文摘

这项工作介绍一个三维的、高度非线性二次振荡器没有线性条件的方程。大部分的二阶常微分方程(常微分方程),如陈Rossler,洛伦茨至少有一个线性项的方程。很少的二次系统介绍了和他们所有的术语是非线性的。考虑到这一点,一个新的二次系统没有线性项介绍。这个振荡器等数学工具分析了分岔和李雅普诺夫指数图。表明这个系统可以产生不同的行为,如极限环,环面,为不同参数的集和混乱。此外,盆地的景点系统调查。结果显示,这个系统的吸引子是自励。此外,这个振荡器的模拟电路设计和分析评估系统的混沌的可行性解决方案。PSpice模拟证实了理论分析。 The oscillator’s time series complexity is also investigated using sample entropy. It is revealed that this system can generate dynamics with different sample entropies by changing parameters. Finally, impulsive control is applied to the system to represent a possible solution for stabilizing the system.

1。介绍

混乱是一个复杂的行为一直在研究自然和数学(1]。它指的是系统对初始条件和参数的敏感性(2]。常微分方程等非线性系统(常微分方程)可以产生混沌行为3]。因此,他们可以应用在模拟自然系统与混沌行为如神经元(4]。除此之外,使用耦合方法,这些系统可以研究神经网络的集体行为(5]。就好了,有时这些动力系统被用于nonchaotic模式模式等自然系统的行为中枢模式发生器(运动神经元,使节奏)(6]。常微分方程混沌系统基于他们被归类为平衡分类型和位置(7]。这样,混沌系统的流动可分为两组:至少有一个平衡点的吸引的盆地(自激流动)8和那些没有吸引力的平衡点在盆地(隐藏的吸引子(s))9]。除此之外,系统的平衡点有趣的非线性动力学特性研究。为例,系统介绍了和研究平衡的一行(9)或一个稳定平衡10]。除此之外,两个主要群体的系统可以定义基于方程的时间依赖性:自治系统中不存在术语作为时间的函数的方程(11)和非自治系统的依赖项的时间可以找到方程(迫使系统)(12]。此外,迫使系统可以导致nonchaotic振荡器系统有能力产生混乱。例如,使用这种技术,二维系统不能产生混沌时间序列可以证明混沌吸引子(13]。这些非自治系统也能产生隐藏的流动(14]。使系统混乱的另一种方法是考虑延迟系统的方程。例如,一个系统只有一个方程可以使混乱,如果它有一个时间延迟的方程(15]。另一方面,与四维以上可以产生超混沌系统的行为。例如,一个四维记忆电阻器的混蛋系统涉及表明潜在的超混沌(展示16]。除了这些特性,多稳定性是指几个吸引子的存在(至少两个)不同的初始值为系统没有参数的变化(17]。除了提到的属性,其他一些特性定义基于拓扑和形状的混沌系统吸引子(18]。据报道一些奇怪吸引子具有不同对称性的类型(19]。除此之外,与几个翅膀系统的吸引子(multiscrolls)已经引起了研究人员的兴趣(20.]。例如,它是调查multiscrolls奇怪吸引子的一个系统如何出现和如何保持它的形状21]。此外,他们的样子吸引子对象的系统也有相关报道。混沌系统为例,介绍了看起来像一个波斯地毯22)或花生(23]。

在不同的颂歌系统,二次的被一些研究者感兴趣主要集中在优雅的系统(2]。一个原因是,这些系统可以有简单的方程24]。洛伦茨方程,首次引入混沌系统,这些类和刚刚二次术语之一。介绍了一些二次系统的方程的条件低于洛伦茨方程(24]。各种二次系统的动力学进行了研究[25]。大部分的二次系统至少有一个线性项的方程(26]。介绍了一些系统没有线性项的方程(27]。徐和小王介绍了这样一个系统由非线性二次项(第一次28]。作为纯粹的非线性系统的另一个例子类别,可以提到的多稳态系统非均匀流动(29日]。这里,绝对的振荡器非线性方面介绍了生成各种类型的非线性动力学的行为如环和混乱。

非线性常微分方程系统的混乱的可行性一直是一个问题。设计模拟电路混沌系统最近的一个热门话题。电路与PSpice模拟或实现物理工具来评估》系统的混沌行为。例如,一个电路介绍了再生的混沌信号multiscroll动态(30.]。在另一个实例,模拟电路系统与多稳定性的影响(23]。使用记忆电阻器混沌动力学模型是一个热门话题;例如,一个五维与三维线性系统是涉及使用两个记忆电阻器(1]。此外,混沌系统的含义使用现场可编程门阵列(FPGA)等数字电路进行了评估暗示混沌系统的可能性。例如,一个混蛋和奇怪吸引子共存系统可行性评估与FPGA (31日]。在另一个例子中,一个系统的混沌时间序列与吸引子共存和奇怪的不动点的曲线是再生使用FPGA [23]。这些电路的应用之一是随机数生成(32]。其他应用程序可以安全通信33)和图像加密(34]。在这部作品中,系统的模拟电路设计与PSpice软件和模拟的结果报道。

混沌系统的复杂性的信号最近成为研究者们的一个令人兴奋的主题35]。例如,一个系统的复杂性与隐藏的流动(时间序列的不同的参数的值)计算和讨论36]。样本熵是一个功能比较复杂的时间序列重复(37]。在这种方法中,计算复杂性的哲学是基于信号的预测未来的可能性,根据他们之前的样品(37]。这个方法有一些优点与其他方法相比,测量的复杂性。例如,它是依赖于时间序列的长度小于近似熵(37]。这里,样本熵是用来计算的复杂性振荡器信号对不同范围的介绍系统的参数。

控制混沌振荡器是一个有趣的话题(38]。提出了各种方法控制混沌动力学(39,40]。冲动控制的方法稳定非线性系统等的无限(41,42)或有限的延迟(43),延迟神经网络(44)(还包括指数稳定(45)和固定时间控制(46[]),随机延迟系统47),或奇摄动模型48]。例如,它是用于稳定系统的状态是没有可衡量的49]。在另一个例子,一个基于事件的版本,这种方法被用于控制Chua-coupled系统(50]。这种方法也被用于非线性系统之间的同步(51),将复杂网络(52,53),高维Kuramoto系统(54),和模糊神经网络(55]。介绍了一些先进的脉冲控制方法,例如,版本和适应性强的频率(56]。摘要impulsive-based方法引入纯非线性控制系统涉及作为一个可能的解决方案稳定平衡的点。

在下一节中,系统的方程的条件都提出了非线性二次(部分2)。同时,振荡器的分岔和李雅普诺夫图对不同参数的值进行了分析。此外,纯非线性振荡器的盆景点策划和讨论。部分3解释了纯非线性振荡器的设计与PSpice模拟电路及其仿真。下一部分评估的复杂性振荡器信号的各种参数值(部分4)。应用脉冲控制方法(部分5)提出系统有助于提高其应用程序。模拟的结果得出的最后一部分(部分6)。

2。高度非线性系统:分析和数值分析

混沌动力学的建设是一个未知的主题,吸引了大量关注3,57]。在揭露一些反例鞍座之间的假设关系平衡分和混沌吸引子(58,59],许多作品都集中在研究混沌流具有独特的属性(60,61年]。他们试图理解混沌吸引子的建设。一些例子是混乱的流动具有不同的平衡分62年,63年)和特殊的流动(64年]。因此,提出了一种纯非线性混沌流,它的各种动力学研究。振荡器可以被耦合的三维方程如下: 在哪里 和时系统的变量和被认为是参数。系统是对称的变量的变化 。所以任何系统的吸引子(1)有一个孪生逆转时间和主要吸引子的起源是对称的。系统的平衡点如下:

考虑这八个固定的点,系统的雅可比矩阵和特征值如下:

平衡时的类型 和 如表所示1(考虑到特征值为每个平衡)。

系统的吸引子为不同参数的值已经呈现在图1。数据1(一)- - - - - -1 (d)展示期1、2、4和振荡器的混沌行为。

李雅普诺夫指数和分岔图对不同参数的设定计算调查更多关于可能的行为,介绍了系统可以存在。首先,参数是固定的( ),并为一系列李雅普诺夫和分岔图是绘制(图2)。图2(一个)演示了两个李雅普诺夫指数比其他人有更高的值。第三个李雅普诺夫指数的值总是消极和绝对值高于另外两个。两个李雅普诺夫高值,系统的行为是周期性的,当一个人是零,另一个是负的。其中一个为零的情况,另一个是正的,系统的行为是混乱的。当两者都是零,系统的行为是环。图2(一个)显示所有提到的情况;因此,该系统具有的能力极限环,环面,和混乱的解决方案。图2 (b)是相同的分岔图的范围 。窗户可以看到图2 (b)。在倍周期分岔图,路线混乱可以观察到通过减少参数 。

在下一步中,参数是固定的,和不同的振荡器的行为吗正在调查中。图3揭示了李雅普诺夫指数和分岔图 和的价值变化。为了更好地可视化,最大李雅普诺夫指数的绝对值(其值总是消极的)不是绘制在图3(一个)。系统的不同的行为从不同的极限环的环面和混乱时期可以看到基于前面解释的情况下两个较大的李雅普诺夫指数(图3(一个))。逆路线可以观察到倍周期通向混沌的分岔图通过增加(图3 (b))。

盆地的景点当振荡器的参数集 和 策划了一系列的初始值(图4)。两个表面包含四个平衡点绘制。研究盆地的吸引力振荡器表明振荡器只有一个吸引子。数据4(一)和4 (b)显示板的部分 和 ,分别。平衡分 和 位于边缘的不稳定地区和吸引力的盆地。他们两人的类型是不稳定的(螺旋)。可以看出一些平衡点存在于系统的吸引子流域的吸引力。因此,系统的吸引子是自励。

在下一节中,一个系统的模拟电路有牵连时对系统的混沌模式。

3所示。模拟系统的电路、设计和PSpice暗示

纯非线性系统混沌模式的模拟电路设计。使用简单的元素,如电阻和运算放大器的电路设计。其电路原理图显示在图5。AD633 /广告作为模拟装置用于把变量相乘。电容和电阻的值调整来补偿系数。为了避免模拟装置的饱和, ,和 被认为是。因此,系统的方程可以改写如下:

新版本的系统方程(Eq。4(图)是由模拟设计元素5)。模拟元素的值如下:和 。最后,涉及系统的方程来模拟在PSpice软件可以写成:

在PSpice电路仿真 和 显示在图5。所使用的所有元素都是模拟的。设计模拟电路的输出与Matlab模拟显示在图6。

4所示。纯粹的非线性系统的复杂性分析

根据时间序列的复杂性定义可预测性导致样本熵的定义(SaEn)。接受这个定义,SaEn应用于估计系统的时间序列的复杂性,在引言部分回顾了。SaEn试图测量的可预测性 之前的样品时的样本时间序列 是观察到的。该算法的计算SaEn可以读37]。SaEn的计算算法, 和 被认为是。该算法应用于振荡器的吸引子(范围的参数变量时间序列)(和 )。初始条件和瞬态时间序列的时间部分计算SaEn之前发出。SaEn的结果值可以观察到在图7。SaEn的吸引子是一个固定的点参数值是零。这一趋势可以看出,增加 ,首先,导致SaEn的增加,然后降低。与图相比2,一般混沌系统的国家有更多的样本熵值比周期。此外,这一趋势也可以观察到,减少参数值增加SaEn的价值观。比较这一趋势和分岔图显示,混乱的地区通常有更多的复杂性。

5。脉冲控制

在这里,纯粹的非线性振荡器使用脉冲控制控制。在第一步中,脉冲控制下的系统可以描述如下65年- - - - - -67年]:

当 是连续的, 是连续的; 是状态变量的向量;和 ,一般来说,代表时线性的系统包含非线性项。

定义1。假设 然后据说属于类 ,如果(1) 是连续的 对于每个 , 存在(2) 是本地Lipschitzian

定义2。为 ,它被认为是:

定义3。(比较法)。让 和假设 在哪里 是连续的, 不减少的。然后下面的系统是比较系统的情商。6):

定理1。这三个条件是假定:(1) ,当是连续的 为每一个 的存在。 存在, (2) (3) 和 在 ,当 (连续严格递增函数类 这 )感到满意。接下来,平凡解的全局渐近稳定 比较系统的全局渐近稳定的暗示冲动系统(6)平凡解

定理2。让 对所有k≥1。因此,系统(6如果定理)起源是全局渐近稳定1条件和下列条件:(1) 不减少的, 存在,对所有 (2) (3)存在一个 这样 是为所有 或存在 这 ≤对所有(4) 和存在在课堂上这样

定理3。介绍了纯非线性混沌系统的起源如果存在一个渐近稳定 和一个可微的 ,和nonincreasing功能满足以下几点: 是 最大特征值假设是正定对称矩阵和 和 最小的和最大的特征值是什么 ,分别。表示的谱半径 纯非线性混沌系统认为是这样 。这是定理1, 不同,但满足以下: 此外,对于一个给定的常数 , 这个定理的证明(中可以看到66年]。

备注1。定理3也给了上界估计。和给出了脉冲间隔 介绍了纯非线性系统 和 被认为是。根据第二部分,这个系统有8个平衡点。假设 作为一个系统的平衡点,系统方程考虑 可以改写如下: 平衡 被认为是稳定的。不失慷慨的稳定平衡的系统,同样的方法可以应用于其他纯非线性系统的平衡。通过这种方式,考虑(6)和(12),平衡点 ,方程可以改写如下: 考虑 和 ,然后 稳定系统数值模拟绘制在图8。数据8(一个)- - - - - -8 (c)演示的时间序列 和 ,分别描述的振荡器Eq。12。的时间序列 和使用脉冲控制器的稳定系统(基于Eq。13)中演示了数据8 (d)- - - - - -8 (f),分别。

6。结论

在这里,一个纯粹的非线性三维系统。发现系统可以生成周期,环面,混沌时间序列。分析分析表明振荡器有八个不稳定平衡分一组参数。吸引力的盆地为这组参数图显示系统吸引子是自励。纯粹的非线性系统的可行性研究与模拟电路由简单的元素,如电容器和运算放大器。改变参数的值显示系统可以生成时间序列与广泛的复杂性。一个可能的解决方案描述了系统稳定系统上通过脉冲控制器。对于这个系统,当两个常量(参数和 )是等于零,系统有一个无限的解决方案。根据作者的最好的知识,没有纯粹的非线性二次系统之前介绍过的没有常量值的方程。因此,寻找这样一个系统可以为未来的研究是很有趣的。

数据可用性

提到的所有数值模拟参数在各自的文本部分,并且没有额外的数据仿真结果的要求。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是由非线性系统中心,钦奈理工学院,印度,见资金数量CIT / CNS / 2021 / rp - 015。