文摘

最近的研究再制造垄断游戏一样光滑地图和对待他们观察到的分岔类型发生在这样的地图属于泛型类,如倍周期或Neimark-Sacker分岔。因为这些游戏收益分段光滑的地图,他们的分支,属于所谓的边界碰撞分岔,这发生在当映射的不动点交叉之间的界线在相空间平滑的区域。在当前的论文,我们提出一个适当的系统分析当地的映射的不动点的稳定性分析和数值。这包括根据地图的研究边界碰撞分岔参数。我们提出不同的多稳定性场景的动态游戏的地图,显示不同类型的周期周期和混沌吸引子,从一个地区到另一个地方或交叉相空间的边缘。

1。介绍

最近,许多国家采用的再制造过程以促进他们的经济。这个过程需要使用或违约的再制造产品再制造是一个友好的环境的过程。有很多受欢迎的公司开始这个过程,如福特、施乐、卡特彼勒(1,2]。事实上,再制造过程可能是有益的对于某些公司增加他们的利润,但它可能对其他公司更糟。它可能不是用于公司生产新产品,因为它可能使新产品的销售,因此伤害了他们的预期利润。由于这些原因,产生新的或原创产品的公司不愿意遵循再制造和第三方公司指定这个策略。根据环境条件,这些第三方公司积累或违约使用的产品,所以他们改制一遍,然后送他们到市场销售3- - - - - -6]。根据美国经济杂志、行业再制造在美国价值530亿美元(7,8]。它揭示了事实原始产品制造商面临改制企业的竞争威胁。这些公司之间的竞争和复杂动态特性可以被描述和研究了双头垄断游戏。

双头垄断竞争游戏只包括两家竞争公司的战略可能是数量(如古诺)或价格(如Bertrand)。双头垄断游戏和复杂的动态特性,分析了一些作者在文献中。例如,数量和价格的二元性在差异化的双头垄断游戏提出的分析了迪克西特(9]。在[10)的动态古诺双寡头政治游戏的玩家是有限理性的,采用梯度调整机制进行了研究。双头垄断游戏公司采用两种不同的调整机制,基于当地垄断近似和梯度,研究[11]。说明了非线性双寡头价格竞争的游戏当价格需求弹性的变化12]。调整机制的更多信息,建议读者看到13]。在[14],伯特兰双头垄断游戏的玩家想要最大化他们的相对利润已经介绍和讨论。分析了不同的双头垄断模型基于柯布-道格拉斯效用(15]。技术创新的双头垄断模型基于常数推测的变异和有限理性的球员一直在研究[16]。在[17),伯特兰的动态属性和两级双头垄断游戏延迟进行了调查。更详细的研究和信息垄断游戏的复杂的动态特性,我们参考文献(18- - - - - -22]。

很少有研究再制造的双头垄断游戏在文学。这些研究已经推出了此类游戏基于平滑模型,因此他们一直在调查不动点的稳定性条件的模型。例如,这个游戏的不动点的动态特性进行了介绍,并讨论了在3,23]。尽管稳定性调查了那些先前引用不当处理他们的游戏。他们研究了他们的游戏作为游戏所描述的一个光滑的离散动力系统。当前的纸是出于游戏中给出3]。我们游戏的动机产生适当的调查,此外,引入了一个丰富的游戏的不动点的稳定性分析通过分析边界碰撞分岔的定点变得不稳定。实际上,这类游戏应该被分段光滑映射描述为在目前的手稿。分段光滑的地图,地图是由许多零部件和相平面分为区域隔开一个边界曲线。因此,这些地区的动态地图不应该单独研究下(3,23),因为不稳定的动态映射的不动点通常是不相关的唯一地区。应该研究基于地图的动力学参数值属于这些地区地图定义。

当前地图的提出了一个合适的描述用于定义这个游戏在3]。在此之前,我们回忆起分段光滑映射的一些重要方面。有几个不同学科的应用文献中使用分段光滑映射建模。这些应用程序包括生理和经济系统,机械系统,开关电路。他们有许多有趣的观察报告有关的各种分岔破坏这样的地图。他们已经注意到,这些分段光滑映射的分歧发生不属于一个泛型类等分叉的两倍或Neimark-Sacker时期。相反,新类型的分支,从这些映射不动点时出现跨越边界曲线分离平滑区域的映射定义。现在,我们报告的一些重要研究的复杂动态特性分段光滑的地图。例如,在[24),一般三维分段光滑映射及其多个流动进行了调查。分段光滑的全局分析古诺双寡头模型来源于一个等弹性的需求函数被执行(25]。在[26),多稳定性调查和讨论了边界分岔的2 d分段光滑映射。在[27),2 d地图是连续的,不可逆转,分段光滑模型被用来描述创新活动两国的贸易和产品创新。的全球动态分段光滑映射描述长期工业活动的空间分布分析了经济地理模型(28]。有趣的分段光滑映射及其动态特性的读者可以直接看到文献[29日- - - - - -34]。

进一步,我们必须强调其他调查文献支持这个研究方向,提高未来工作的新方向。在[35),审查报告新研究方向进化的游戏,其规则是通过利用合作的好处,可能发生在球员。合作的特点之间的协同进化游戏和网络了36]。讨论的因素可能会影响公司的整体性能已经确定和分析(37]。最近,在38),作者发现了最具影响力的入侵者weighted-degree合作社区分解的机制。

上面的介绍后,当前论文简要组织如下。节2,我们给一个合适的版本的地图用于描述的再制造游戏(3]。节3,当地分析映射的不动点的平滑区域映射定义分析调查。部分3提供了丰富的数值模拟实验中维护结果部分2。节5,我们给一个简短的结论。

2。该模型

让我们考虑一个经济市场的两家竞争公司。第一家被称为制造商和支持新产品的市场,而第二个公司被称为第三方再制造和支持市场分化再生的产品。客户愿意支付这两个公司的产品。市场需求的产品发送到公司用和 。这些公司之间的竞争是在离散时间周期, 。第一个公司发送新的数量在市场上出售 ,而第二个公司可以接收返回的数量再次对再制造和销售市场 。根据文献[3,23),这个讨论可以被描述为以下逆需求函数(逆需求函数地区(1])。但是作者定义了他们的游戏地图是一个光滑的是不正确的。他们分别研究了地图的每个部分;然而,它必须研究分段光滑映射。之外,他们调查了不动点的函数映射的参数时,他们属于两个不同的区域隔开边界线的分段映射定义。这是简单的原因,是动态不稳定的不动点通常不会只有一个相关的区域。因此地图的动态必须真正分析一个分段点从一个地区到另一跳:

的参数在这个游戏中具有重要的意义。如果 ,这意味着客户愿意支付同样的价格为新和再生产品。从经济的角度来看,这可能不会批准。如果 ,再生产品的客户不会付出任何代价。由于各种各样的客户,我们限制这个参数 。假设是指数量的成本由以下给出线性形式: 在哪里和分别指的是两家公司的边际成本。因此,两家公司的利润有如下:

和他们的边际函数如下:

由于不完整的信息从市场,两家公司可以基于部分信息的更新他们的产品。所以我们认为两家公司是异构的,采用不同的调整机制,以更新他们的产品。我们假定第一家将有限理性行为作为一个公司,因此将其利润最大化。很容易看到 和 ,边际利润 总是积极和位于第一象限。因此,第一家将增加其输出得到最大的利润。这种机制被称为有限理性和集中采用了文献([10- - - - - -15])来描述这种公司的行为。基于这种推理第一家将更新其输出 根据以下表格: 在哪里是一个积极的参数。另一方面,我们假设第二公司寻求与一定的利润分享市场。加权和方法(39)是用于处理这种行为。它首先假设它寻求一个完整的市场份额最大化。这使得 然后它的最佳输出变得如下:

但当它完全寻求利润最大化,其边际利润将消失,然后我们有以下:

根据一些权重,第二个公司将交易之间的市场份额和利润如下: 在哪里 。当 ,这意味着第二个公司只追求利润最大化 意味着它寻求市场份额最大化。但作为交易之间,我们已经限制了参数的时间间隔 。现在我们假设这个公司更新其输出按照下列自适应机制: 在哪里是一个积极的区间参数和限制 。因为第二个公司时的输出 应该小于或等于第一次公司的时间吗 , ,因此,(9)将修改如下:

使用(5)和(10),一个被这个游戏地图,描述如下:

地图(11)是一种二维分段光滑映射和构造描述本文提出了双头垄断的游戏。为了研究其不动点的稳定性,我们应该研究它作为分段光滑映射不是在3]。值得提到作者在3]研究不当地图作为一个光滑的地图。在这里,在本文中,我们引入一个适当的调查地图(11)。这张地图的稳定性取决于第二个方程的函数 的存在。这意味着任何顺序 属于 给只有一个映射到动态研究的一部分,而如果 应该研究地图的另一部分。因此,我们有一个边缘的事实 在地图上是连续的。此外,地图的相平面将由边界线划分为两个区域(地区,和正确的地区 )。这个边缘采用以下形式:

所以地图(11)修改为以下: 或者,同样,它就变成了如下:

现在,我们来到了地图的稳定性(14)取决于点位于地区从边缘或点位于该地区 。此外,其他吸引集可能出现在相同的参数值。但当映射的不动点不稳定,这意味着他们的动力通常是不相关的相空间中只有一个地区。因此,动态的地图(14)必须研究作为分段光滑与点从地区的地图地区反之亦然。

3所示。局部分析

很明显,地图(14)定义在两个不同地区分离的边缘。这就产生两个不动点的两个地区。我们表示这两个点(一个地区 )和(重点地区 ),在哪里

这些固定的点是积极的条件下, 和 。雅可比矩阵(15)如下:

上面的雅可比矩阵的特征值矩阵形式, ,在哪里和分别指的是跟踪和行列式。应该注意的是,和可能被视为和(或和 )取决于区域内定点的谎言(或地区 )。这两个地区的那些痕迹和决定因素采取以下形式: 和特征值如下: 在哪里 和 。或者说,

我们应该强调地图(14)是连续的,它也有连续在每个地区的衍生品。它的导数不连续的边缘 。此外,地图可能没有固定的点在相空间的一半。这意味着位置(或 )可能是地区吗(或地区 )因此,一个虚拟的定点一般的人物。此外,每个固定点的三角形的稳定性是由以下几点: 在哪里

4所示。模拟

我们本节进行一些模拟实验来获得更多的见解的局部和全局分析地图(14)。这个模拟将深入调查不同的定性行为的地图。我们分析的影响映射的不动点的稳定性参数使用数值模拟的一些工具如1 d和2 d分岔图、最大李雅普诺夫指数时间序列图、相图、盆地的吸引力。我们开始我们的数值实验的初始数据 参数值, ,和 。在这些参数值 。这意味着我们有两个同时固定分出生的边界线 。与此同时,另外两个参数和被认为是分岔参数。中定义的雅克比(16)依赖于这些参数和假设来计算它们 和 。这给了以下几点: 在哪里 ,和 与 和 。很明显, 和 这意味着这两个地区的地图的动态耗散。此外,我们有 和 因此同宿横路口可能不存在,获得吸引子可能不是混乱。但自 ,然后-周期吸引子将一个周期的。图1(一)显示了在这些参数值不同的分岔图 。图产生一个分岔图,只停在-周期的循环参数的任何增加。确认在对应的最大李雅普诺夫指数(或米歇尔)在图1 (b)。在图1 (c),你会发现有三个不同的部分和边界线穿过它们。部分彩色的青色、黄色和灰色。青色和黄色的颜色显示的吸引力的盆地局部稳定时期2-cycle而灰色的吸引力不同轨迹描绘了盆地之一。此外,边境行包含两个同时出生的不动点。解决前面的参数值和增加上面产生更高的周期性循环对 。例如,在 存在一个稳定的时期4-cycle当不同的参数 。图2 (c)提出了一个稳定的时期4-cycle出生由于倍周期分岔。盆的吸引力这个循环图1 (e)。增加进一步使周期性循环period-8等period-16,和更高的时间周期,直到出现方法接近1,地图的动态演化的混沌吸引子。图1 (e)显示了这两个地区的四个独立混乱的区域。现在,我们调查的影响参数当值接近于0。在parametr值, 和 我们得到以下几点: 在哪里 ,和 与 和 。很明显, 和 这意味着这两个地区的地图的动态也耗散。仿真表明,在小参数的值 ,参数的影响变得非常糟糕。图2(一个)不同的参数时显示了分岔图在同一参数值。在 地图的动态给2-cycle稳定时期。图中给出了盆地的吸引力2 (b)哪里有两个周期点分离的边界线。增加参数更给混沌吸引子不稳定周期循环和路线如图2 (c)和2 (d)。两个数字存在混沌吸引子所分离的边界线或交叉。

现在,我们分析参数的影响在地图上的动态,同时保持其他参数值固定不变。让我们假设 ,和 。图3(一个)介绍了分岔图不同 。很明显,这两个不动点出生的边界线上的局部稳定和以上 一段2-cycle出现。数值实验表明,参数的影响变化进一步增加。例如,在 并保持其他参数值固定,分岔图在图给出3 (b)。另一个坏的影响参数在地图上的动力学给出分岔图3 (c)在 。这让我们调查时地图的动态行为假设不同的值的两个参数。这可以通过绘制2 d分岔图。它是描绘在图3 (d)在哪里可以获得不同的周期循环。从1到10的数字显示不同类型的周期循环。的参数值 ,和 ,吸引稳定的时期的盆地6-cycle如图3 (e)。在同一组参数值在图使用3 (e)但对于 和 ,我们得到一个映射的混沌行为的动态7-cycle之后变成了一个稳定的时期。我们模拟这种行为映射的时间序列图3 (f)。

在同一组参数和 和 稳定时期8-cycle产生和分布在两个区域的边界线。另一个稳定时期10-cycle图给出4 (b)但对于在同一组参数值 和 。开展更多关于地图的动态的数值试验(14)产生更复杂的行为。例如,在同一组参数值中使用的数据4(一)和4 (b)和 和 ,穿过边界线的整体混沌吸引子图4 (c)。从上面的讨论,得到当第二个公司使用对称的权重 ,我们得出这样的结论:smooth-piecewise地图(14)描述了异构双头垄断的特点是高程度的不可预测性。为了结束我们的讨论在本文中,我们给出两个例子(当不对称的情况 )。假设以下参数值, 和 一个稳定的18-cycle出现的时期。这个循环是策划的同时固定分出生在图的边界线4 (d)。假设以下参数值, 和 ,图4 (e)提出了一种混沌行为的地图变成了18-cycle稳定时期。给定的时间序列图4 (f)模拟图中给出的行为4 (e)。

5。结论

我们已经分析了再生的双头垄断游戏的动态行为。之前的作品在文学研究和探讨光滑映射等游戏。在本文中,我们给出一个适当的调查公司之间的竞争进行这个游戏了。我们的调查和分析中给出完全不同的比(3,23同样的游戏。分析,我们分析了分段光滑映射描述这样一个游戏,说明其不动点的局部稳定性条件这两个地区的地图在哪里定义。数值,我们与密集丰富了本文数值模拟实验对全球分析映射的不动点,显示地图的动态如何可能会变得相当复杂。我们的知识的程度,结果在本文中提供了新的模型的分析结果和适当的调查调查的作者3]。这包括学习游戏的模型作为分段光滑映射。我们有趣的结果发现不同的场景多稳定性的情况和时间周期点跳从一个地区到另一个或通过边缘。我们的未来的研究将针对网络的重要性在处理这样的再制造游戏。

数据可用性

所有的数据都包含在这张纸上。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

本文得到了研究支持项目数量(RSP-2022/167),沙特国王大学,利雅得,沙特阿拉伯。这个项目是由沙特国王大学,利雅得,沙特阿拉伯。