文摘

如今分数阶微积分建模许多有趣的非线性现象的有效工具。本研究探讨,以一种新颖的方式,Ulam-Hyers(胡)和Ulam-Hyers-Rassias(虚)微分方程的稳定性与通用整合导数(GCD)。在我们的分析中,我们使用一些版本的巴拿赫不动点的理论(把)。通过这种方式,我们概括几个有趣的结果。最后给出两个例子来说明我们的结果。

1。介绍

稳定问题获得了相当大的注意在各个研究领域的应用。稳定有很多种,其中由s . m .乌兰稳定了在他著名的1940年在威斯康辛大学举行的一次会议上说。自那以后,它被称为胡稳定或者只是乌兰稳定。其申请各种类型的微分方程已被许多研究人员调查。读者可以看到有趣的结果1- - - - - -7为更多的细节。乌兰的稳定性问题可以改写以下形式。

考虑一组 和一群规 。鉴于真的吗 ,存在 这样,如果 满足

对所有 ,然后一个同态 存在这样 对于每一个

乌兰的问题已经在许多方向扩展各种有趣的设置。特别是,Rassias(见[8])广义乌兰巴拿赫空间的结果。

初始和边界值问题与分数阶导数的自然推广经典初始边值问题。调查的稳定性问题是更复杂的比他们经典的这类分数阶问题;这是因为内核中的奇异点和非定域性的分数微分算子。部分衍生品,一般来说,扮演微不足道的角色在许多科学与工程领域(见,例如,9- - - - - -13)和引用在)。

特别是,在过去的几十年里,定性研究了分数阶微积分的区域使用不同的工具的功能分析。这些工具包括但不限于Gronwall引理,例如,(14),Pachpatte不等式,例如,(15),Schaefer的把,例如,(16),Schauder的把,例如,(17),巴拿赫把,例如,(18),而皮卡德运营商,例如,(15]。已有多种方法被用来定义部分衍生品(见,例如,19- - - - - -28更多细节)。

应该说,广义整合导数在许多应用程序中扮演着重要的角色。例如,作者在29日利用它来检查一些非线性演化方程。广义整合衍生品也被用于30.调查一些非线性演化方程。一个新的广义版本整合给出导数和(31日在生物人口)和一些应用程序。在目前的研究中,我们概括最近的一些有趣的工作如下。我们使用定理2概括的有趣的结果32,33)通过将一些基本的假设已经被使用。我们也使用定理3推广工作(34]。

研究的组织如下。节2,我们现在一些预赛和一些基本的定义。节3介绍我们的稳定结果的胡锦涛和户珥。节4,两个例子写我们的结果的有效性,并在部分5,我们结束我们的工作。

2。预赛

在本节中,给出一些定义,词和定理(35- - - - - -39]。

定义1。让我们考虑一个函数 上定义 ;然后,肾小球囊性肾病从真正的开始 的一个函数 被定义为 对所有 , 和 是一个非负连续函数满足吗 如果 存在,每 ;对于一些 , 存在;然后,根据定义,

备注1。为了进一步研究肾小球囊性肾病的属性,我们假设 ,对所有 ,和 局部可积。

定义2。让 。从整合部分的积分 的一个函数 被定义为

引理1。假设 。因此,

引理2。假设 。因此,

备注2。假设 。如果 ,然后 和 。
下面是一个广义的概念指标集 。

定义3。(见40)。考虑一个映射 。映射 被称为广义度量集吗 敌我识别 满足:M1 当且仅当 平方米 ,对所有 M3 ,对所有 下面的定理(见[40)代表了一个有趣的把需要的结果。这个定理在我们的研究中起着重要的作用。

定理1。假设 是一个广义度量空间完成。让 是一个严格的收缩算子。如果有一个整数 与 对于一些 ,因此(一) ,在哪里 独特的定点 在 (b)如果 ,然后 定义的空间 作为 ,与 ( 是一些真正的数字)。

引理3。定义一个度量 以这样一种方式 在哪里 , ,和 是积极的和连续的。因此, 是一个广义完备度量空间。

本研究的目的是调查以下初始值的稳定性问题: 在胡锦涛户珥。注意,初值问题的解决方案(10)的解决方案

3所示。Ulam-Hyers-Rassias稳定性结果

我们使用本节介绍我们的主要结果。下面的定理表示的稳定性(10在胡的感觉。

定理2。假设 是连续的和满足 如果一个绝对连续函数 满足 对于一些 ,因此,有一个独特的解决方案 (10), 对于每一个 ,在哪里 是积极的常数和吗 。

证明。对于任何 ,我们定义了度量 以这种方式: 定义操作符 这样 自 这很明显, ,此外,我们得到的 。
现在,我们证明 是严格收缩: 所以,很明显, 这意味着 这证明操作员吗 是一个严格的收缩。
我们得到,从(27), 因此, 现在,根据定理1,有一些解决方案 (10)满足 这 这意味着

备注3。很明显,我们的发现的胡锦涛是一些广义版本的结果(32,33)如下。在我们的分析中,我们不施加任何限制 与方程5定理2在[32]。在[33],作者假定条件的函数 在我们的研究并非如此。
下面的定理表示的稳定性(10在户珥意义上)。

定理3。假设 是连续的和满足 如果一个绝对连续函数 满足 在哪里 是一个不减少的,连续函数,因此,有一个独特的解决方案吗 (10), 对于每一个 ,在哪里 是积极的常数和吗 。

证明。对于任何 ,我们定义了度量 如下: 定义操作符 这样 我们有 ,对所有 。此外,我们得到的 。
现在,我们证明 是严格收缩: 所以, 这证明操作员吗 是一个严格的收缩。
我们得到,从(13), 因此, 使用定理1,有一个解决方案 (10), 因此,

备注4。注意,作者在34户珥)整合部分使用拉普拉斯变换研究几种微分方程的稳定性。他们不得不承担一些特殊的条件,例如,条件12给出了定理3.6 (34]。

备注5。作者在41)获得微分方程稳定性结果与integer-order衍生品 ,而在我们的研究中对肾小球囊性肾病。在这个意义上,我们介绍一个通用版本的有趣的结果(41]。

4所示。例子

本节将使用两个例子显示结果的有效性。

例1。考虑方程(10) , , , ,和 。
我们有 然后, 。
假设 满足 对所有 。
在这里, 。使用定理2,有 和 这样

例2。考虑方程(10) , , , ,和 。
我们有 然后, 。
假设 满足 对所有 。
在这里, 。使用定理3,有 和 这样

5。结论

我们设法利用巴拿赫把呈现稳定的版本导致的胡锦涛和户珥微分方程涉及肾小球囊性肾病。广义一些有趣的结果在我们的分析中,我们通过降低使用的一些基本假设,在最近的调查。我们用两个例子来展示我们的主要研究结果的有效性。我们相信,在这项研究中使用的方法可以进一步应用于许多其他分数微分方程。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是由院长以来Jouf大学的科学研究,在批准号域- 2021 - 03 - 0324。