的顶点)最长路径是由于施密茨(17]。是1-connected秩序17日图如图1(b)。已知的最小的路径,比如2-connected Skupien[图发现1826)的秩序,平面的一个订单32是由于Zamfirescu [6]。
2001年,Zamfirescu [19)要求调查的等边三角形格子图,和第一个答案出现在[20.]。后来,Zamfirescu et al。21]研究了常规广场和常规六角晶格,也看到22)最佳已知的结果回答的不同变体Gallai的问题。
一个镶嵌或瓷砖飞机是一个模式的起因于普通多边形的安排没有重叠。有三种类型的瓷砖。一个普通的瓷砖瓷砖是由使用全等多边形所有例会顶点到顶点。一个阿基米德或半正则镶嵌结构通过使用两种或两种以上类型的普通多边形拟合在一起以这样一种方式,同样的多边形在同一循环顺序环绕每个顶点。通过查看所有多边形的顶点和计算双方满足的顶点,一个是能叫出一个瓷砖。因此,有三个规律 , ,和和八个半正则 , , ,(3.6.3.6),(3.4.6.4), ,(4.6.12),镶嵌组成不同的组合的等边三角形,正方形,六角形,八角形,十二边形。图2描述了每个八半正则镶嵌的一部分。第三类是所谓的一个例子非正规的镶嵌,这是免费的任何限制的多边形顶点的顺序。有很多你可以想象等镶嵌。
在他们一份2017年的论文,Chang和人民币23证明1-connected的存在和2-connected半正则镶嵌图,显示nonconcurrent最长路径。然而,我们的研究进展超出了他们发现通过建立报告中的图表(23可能是更优的。我们实现这一目标,成功地嵌入图形较小的订单,超过Chang和人民币的结果。
2。嵌入1-Connected图形与非并发阿基米德镶嵌最长的路径
在本节中,我们描述1-connected图在空交叉点阿基米德花砖最长的路径。顺序图这里介绍的小于给定的(23]。得到我们想要的结果,我们使用下面的引理23]。
让图是一个同胚的图鉴于在图3。每条边的 ,标签在图3表示的顶点数度和两个在相应的路径之一 。
引理1 (23]。最长的路径nonconcurrent如果 , ,和 。
这样的顺序图 。
我们的第一个结果如下:
定理2。存在一个图的顺序32 nonconcurrent最长路径可嵌入 , ,和 。
证明。为 ,和 ,引理的条件1感到满意。结果图是32,可嵌入在吗 , ,和 。嵌入的在 , ,和 ,参见图4- - - - - -6,分别。
定理3。存在一个图可嵌入56(3.6.3.6)的顺序有nonconcurrent最长路径。
证明。这个图获得了 ,和 引理的条件下1由56个顶点,可嵌入(3.6.3.6),如图7。
定理4。阿基米德镶嵌(3.4.6.4)包含一个顺序图52,没有顶点属于其所有最长路径。
证明。在引理给出的约束1也验证了 ,以及由此产生的图是52岁。我们将会显示一个嵌入在图(3.4.6.4)8。
定理5。存在一个图的订购114空路口的最长路径 。
证明。在这里,我们使用另一个引理的具体情况1。这个图与所需的属性是通过使用获得的 ,和 114年,由顶点。嵌入的在 如图9。
定理6。在(4.6.12),我们有一个图形与nonconcurrent最长路径组成的112点。
证明。嵌入的所需的图形呈现在图10通过设置 ,和 在引理1。
定理7。阿基米德的瓷砖 ,我们有一个图的订购152最长路径没有顶点共同之处。
证明。再次,通过考虑引理1为 ,和 ,我们获得了一个可嵌入图在与所需的属性,如图11。
3所示。2-Connected图的嵌入Nonconcurrent阿基米德镶嵌最长的路径
本部分介绍2-connected图中最长路径共享顶点,可嵌入在阿基米德瓷砖。我们从下面的引理21]。
让图是一个同胚的图 ,如图12,变量 ,和代表的顶点数度2边在各自的数据对应的路径。
引理8 [21]。最长的路径nonconcurrent如果 和 。
这样的顺序图 。
定理9。存在订单144的图 与nonconcurrent最长路径。
证明。的值 ,和 满足约束的引理8,得到的图144订单。图13描绘一个嵌入的在 。
定理10。存在订单98的图 最长路径共享没有顶点。
证明。条件下的引理8,图通过设置 ,和 订购98。嵌入的如图14。
定理11。存在订单88的图 与nonconcurrent最长路径。
证明。我们获得所需的图形通过设置 ,和 在引理8,嵌入在图15。
定理12。存在一个图的订购180 (3.6.3.6)nonconcurrent最长路径。
证明。如果我们把 ,和 在引理8,那么结果图180年订单所需的属性和可嵌入在(3.6.3.6),见图16。
定理13。在(3.4.6.4),我们有一个图没有订182的并发最长路径。
证明。再次,通过考虑引理8为 ,和 ,我们获得所需的图形182订单。嵌入的在(3.4.6.4)如图17。
这个图的图12不是可嵌入在立方普通瓷砖 ,(4.6.12),它包含顶点的度4。实现结果的瓷砖所提到的,我们考虑下面的引理23]。
让图是一个同胚的图的图18(一)包含三个同构子图同胚的图鉴于在图18(b), ,和代表的顶点数度2对应的路径。
(一)
(b)
引理14 (23]。最长的路径nonconcurrent如果 , ,和 。
这样的顺序图 。
定理15。存在订单367的可嵌入的图 nonconcurrent最长的路径。
证明。如果我们把 ,和 在引理14,得到的图订单367年所需的属性。嵌入的呈现在图19。
定理16。存在一个图的订购424 nonconcurrent最长路径嵌入(4.6.12)。
证明。一个图的嵌入订单424的条件下获得的引理14通过设置 ,和 如图20.。
定理17。阿基米德的瓷砖包含订购481的图没有并发最长路径。
证明。引理的条件14如果我们把还满意 ,和 。获得的顺序图是481。图21揭示了一个嵌入在 。
4所示。结论
2001年,Zamfirescu [19)提出了一个问题:我们有小(如果可能的话最小) - - - - - -连接图的属性顶点有一个最长路径避免所有格的?要回答这个问题,2017年,Chang和元证明存在的这种图形在阿基米德瓷砖(23]。这里,我们证明了张图提出的构建这样的图元并不是最优的足够小的订单。相比之下,见下表1下面给出。
我们在文章结尾给出了以下问题:
开放问题18。找到比定理给出了嵌入的小订单2- - - - - -7和9- - - - - -17。此外,我们发现晶格的小订单的部分2和3,承认所需的嵌入。
开放问题19。找到嵌入任何2-connected图形的属性顶点有一个最长路径/周期避免他们所有人。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作是支持的大学高级研究计划(UPAR)阿拉伯联合酋长国大学授予的艾恩,阿联酋(批准号G00003739)。