文摘

在这项研究中,复杂的动力学- rauscher反应系统的调查分析和数值。首先,- rauscher反应系统降低到一个新的非线性参量振荡器。Melnikov方法用于推导的条件的出现马蹄的混乱情况 和 。数值模拟证实获得执行的分析预测。第二,吸引子共存的预测是通过求解数值调查新的非线性参数常微分方程通过四阶龙格-库塔算法。作为结果,它是发现新的非线性化学系统显示各种对称和非对称流动共存的行为。此外,该系统提供了一个丰富多样的分岔现象,比如对称性破缺,并对称恢复,期翻倍,反向期翻倍,period-m泡沫,反向period-m泡沫,间歇性,antimonotonicity。相反,新兴混乱的乐队吸引子和时期1时期3,period-9, period-m泡沫路线混乱发生在这个系统。

1。介绍

非线性振动仍到目前为止的一个有吸引力的话题研究由于其应用物理学,生物学,化学,和工程(1- - - - - -4]。为此,提出了各种分析方法和数值计算工具,成功地用于振动系统的非线性动力学研究[4- - - - - -10]。最近,非线性化学振荡收到了许多研究者的注意从理论和实验的角度(11- - - - - -27]。这是由于动态复杂性可以表现出新的非线性化学振荡器及其潜在的应用在工程。例如,卡萨尼et al。19]研究Belousov-Zhabotinsky-type反应关注建模的非线性行为在不同的操作条件下,从最简单到最普遍适用的模型。简化模型的稳定性分析作为分岔参数的函数进行了研究。Adechinan et al。20.]研究了化学振荡的动力学和主动控制由一个迫使广义瑞利振荡器。出现混乱的状况已经使用Melnikov方法派生出来。控制效率已被证明通过控制增益参数对系统的行为。Monwanou et al。21]研究调幅的影响励磁的非线性动力学四分子之间的反应。自治系统的稳定性分析详细了。基础化学系统的动态显示各航线混乱。Olabode et al。22]使用Melnikov方法和推导分析域边界,马蹄混乱出现在化学振荡。他们后来由对非线性化学系统混沌振荡控制波动水力阻力的力量。相反,被动的流体动力学的影响迫使谐波和混沌振荡在非线性化学振荡由强制修改Van der pol-Duffing振荡器,分析了Olabode et al。23]。最近,Ghosh和雷(24)显示,任意一个类,自主动力学方程在两个变量,描述化学和生物化学振荡,可以减少Lienard振荡器的形式。Binous和Bellagi25)研究了不同极限环等非线性动力学的重要方面,拟周期和混沌行为,时间序列和相位肖像,功率谱,时滞重建图,霍普夫分岔,分岔图、稳态的多重性四个问题来自化工、生化工程的研究领域。Shabunin et al。26迫使]模拟化学反应的极限环振荡和研究现象和过渡到混沌同步。

最理论研究一般非线性耗散化学系统特别是- rauscher反应系统与定期进行外部激励(20.,22,23,27]。然而,- rauscher反应系统的非线性动力学方面的参数和两个外部的影响下周期性的作用还没有被研究。如此重要的一项研究将执行以来众所周知,非线性系统的动力学参数和外部激励,受到展品复杂和丰富的动力学行为(9,28- - - - - -30.]。因此,感兴趣的问题是证明- rauscher反应体系可以通过以下新的非线性参量振荡器建模: 点表示分化对时间在哪里和 , , , ,和是真实的系统参数。

这项工作的创意带来的参数控制频率参数和外部荷载的存在吗 。重要的是要指出Si-yu和Jin-yan [29日)被认为是特定情况下的强非线性参数方程参数稳定性和全局分岔的研究。现在很容易就看穿这个方程,当 ,经典的非自治Van der Pol-Duffing振荡器。这个经典驱动振子被广泛研究的环境中各种物理、化学和工程问题。一些理论和数值结果对一些特定情况下的强非线性参数系统(1)被发现在公开文献。因此,系统的动力学研究(1)是至关重要的非线性化学振荡更好地了解系统的动态行为。此外,在动力系统(非线性现象的调查1)甚至在实际应用意义。

为了预测驱动非线性系统混沌行为,Melnikov理论是经常使用9,27,42]。从这一理论存在的条件同宿分岔发生的情况下可能是一个不对称或对称双存在于开放文学 。然而,对于 ,马蹄混沌预测的一种新的非线性参数化系统(1)在两个周期还没有调查外部荷载。因此,参数的存在将有助于- rauscher反应系统建模的非线性动力学方程(1)。

共存的吸引子存在于许多天然和人工系统。这种现象受到许多研究者的注意在非线性动力学领域(13,20.,21,31日]。这是由于这样的事实,它提供了多个可选的稳定状态的系统来应对不同的需求。为此,在一些驱动非线性系统的各种研究已经显示多个吸引子共存的存在(32- - - - - -39]。在非线性化学动力学,两个或两个以上的动力稳定状态的共存(稳态、周期性振荡和混乱)的系统中,在相同的外部constraints-input反应物的浓度,温度,压力,等等,是一种最有趣的和重要的现象。虽然对吸引子共存提供了重要的优势系统应对不同的请求,这也在一定程度上影响了系统的性能。出于这个原因,它的预测是近年来成为科学界的必要性。因此,研究共存的对称和非对称的吸引一个新的参数所描述化学振荡器(1)是基本的,甚至实际利益。此外,预测建模- rauscher反应系统的吸引子共存的一个强大的非线性振荡阻尼和刚度时变描述(1)尚未被研究过。第二个问题,吸引了我们的注意力在这工作是混沌的预测和共存的吸引一个新的非线性参数化学系统由运动方程(1)。

为了达到我们的目标,我们首先证明- rauscher动力学方程可以简化为一个新的非线性参量振荡器由方程(1),我们应用Melnikov方法推导马蹄的出现混乱的情况(部分2)。第二,我们调查的存在对吸引子共存通过数值求解运动方程(1通过四阶龙格-库塔算法(部分)3)。最后,我们的结论(部分4)。

2。数学模型和Melnikov分析

2.1。数学模型

我们认为在这工作- rauscher反应系统(40)代表一个简单的模型来设计化学振荡器。这种反应是Boissonade和de凯普提出的(41]。控制方程的定义如下: 在哪里和是积极的参数,特征进化时间的反馈吗 ,和在这里视为常数负反馈系统。在理论研究到目前为止,执行系统(2)已经变成了Lienard-type振荡器的考虑作为一个常数参数(20.,22- - - - - -24,27]。新奇的工作构成表达特征进化时间在下列形式:

第一个方程的差分系统(2),并考虑其第二个方程和方程(3),一些数学运算后得到以下方程: 在哪里 , , , , , ,和 。

现在,考虑的外部激励形式的影响 ,我们终于获得所需的运动方程(1)。很容易看到,当 ,类似的方程(1)已经被用来描述非线性- rauscher的化学振荡反应系统(22,27]。在建立运动方程(1下一节),我们使用的Melnikov方法推导的条件的出现马蹄的混乱情况下, 和 。

2.2。Melnikov分析

Melnikov方法是一种强大的分析工具广泛用于预测马蹄混乱的存在有时滞系统[9,27,42]。为了执行这样的预测,我们重写(1)第一次常微分方程的形式,也就是说, 在哪里是一个小的扰动量, 。从系统(5),unperturbated系统获得 就变成了

系统(6)是哈密顿,势函数和相关的哈密顿 分别。相对应的同宿轨系统(6)是由以下表达式[27]: 在哪里 , , , ,和庞加莱截面时间的,可以认为是强迫的初始时间。当 ,Melnikov方法可以应用。因此,积分Melnikov函数定义如下:

考虑到量的表达式和由(8)和表(使用标准的积分43),Melnikov积分函数(9)收益率经过一些数学操作以下方程:

假设 ,Melnikov函数(10)成为 的表达式 , ,附录中给出。它很容易的话,(11)可以改写如下: 与 。

确定Melnikov标准出现马蹄混乱我们新的非线性耗散参量振荡器,它是必要的让 与 。因此, 导致

自 意味着 ,然后 。因此, 。因此,如果获得的条件存在的混乱

从这个分析结果,可以制定以下定理。

定理1。如果条件(14验证),然后同宿分岔发生新的参数化学系统(1)可能出现混沌行为。

使用下面的系统参数 , , , , ,和 ,我们获得 为 和 为 。因此,所需的系统由(1)可能显示周期运动 。然而,当 ,新的化学系统(1)可能出现混沌行为。数值模拟图实现1在初始条件下 和 证实了分析预测。再次测试的有效性提出了分析预测,绘制在图2盆地的吸引力的新的非线性化学系统(1),它代表的是最好的工具来研究或不规则的流动规律的数值。这些盆地的吸引力是通过数值求解运动方程(1的初始条件)和收集新化学系统的动态敏感。从图2(一个),我们获得新化学振荡器参数显示常规的行为 。然而,吸引力的流域的侵蚀,变得越来越明显 和 。因此,我们可以得出结论,分析和计算结果有很好的一致性。

现在,的情况下 ,Melnikov函数(10)成为 与 。为 和 ,这个Melnikov函数的零条件是获得 和 。因此,发病的一个充分条件Melnikov混乱我们的新化学系统(1)可以表示从44,45)如下:

从(16),可以制定以下定理。

定理2。如果条件(16)是满意的,然后出现同宿分岔和新的化学系统(1)可能显示混沌运动。

图3显示了振幅的依赖定期的外部激励的频率对三种不同的值 。通过这个图,我们注意到马蹄混乱地区减少时增加。这个观察确认如图盆地的吸引力4。

3所示。吸引子共存

本节的目的是探讨对吸引子共存的行为和最终的转换可能出现的混乱Biggs-Rauscher (BR)反应系统由运动方程(1当参数各不相同。为此,我们解决数字运动方程(1)利用四阶龙格-库塔算法与系统参数如下: , , ,和 。初始条件和计算步骤用于实现数值模拟(蓝色)(0.5,0.5),(0.5−−0.5)(红色),(−0.8,0.0)(绿色),(0.2,0.2)(黄色) ,分别。

图5显示的影响的分岔图Biggs-Rauscher (BR)反应系统所描述的方程(1)。通过这个图,我们注意到这些参数加剧了对称破坏现象,消除了对称性恢复现象。此外,对吸引子共存仍在被研究的系统 。图6说明了对吸引子共存的行为不同的值为 。从这个图中,我们清楚地看到,新的非线性耗散参数化学系统显示多个吸引子共存。例如,当 ,左边第二阶段轨道与正确的周期2轨道共存。为 ,不对称时间6和period-8轨道共存。作为 ,左时间6轨道与正确的混沌吸引子共存。当 ,两种不同的拓扑混乱的非对称流动共存。相反,不同复杂性共存时的混沌对称的流动 和 。此外,我们发现, ,新的参数化学系统(1)显示三种不同的初始条件和混乱的行为不同的拓扑(见图7)。

后来我们分析参数的影响在考虑化学反应系统的分岔图 。因此,通过保持常数和其他参数 和 ,结果如图所示8。从这个图中,我们注意到的参数引起总是对称破坏。此外,流动的几何形状被修改,我们注意对称性恢复危机现象的消失。为 和 ,分叉结构完全改变,如图9。此外,我们清楚地看到通过这个图振荡的振幅,就变得很重要。为了有一个想法关于新化学系统的行为预测的这些分岔图,两相肖像画和其相应的庞加莱映射绘制在图10两个值的 。通过这个图,我们发现新的参数化学系统(1)展品为这些选择系统参数和证实了庞加莱映射的混沌行为。当 是理性的,也就是说, 和 ,新的参数化学系统(1)显示双稳态现象,对称的吸引子共存,不对称的共存流动(见图11)。非对称流动的共存行为不同的拓扑如图12。我们也注意到, ,两个混沌对称流动不同的复杂性与时期1轨道共存。此外,当 ,两个不对称的准周期性的轨道并存的时期3轨道大振荡幅度。我们还研究了,在这种情况下振荡的影响在图的分岔图11获得与初始条件(0.5,0.5)。所得计算结果如图所示13。从这个图中,我们观察到新的化学系统(1)展览各种分岔等倍周期和反向倍周期分岔,windows, period-m泡沫和反向period-m泡沫,antimonotonicity,间歇性,打破对称性,对称性恢复。此外,period-9轨道路线混乱和period-m泡沫路线混乱发生在系统。相反,我们也观察之间的混乱地区合并正向和反向倍周期序列。

当我们使用外部激励频率, ,作为控制参数, , ,和 ,下的新的非线性化学振荡研究显示一个时期3路线混乱,混乱时期1路线,定期窗口,反向期翻倍,对称和对称性恢复,双稳态混沌振荡和各种行为共存的对称和非对称流动(见图14)。图15说明了不同流动预测的分岔图的图14几个不同的值 。通过这个图,我们注意到我们的新化学模型提出了几个双稳态对称和非对称流动不同的拓扑和非凡的线路混乱。我们可以得出结论,新考虑非线性参量振荡器显示一个丰富多样的动态行为与不寻常的转换混乱。

4所示。结论

这项研究- rauscher反应的处理非线性动力学系统建模的一种新的非线性参量振荡器。Melnikov方法用于获得马蹄的出现混乱的状况在一个新的非线性参数的化学振荡的情况下,在什么地方 和 。获得的数值模拟发现证实了分析预测。相反,新的非线性参数的复杂动态化学振荡器(1)是研究用四阶龙格-库塔数值算法。结果表明,参数的参数也引发新的化学参数系统和对称性破坏现象,消除了对称恢复危机现象增加。注意,新非线性参数化学系统显示双稳态现象和行为共存的非对称流动情况 。此外,发现三种不同的拓扑共存的混沌吸引子 。作为 是不理性的,流动的几何形状完全改变了。此外,对称性恢复危机现象消失在新的化学系统研究。我们的新化学系统的动力学行为变得富有时 是理性的。在这种情况下,对称和非对称吸引子共存的行为出现在系统以及双稳态现象。此外,为 和 ,多吸引子共存系统中发生。作为p振荡的变化在这种情况下,新的化学参数系统(1)展览各种分岔等对称和对称性恢复,期间翻番和反向期翻倍,时间窗口,间歇性,period-m泡沫和反向period-m泡沫,间歇性,antimonotonicity。此外,period-9轨道路线混乱和period-m泡沫过渡到混沌系统中发生以及合并混乱的乐队吸引子。当作为控制参数,新的非线性化学振荡器也显示各种对称和非对称双稳态流动。此外,打破对称性,对称性恢复,逆转期翻倍,混乱时期3轨道路线,时期1运动导致混乱。

附录

a的表达

与

数据可用性

所有的数据都包含在这篇文章。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。