文摘

欧氏距离(ED)计算之间的距离n坐标点n这些点=空间的维数。一些研究将其应用扩展到测量模糊数之间的差异(fn)。这项研究表明,这种扩展不是逻辑,因为虽然n坐标点和FN表示相同,它们在概念上不同。定义为一个FNn组件;然而,n不等于FN所在空间的维数。这项研究说明了这种误用和显示之间的ED fn并不一定反映了他们的区别。我们也回顾三角形和梯形模糊TOPSIS方法来避免这种误用。为了这个目的,我们首先defuzzify fn使用重心(齿轮)方法,然后应用教育测量脆值之间的差异。我们用一个例子来说明现有的模糊TOPSIS方法分配不准确的重量选择,甚至可能错误地排列起来。

1。介绍

欧氏距离(ED)测量两点之间的距离n维空间。ED计算基于勾股定理表示两点之间直线距离的平方的n维空间等于平方之和之间的区别他们的组件。一些研究推广应用测量模糊数之间的差异(fn)。例如,陈(1)扩展了ED测量三角fn的区别(tfn的)。此外,陈等人。2];广域网和李3];和Seiti Hafezalkotob [4)使用ED来计算梯形fn的区别(TrFNs)。一些研究人员喜欢悦(5)使用ED公式来衡量区间值之间的差异。一个区间值,也称为灰色数量(GN),可以被认为是一个FN所有值在给定的时间间隔有一个隶属度为1。

最著名的技术扩展到模糊环境中基于ED的方法是顺序偏好相似的理想的解决方案(TOPSIS)。TOPSIS是一个多属性决策(MADM)技术提出的黄和尹6]。该方法中选择基于他们的EDs正-负解(π和NIS)。TOPSIS已经扩展到模糊环境中。不同的模糊TOPSIS (FTOPSIS)已经开发了1型模糊集的方法。1型模糊集,我们的意思是德提出的模糊集(7第一次。

1型FTOPSIS方法通常定义模糊π(fpi)和模糊NIS (FNIS)和等级的选择根据他们的距离fpi FNIS。最常见的距离在文献中用于这个目的是陈提出的ED(见FTOPSIS方法(1];陈等人。2];Mokhtarian和Hadi-Vencheh8];黄和彭9];Buyukozkan和Cifci10];完全懂得[11];王等人。12];Baykasoglu和Golcuk13];和Seiti Hafezalkotob [4]。大多数tfn的这些方法已经开发出来的,虽然一些研究人员喜欢陈et al。2]和Seiti Hafezalkotob [4]TrFNs FTOPSIS开发方法。

FTOPSIS方法也为其他类型的开发模糊集;一些方法扩展了测量fn之间的差异。例如,李et al。14和陈和香港15]指标值为直观的开发和区间二型fn,分别。你们和李16)提出了一个扩展FTOPSIS方法利用可能性理论。Yu et al。17]扩展指标值区间值毕达哥拉斯模糊环境下。马修et al。18)计算了ED替代品和球面之间模糊的积极的和消极的理想解决方案。

这项研究表明,延长ED测量fn之间的差异,包括tfn的和TrFNs,患有ED误用。这种误用导致两个fn错误地测量之间的区别。事实上,ED中获取的值不一定代表fn之间的真正差异。换句话说,扩展ED测量fn的区别是不合乎逻辑的,因为虽然n坐标点和FN表示相同,它们在概念上不同。因此,扩展教育测量的技术之间的差异fn也遭受同样的误用。反过来,这种误用导致计算错误;因此,这些技术的结果是不可靠的。

现有FTOPSIS方法通常误用ED测量fn之间的差异;因此,他们可能会将错误的权重分配给选择。为了避免这种误用,我们建议使用ED公式,而是两个fn之间的差异被认为是等于其质心之间的区别。显示这个建议的应用,提出了一种灰色TOPSIS (GTOPSIS)方法,认为GNs的质心之间的区别是他们的区别。我们也重新审视三角形和梯形FTOPSIS方法。再现方法,fn之间的差异被认为是等于其质心之间的差异。

本文的其余部分组织如下:部分2说明了使用ED的误用来衡量fn的区别。部分3提出一种GTOPSIS方法和再FTOPSIS TrFNs tfn的方法。部分4提供了一个数值例子来比较经典的结果FTOPSIS修订版在本研究提出。部分5给出了结论。

2。ED的误用

本节分为四个部分。分段2.1评论获得的公式通过扩展测量fn之间的差异。分段2.2分析了ED,分段2.3讨论并说明了ED的误用来衡量fn的区别。分段2.4使用两种不同的方法获得差异fn:使用ED和基于他们的质心计算fn的区别。本节比较了这些方法的结果,并使用一些数值例子来说明fn ED导致错误的区别。

2.1。测量使用ED fn之间的差异

下面的ED定义。

定义1。让X₁×X₂…,××X_n是一套通用的n坐标系统, 和 的两个点 。这些点之间的教育, 得到如下: ED是用来测量GNs之间的区别。回顾这个应用程序,让 和 是两个畿尼。悦(5计算之间的区别一个和B如下: 一些研究中使用ED fn之间的区别。例如,陈(1)扩展了教育测量的区别两个tfn的表示 和 ,如下: 陈等人。2)使用ED来计算两个TrFNs之间的区别, 和 ,如下: 注意,其他公式在文献中已经开发基于ED公式来衡量fn的区别。例如,广域网和李3]和Seiti Hafezalkotob [4)测量TrFNs之间的区别米和N如下:

2.2。教育的属性

ED计算两个之间的距离n位于一个坐标点n维空间。为此,首先,它计算n不同的相同尺寸的给定的点之间的距离,然后结合这些距离使用方程(1)。例如,我们X×Y是一套通用的二坐标系统, 和 两个命令。之间的差异x值和y这些点的值,称为水平和垂直距离,得到和 ,分别。点之间的艾德P₁和P₂结合他们的水平和垂直距离计算如下:

图1中的虚线(a)展示了水平和垂直点之间的距离一个₁和一个₂,实线表示它们之间的ED。方程(6)使用勾股定理计算两点之间ED二坐标系统中根据自己的水平和垂直距离。根据这个定理,一个直角三角形的斜边的平方等于其它两边的平方和的。

ED已被用于不同的目的,包括在一个计算两点之间的距离n维空间和测量两个fn的区别。然而,使用ED出于某些目的,可能会有一些缺陷。下面我们提供一个定义来确定给定目的是一个合适的工具。

定义2。(相互交换属性)。让X₁×X₂…,××X_n是一套通用的n坐标系统和 和 在这两个点系统。通过相互交换的值相同的维度我对这些点,即。的值,和 ,为一个或多个我索引的新观点P₃和P₄创建。如果真正的新的点之间的距离P₃和P₄等于真正的距离P₁和P₂对于给定的目的,我们可以使用ED。
当相同的维数的值是相互交换为一个或多个维度,方程(1ED)总是计算相同。不过,真正的新的点之间的距离可能会改变。如果真正的新的点之间的距离是改变(没有改变),ED是与实际情况不一致的(一致),(可以)不能用于给定的目的。例如,通过相互交换x值的点 和 在图1中(a),点创建两个新秩序 和 图1所示(b)。之间的艾德一个₃和一个₄计算如下: 方程(6)和(7)表明,尽管一个₃和一个₄是两个不同的点的一个₁和一个₂之间的艾德一个₃和一个₄等于ED之间一个₁和一个₂。这一结论符合实际的点之间的距离。这意味着计算点在二坐标系统之间的距离有相互交换性质。因此,ED是一个合适的工具。

2.3。误用ED测量fn的区别

本部分认为ED不是一个合适的工具来测量fn的区别。特别是,我们表明,方程的滥用而被免职2)- (5根据ED)扩展测量GNs之间的差异,tfn的,TrFNs。为了这个目的,我们表明,这些方程不带有相互交换财产;因此,他们不应该被用来测量fn之间的区别。例如,通过相互交换两个畿尼的下界 和 ,创建两个新畿尼 和 ,前提是 。新畿尼真正的区别C和D不一定等于GNs的区别一个和B(见例子1)。然而,方程(2)计算等于这两种情况下的GNs之间的区别。这意味着ED是符合测量GNs的区别。这个结论可以为fn生成。我们现在的例子2和3分别为tfn的说明这种不一致和TrFNs。

一个问题:为什么是符合测量两个之间的距离n位于一个坐标点n维空间,但不符合测量两个fn的区别?要回答这个问题,考虑到n自然不同的组件描述一个n-coordinate点;每个组件是基于不同的维度。例如,我们一个=(10年,20年,30)是一个在三维空间点。三个自然不同的组件描述这一点:它的长度,宽度,高度;这些组件的值是10、20和30。组件描述一个点的数量=数量的维度空间的关键所在。因此,两点之间的n维空间计算基于分歧获得相同的维数根据勾股定理。

然而,组件的数量描述一个FN的数量不等于它位于空间的维度。TFN的例如,GN, TrFN具有2、3和4组件,分别位于一维空间,而不是两个,三个,四维空间。换句话说,一个FN的特点是n组件相同的性质;只测量都是基于相同的维度。例如,我们B=(10、20和30)是一个TFN的代表年轻人的模糊集。虽然B特点是三部分组成,即。,10,20.,和30, they do not correspond to three different dimensions; these components have the same nature, i.e., age, and can be measured using only one dimension.

三座标的点一个和TFN的B被确定为(10年,20年,30)。然而,从概念上看,它们是完全不同的,不应受到同样的对待。点一个是一个三座标点位于一个三维空间,而B是一个TFN的坐落在一维空间。这清楚地表明,尽管一个和B类似,它们在概念上完全不同。因此,我们不能简单地概括操作本质上是适合tfn的点位于三维空间。

我们也可以批评使用ED测量从扩展原理角度fn的区别。根据这一原则,每一个普遍开发基于模糊关系的关系。然而,ED fn之间扩展基于不当脆。换句话说,艾德在清爽的环境措施两个之间的距离n坐标点;每个坐标对应于一个独特的维度。相比之下,艾德在模糊环境中措施两个之间的区别n分fn;所有这些组件对应于只有一个维度。很明显,在一个点n维空间概念上从一个完全不同的FN表示n组件。

一个点在一个n维空间包含n异构组件。例如,点的三个组件在一个三维空间的长度,宽度,高度,代表三种不同的特征。相比之下,一个FN包含n同质的组件。例如,三个组件的TFN的低,中间,和上相同的变量的值;这些组件一起表示相同的特点。一个问题出现了:在逻辑有ED延长测量一个坐标之间的距离fn吗?唯一的答案是表示一个点之间的相似性n维空间和一个FN。例如,一个三维空间中的一个点,TFN的表示为(一个,b,c)。尽管这种相似性,他们是完全不同的;因此,操作提出了其中一个不能延伸到其他简单。

2.4。说明了ED误用来衡量fn的区别

前一节中得出的结论是,使用ED测量两个fn在一维空间的区别是没有意义的。因此,应该使用其他方法来衡量fn的区别。用于此目的的方法之一是计算fn的质心之间的区别。在下面,我们首先回顾重心(齿轮)方法用于获得FN的重心。然后,我们提出一个定理表明计算之间的区别两种间隔使用ED和齿轮的方法会导致不同的结果。是指出,该定理可以扩展到fn,包括tfn的和TrFNs。接下来,给出了一些数值例子来说明误用。显示这个误用,我们比较两种方法的结果之间fn: ED和齿轮的方法。

备注1。狙击兵(19)提出了齿轮的方法获得FN的重心的隶属函数如下: 在哪里的重心 方程(8)可用于发现不同类型的fn的重心。例如,考虑图2 (a) 2 (c)正常TFN的代表 ,GN ,和TrFN 分别。
阿尔曼et al。20.)获得的重心 , ,和使用方程(8)如下:

定理1。让 和 是两个截然不同的GNs。然后,之间的区别一个和B使用ED和齿轮会导致不同的结果。

证明。GNs的重心一个和B使用方程(10) 和 ,分别。相反,假设A和B的区别使用ED和齿轮的方法是相同的。因此 。
我们知道,尽管两个新畿尼是由相互交换GNs的相同维度的值一个和B,新的点之间的ED是没有改变。通过相互交换的下界一个和B创建两个新畿尼 和 ,前提是 。GNs的重心C和D使用方程(10) 和 ,分别。假设之间的差异C和D使用ED和齿轮的方法会导致相同的。因此, 自 和 所以 这意味着一个=B,这是一个矛盾。现在,完成证明。

例1。让一个₁=[90]B₁=(80、120)是两个畿尼。通过交换这些畿尼的第一个组件,新畿尼一个₂=(80、90)B₂=创建[120]。之间的ED GNs一个₂和B₂使用方程(76.162GNs)相等一个₁和B₁。另一方面,间隔的重心一个₁,B₁,一个₂,B₂得到在100、85和65年,分别使用方程(10)。因此,绝对的质心之间的区别一个₁和B₁是 ,而重心之间的绝对差一个₂和B₂是 。这意味着方程(2)不符合测量GNs的区别。

例2。假设K₁=(1、3、5)和l₁=(2、4、6)是两个tfn的(图3 (a))。之间的ED tfn的K₁和l₁使用方程(13)。l₁大于K₁因为所有的组件l₁大于相应的组件K₁。这是通过计算证实了这些tfn的质心之间的区别。的重心K₁和l₁分别是3和4,使用方程(9);因此,它们之间的区别 。
通过相互交换的第三个组件K₁和l₁两个新的tfn的,K₂=(1、3、6)l₂=(2、4、5),创建(图3 (b))。相比K₁和l₁,第一和第二组成部分的价值K₂和l₂没有改变;但是他们的第三个组件的值有增加和减少,分别。因此,fnK₂和l₂预计将接近彼此之间的fn相比呢K₁和l₁。然而,之间的EDK₂和l₂使用方程(13),完全等于之间K₁和l₁。另一方面,重心的K₂和l₂分别是3.33和3.66,使用方程(9);因此,他们的重心是绝对的区别 这是小于 。它表明,测量的区别tfn的基于质心与我们的期望是一致的。这个例子表明,当相同的两个元素tfn的相互交换,真正的区别新tfn的可能变化。然而,方程(3)不能发现这种变化并计算相同的。因此,ED不是一个合适的工具,测量两个tfn的之间的区别。

例3。使用数字1到8,八个不同的带两组,每组的成员提供TrFNs不使用数量在每一组的两倍。换句话说,只有八单独设置 ,我=1…8,只要1到8的数字出现在每一组中,只有一次 和 (见表1)。
计算两个TrFNs之间的ED等于1使用方程(4)和/或(5)集。这意味着教育措施的区别在每组两个TrFNs等于1。然而,它并不反映现实。为了证明,我们获得的重心TrFNs使用方程(11),然后计算TrFNs在每一集的质心之间的区别,结果在表1。这个表清楚地表明,质心之间的差异更好地反映真正的TrFNs之间的区别。

3所示。回顾灰色和模糊TOPSIS方法

本部分分为三个部分。分段3.1提出了一种新的灰色TOPSIS方法,以避免误用ED的距离。部分3.2和3.2修改两个三角形和梯形FTOPSIS方法,分别提出了陈(1和陈等。2]。这些方法误用来衡量fn之间的差异。我们修改这些方法来避免这种误用。

3.1。区间值(灰色)指标值

考虑下面的灰色比较矩阵。

在这个矩阵, 和 代表另一种我及标准j分别为, 间隔(灰色)值的替代吗我为标准j。在这里,我们提出一种新的灰色TOPSIS)组成的六个步骤如下。步骤1。正常化的决策矩阵在这一步中,决策矩阵 转换成规范化矩阵吗 使用线性比例变换如下: 在哪里B和C分别的效益和成本标准,然后呢 规范化的价值吗 。步骤2。权重归一化矩阵让 表示向量的区间权重的标准 是标准的三角模糊重量j。因此,加权归一化矩阵 获得的是 ,中每个元素 计算如下: 步骤3。定义的理想解决方案π和NIS的间隔值为标准j,显示为 和 ,分别可以定义如下: 步骤4。变成脆值基于齿轮的方法在这一步中,灰色的矩阵转换成脆矩阵吗V。为了这个目的,我们使用方程(10)将灰度值 脆值如下: 这一步还使用方程(10)将π和NIS的间隔值标准j脆值如下: 注意,如果一个灰色π(或灰色NIS)被定义为(1,- 1)或(0,0),分别对应的脆值为1或0。第5步。计算EDs步骤4的结果是一个清爽的加权归一化矩阵 脆π和NIS向量,显示为 和 。在这一步中,我们计算和 ,代表之间的EDs的选择我脆π和NIS向量。这些距离计算如下: 步骤6。排名的选择这一步计算相对亲密替代措施如下: 是一个实用的措施。因此,选择排名是基于珍稀化石。

3.2。回顾三角形FTOPSIS

考虑以下装满tfn的决策矩阵。

在这个矩阵, 和 代表另一种我及标准j分别为, 的三角模糊值是选择吗我为标准j。修改后的三角形FTOPSIS方法包括六个步骤如下。步骤1。正常化的决策矩阵在这一步中,决策矩阵 转换成规范化矩阵吗 使用线性比例变换如下: 在哪里B和C分别的效益和成本标准,然后呢 的模糊规范化的价值吗 。步骤2。权重归一化矩阵让 表示条件的模糊权重向量 是标准的三角模糊重量j。因此,加权归一化矩阵 获得的是 ,中每个元素 计算如下: 步骤3。定义的理想解决方案fpi和FNIS标准j,显示为 和 ,分别可以定义如下: 注意,不同的方法在文献中定义的理想解决方案。我们使用的方法提出的陈(1]。然而,研究人员可以应用其他方法为未来的研究。步骤4。Defuzzifying基于齿轮的方法在这一步中,加权归一化矩阵转换成脆矩阵吗V。为了这个目的,我们使用方程(9)defuzzify的三角模糊值 如下: 这一步还使用方程(9)defuzzify fpi和FNIS标准j如下: 注意,如果一个阵线(或FNIS)被定义为(1,1,1)或(0,0,0),分别对应的脆值为1或0。第5步。计算EDs步骤4的结果是一个清爽的加权归一化矩阵 脆π和NIS向量,显示为 和 。在这一步中,我们计算和 ,代表之间的EDs的选择我脆π和NIS向量。这些距离计算如下: 步骤6。排名的选择这一步计算相对亲密替代措施如下: 是一个实用的措施。因此,选择排名是基于珍稀化石。

3.3。回顾了梯形FTOPSIS

考虑以下装满TrFNs决策矩阵。

在这个矩阵, 梯形模糊值的替代吗我为标准j。修改后的梯形FTOPSIS方法包括六个步骤如下。步骤1。正常化的决策矩阵这个步骤使用线性比例变换转换决策矩阵 在归一化矩阵 如下: 在哪里B和C分别的效益和成本标准,然后呢 的模糊规范化的价值吗 。步骤2。权重归一化矩阵假设 代表了向量的模糊权重的标准 是标准的梯形模糊重量j。因此,加权归一化矩阵 获得的是 所以每个元素 计算如下: 步骤3。定义的理想解决方案fpi和FNIS标准j,显示为 和 ,分别可以定义如下: 注意,我们使用了陈的方法等。2)提出了定义的理想解决方案。然而,其他方法在文献中在未来的研究可用于这一目的。步骤4。Defuzzifying基于齿轮的方法这一步将加权归一化矩阵到脆矩阵V。为了这个目的,我们使用方程(11)defuzzify梯形模糊的价值 如下: 这一步还使用方程(11)将阵线和FNIS到脆π和脆NIS ,分别如下: 注意,如果一个阵线(或FNIS)被定义为(1,1,1,1)或(0,0,0,0),分别对应的脆值为1或0。第5步。计算EDs步骤4的结果是脆的矩阵 脆π和NIS向量 和 。这一步计算和 代表之间的EDs的选择我脆π和NIS向量。这些距离计算如下: 步骤6。排名的选择这一步计算相对亲密替代措施如下: 是一个实用的措施。因此,选择排名是基于珍稀化石。

4所示。说明性的例子

本节将使用一个数值例子来说明FTOPSIS方法提出的陈(1),及其修订版本提出了研究分配不同的权重来替代,甚至不同的排列起来。假设我们的目标是两种选择,一个和B,考虑到两个属性,C₁和C₂。这些选项的值为每个属性给出了表2tfn的。在这个表中,属性的权重给出tfn的。这两个C₁和C₂是利益属性。

陈提出FTOPSIS方法和其修订后的版本有一些常见的步骤,包括决策矩阵规范化使用方程(20.)和(21),获得加权归一化矩阵使用方程(22)。这些步骤的结果表3。因为两个属性C₁和C₂受益的类型、fpi和FNIS被认为是(1 1 1)和(0,0,0),分别为属性。

常见的步骤之后,陈的描述方法及其修订版遵循不同的步骤如下。

4.1。根据陈的FTOPSIS结果

陈的方法获得加权归一化值之间的EDs和fpi FNIS为每个属性,然后计算相对接近的替代品, ,和相应的等级。这些计算表4。在这个表中, ,代表艾德之间的选择我和fpi (FNIS)属性j,计算使用方程(3)。

4.2。结果基于FTOPSIS修正

修订FTOPSIS方法在这项研究将模糊加权归一化值转换成脆值使用方程(9),见表5作为 。同时,C₁和C₂都是利益属性;因此,考虑(1,1,1)和(0,0,0)fpi FNIS,分别。因此,脆π和NIS 和 ,分别。然后,这种方法计算和 ,之间的EDs的选择我和脆π和NIS ,分别。最后,它计算备选方案的相对亲密和相应的等级。这些计算表5。

陈的方法相比,我们修订FTOPSIS排名选择B是最好的方法。

5。结论

ED是一条直线的长度在一个连接两个点n维空间。它计算n这些点之间明显的差异n鉴于维度,然后结合使用勾股定理。一种误解导致ED适用于测量fn的区别。这误解是因为一个n坐标点和FN表示。一些研究认为只有这种相似性和广义使用ED测量fn的区别。然而,他们并不认为一个点之间的根本差异n维空间和一个FN用n组件。例如,尽管在一个三维空间和TFN的表示一模一样(一个,b,c),他们有基本概念上的差异。三个组件三维空间中的一个点代表三个完全不同的变量,尽管TFN的在一起的三个组件表示相同的变量。我们表明,ED用来测量两点之间的距离n维空间是不恰当应用于测量两个之间的区别n在一维空间中制造fn。

在文献中,不同领域滥用ED测量fn的区别;使用最广泛的是模糊的MADM之一。本研究回顾了一些FTOPSIS misapplyied ED测量的方法之间的区别fn和重新审视两个FTOPSIS tfn的方法和TrFNs避免误用。本研究也提出了一个GTOPSIS方法使用齿轮的方法来测量GNs的ED方法之间的区别。建议未来的研究修改其他FTOPSIS方法misapplyied ED测量fn的区别。这个建议可以推广到其他模糊MADM技术。其他领域未来的研究还可以重温ED的误用来衡量fn的区别。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。